多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的基本概念第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

第九章第一節(jié)一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五平面點(diǎn)集的有關(guān)概念二維空間：二元有序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體,即：記作：注二維空間的幾何意義—坐標(biāo)平面二維空間的元素—坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)平面點(diǎn)集：二維空間的任一子集,記作：平面點(diǎn)集E通常是坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合,記作：E={(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P}(1)(2)注或(一)平面點(diǎn)集第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例第一象限內(nèi)的點(diǎn)n維空間中的點(diǎn)集：記作：(1)y軸上的點(diǎn)(2)(3)單位圓內(nèi)的點(diǎn)n維空間：n元有序?qū)崝?shù)組的全體構(gòu)成的集合,即：n維空間中的元素：或中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量中的任一子集第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五1.鄰域點(diǎn)P0

的去心鄰域記為注設(shè)的距離小于的點(diǎn)P(x,y)的全體,稱為點(diǎn)P0

的鄰域.是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn),是某一正數(shù).與點(diǎn)記作即：也就是：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,鄰域也可寫成若在空間中,(球鄰域)(圓鄰域)第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界，記為第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五(2)

聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為孤立點(diǎn)：E

的邊界點(diǎn))內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：設(shè)點(diǎn)P∈E如果存在點(diǎn)P

的去心鄰域第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．

再如：設(shè)平面點(diǎn)集滿足一切點(diǎn)(x,y)都是E的內(nèi)點(diǎn)；滿足的一切點(diǎn)(x,y)都是E的邊界點(diǎn)，它們都不屬于E；滿足的一切點(diǎn)(x,y)也是E的邊界點(diǎn)，它們都屬于E；點(diǎn)集E以及它的邊界上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn).第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

整個(gè)平面

是最大的開域,也是最大的閉域；第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域點(diǎn)集是開集，但非區(qū)域.o第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五有界集：對(duì)于平面點(diǎn)集E，如果存在某一正數(shù)r，使得，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱E為有界集.無界集：一個(gè)集合若非有界集，就稱為無界集.例如，集合是有界閉區(qū)域;集合是無界開區(qū)域；集合是無界閉區(qū)域.

包括部分邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為半開區(qū)域.如果區(qū)域延伸到無窮遠(yuǎn)處，稱為無界區(qū)域，否則稱為有界區(qū)域.第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

設(shè)x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)為Rn中任意兩個(gè)元素，規(guī)定n維空間中的線性運(yùn)算的距離記作規(guī)定為與零元O

的距離為第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五設(shè)如果則稱變元經(jīng)x在中趨于固定元a

，記作

在n維空間中定義了距離以后，就可以定義中變元的極限：中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)閮?nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

f

稱為對(duì)應(yīng)規(guī)則或函數(shù)，f(x,y)稱為f在點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值。函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f

的值域，記作函數(shù)與選用的記號(hào)無關(guān)，如則稱f

是D

上的二元函數(shù),記為

1、二元函數(shù)的定義第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間內(nèi)的點(diǎn)集D，映射就稱為定義在D上的n元函數(shù)，通常記為變元的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域.也可記為或簡記為第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例1

求的定義域．解所求定義域?yàn)榈谑彭?，共五十六頁，編輯?023年，星期五2、二元函數(shù)的幾何意義：

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)閤oy面上的某一區(qū)域D，對(duì)于D上的每一點(diǎn)P(x,y)，在空間可以作出一點(diǎn)M(x,y,f(x,y))與它對(duì)應(yīng)；當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在D中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M(x,y,f(x,y))就在空間作相應(yīng)地變動(dòng)，它的軌跡是一個(gè)曲面.第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五一元函數(shù)極限回顧：二元函數(shù)的極限：如果在的過程中

f(x,y)無限接近一個(gè)確定常數(shù)

A

，就稱

A

是f(x,y)

當(dāng)時(shí)的極限，記為三、多元函數(shù)的極限第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五定義2

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,P0是D的聚點(diǎn)則稱A

為函數(shù)若存在常數(shù)A,當(dāng)記作對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),也即都有或第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五說明：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（1）定義中的方式比的方式復(fù)雜的多不同于二次極限第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五說明：(4)不研究函數(shù)在P0(x0

,y0)處的狀態(tài)，僅研究點(diǎn)

(方式任意)的過程中，函數(shù)f(x,y)的變化趨勢.所以，定義規(guī)定函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0

,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，不要求函數(shù)在點(diǎn)P0(x0

,y0)有定義.(5)極限值A(chǔ)應(yīng)是一個(gè)確定的常數(shù)，它與P(x,y)趨近P0(x0,y0)的方式無關(guān).也就是說：P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)都無限接近于A.第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五相同點(diǎn)多元函數(shù)和一元函數(shù)極限的概念的相同點(diǎn)和差異一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要?定義相同.不同點(diǎn)必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)于P0時(shí),條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例2.

設(shè)求證：證:故總有要證第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例3.

設(shè)求證：證：故總有要證第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例4.求極限

解其中第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例5.

考察函數(shù)這也是一種特殊方式(2)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿y軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),解：(1)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),這是一種特殊的趨近方式在(0,0)處的極限.第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五(3)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)例5.

考察函數(shù)在(0,0)處的極限.

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限以不同方式趨于不存在.函數(shù)第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.注.二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例5知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五(2)再來分析當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿過原點(diǎn)的直線

因此

不存在.趨向于有時(shí),由此看出:累次極限與二重極限有本質(zhì)區(qū)別再如解（1）對(duì)任意的研究

有有同理:第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五證（2）取此時(shí)，仍不能確定極限是否存在．（1）P(x,y)沿

x

軸趨于(0,0)，此時(shí)y=0,x0例6.

證明不存在．

第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五證（3）取極限值隨k的不同而變化，故極限不存在．例6.

證明不存在．

第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五確定極限不存在的常用方法：第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五求二元函數(shù)極限（重極限）常用的方法：（1）用定義驗(yàn)證其存在或不存在；（2）利用適當(dāng)放縮或變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為0的因子；（4）利用極限運(yùn)算性質(zhì)或法則，例如夾逼準(zhǔn)則（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五解：例7：求極限第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例8.

求:第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五解：例9：求極限第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)連續(xù).連續(xù),第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五二元函數(shù)的連續(xù)性定義4.

設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈，為D的聚點(diǎn)，且.如果則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0

,y0)處連續(xù)，否則稱為間斷.

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上連續(xù)，或者稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù).第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

二元函數(shù)在點(diǎn)P0(x0

,y0)處的連續(xù)，要求有以下三個(gè)條件成立，即：(1)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0

,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)P0(x0

,y0)處也有定義.(2)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)有極限.(3)函數(shù)z=f(x,y)

在點(diǎn)P0(x0

,y0)處的極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值，即：第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點(diǎn).在聚點(diǎn)圓周其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)檎麄€(gè)平面，(0,0)為其聚點(diǎn),第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五的不連續(xù)點(diǎn),若在D內(nèi)某些個(gè)別點(diǎn),沒有定義,或沿D內(nèi)某些曲線,但在D內(nèi)其余部分,都有定義,則在這些點(diǎn)或這些曲線上,即間斷點(diǎn).函數(shù)都是函數(shù)

二元連續(xù)函數(shù)的圖形是一片無裂縫無點(diǎn)洞的曲面結(jié)論：

如果函數(shù)f(P)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(P)在D上連續(xù)，或者稱f(P)是D上的連續(xù)函數(shù)。第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)。（3）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的說明一切一元基本初等函數(shù)，作為一個(gè)二元或二元以上的多元函數(shù)時(shí)，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可計(jì)算在連續(xù)點(diǎn)處的極限。（1）（2）第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

例10.證明在全平面連續(xù).證