第一章函數(shù)與極限第三節(jié)的

第一章第三節(jié)1第三節(jié)函數(shù)的極限教學(xué)內(nèi)容

1自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

2自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

3函數(shù)極限的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)極限的定義及用其證明簡單極限本節(jié)考研要求

1理解函數(shù)極限的概念，并用其證明簡單極限問題；

2了解函數(shù)極限的性質(zhì)。第一章第三節(jié)2

在自變量的變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限。第一章第三節(jié)3一函數(shù)極限的定義１自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第一章第三節(jié)41、定義：第一章第三節(jié)5注1.

與數(shù)列極限定義比較:將“xn=f(n)”換成f(x),將“N”換成“>0”,將“n>N”換成“0<|xx0|<”.

這是因?yàn)樵跀?shù)列極限中.n.而“n>N”

表示了n充分大這一意思.

而現(xiàn)在xx0,“0<|xx0|<”表示了這一意思.第一章第三節(jié)62、幾何解釋:注意：第一章第三節(jié)7例1證例3證>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時,有|f(x)a|<,第一章第三節(jié)8例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.這也驗(yàn)證了下面的結(jié)論：>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時,有|f(x)a|<,第一章第三節(jié)9相當(dāng)于條件放縮第一章第三節(jié)10例6.

證明證:

注意到不等式|sinx||x|>0,要使|sinx–sinx0|<,只須|x–x0|<,取=.>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時,有|f(x)a|<,第一章第三節(jié)11(本例說明sinx和cosx在x0處的極限值就等于它在x0處的函數(shù)值。)第一章第三節(jié)123.單側(cè)極限:例如,第一章第三節(jié)13左極限右極限第一章第三節(jié)14左右極限存在但不相等,例6證注：

該定理常用來證明極限存在于不存在，特別對分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限討論很有用。第一章第三節(jié)15第一章第三節(jié)16播放2自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限第一章第三節(jié)17通過上面圖示的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第一章第三節(jié)181、定義：第一章第三節(jié)192、幾何解釋:第一章第三節(jié)203、另兩種情形:第一章第三節(jié)21例1證若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時,有|f(x)a|<.第一章第三節(jié)22若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時,有|f(x)a|<.第一章第三節(jié)23第一章第三節(jié)24函數(shù)極限的性質(zhì)

第一章第三節(jié)25第一章第三節(jié)26證第一章第三節(jié)27應(yīng)用方法：第一章第三節(jié)28其特征是:M>0,有x<-M關(guān)于函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別函數(shù)極限,從自變量的變化趨勢來看,有以下兩種類型:（1）自變量無限增大1。

x→∞,表示x按絕對值無限增大其特征是:M>0,有|x|>M.其特征是:M>0,有x>M2。x→+∞,表示x保持正值無限增大3。x→-∞,表示x保持負(fù)值,但絕對值無限增大第一章第三節(jié)29（2）自變量趨向某個定數(shù)

x0

1。x→x0,表示x以任意方式趨向x0,但不等于x0其特征是:δ>0,有0<|x-x0|<δ2。

x→x0+,表示x>x0的方式趨向x0其特征是:δ>0,有x0<x<x0+δ3。

x→x0-,表示x<x0的方式趨向x0其特征是:δ>0,有x0-δ<x<x0第一章第三節(jié)30

顯然,數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可以看作下標(biāo)n(自然數(shù))的函數(shù)an=f(n),因此數(shù)列極限實(shí)際上是函數(shù)極限