數(shù)列創(chuàng)新題型

20211226數(shù)列創(chuàng)新題型一、單選題（本大題共2小題，共10.0分）1.我國明代數(shù)學(xué)家音樂理論家朱載堉創(chuàng)立了十二平均律是利用數(shù)學(xué)使音律公式化第一人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，將八度分成13個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表表示，其中%，%2，%3，…，第13表示這些半音的頻率，它們滿足10g2（^—1）12=1a=12…12＞若某一半音與辦#的頻率之比為0，則該半音為（）頻率第1第2%3第4第5第6第7第8第9第10第11第12第13半音CDEFGABCA.F B.G C.二5 D.A2.將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有1X12,2X6,3'4三種，其中3X4是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱3X4為12的最佳分解.當(dāng)召XqQ,qGN*）是正整數(shù)九的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)f（九）=|0-q|，例如『（12）=|4-3|=1，則E2021f（21）=（）1=1A.21011—1B.21011 C.21010—1D.21010二、單空題（本大題共3小題，共15.0分）.定義函數(shù)f（%）=[%[%]]，其中國表示不超過％的最大整數(shù)，例如：[1.3]=1，[-1.5]=-2,[2]=2當(dāng)％G[0,九）（九GN*）時(shí)，f（%）的值域?yàn)?.記集合&中元素的個(gè)數(shù)為"，則岑=2。，的值為 ’=29-1.已知因表示不超過％的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2.[-1.5]=-2.在數(shù)列｛咽中，%=[1gn]，幾GN，記5九為數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，則S1000=..對于數(shù)列｛與｝,定義&=旬2。2--2n-1%為數(shù)列｛4｝的“好數(shù)”，已知某數(shù)列｛與｝的“好數(shù)”勾=2n1,記數(shù)列｛4-的｝的前幾項(xiàng)和為與，若與＜S7對任意的九GN*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .第1頁，共7頁三、解答題（本大題共2小題，共24.0分）6.已知數(shù)列｛｝6.已知數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為，1=2，且+1⑴求證：數(shù)列11—｝為等比數(shù)列；1+⑵求1100k口表示不超過的最大整數(shù)）.7.記等差數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為，已知5=20，2=3.（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；⑵若數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=2,將數(shù)列｛｝中與｛｝的相同項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新數(shù)列｛｝，設(shè)數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為，求100.第2頁，共7頁答案和解析.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了等比數(shù)列的判定與性質(zhì)、對數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題.根據(jù)對數(shù)運(yùn)算知｛%J是一個(gè)以%］為首項(xiàng)1企為公比的等比數(shù)列，由四=1V24知4=, 久4魏，從而求得結(jié)果.【解答】12解：log2^1- =1i=1,2,…,12,12J2=q,.??｛%｝是一個(gè)以%］為首項(xiàng)，q=W2為公比的等比數(shù)列,1V24,???%.=%?1V24=x-q4=x,l4 4 8..=8，對應(yīng)的半音為G..【答案】A【解析】【分析】本題考查函數(shù)的新定義，考查等比數(shù)列求和，屬于中檔題.由題意得幾為偶數(shù)時(shí)，求得'2九=0;九為奇數(shù)時(shí)，求得'2九=2亭-2丁=2/，則可以把*=11f2t前2021項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，即可求解.【解答】解：由題意，當(dāng)幾為偶數(shù)時(shí)，2九=22?2；，第3頁，共7頁

所以f(2九)=22-22=0,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2九=2丁?21，所以f(2")=27-2]=2/，則E2021f(2i)=f(2) f(22) f(23)…f(22020)f(22021)=1=1/1—21011(20 21 …21010)=-1——2-=21011—1.【答案】亞91010【解析】【分析】本題主要考查了分段函數(shù)值域、新定義運(yùn)算、裂項(xiàng)相消法求和等知識，屬于中檔題.根據(jù)因表示不超過％的最大整數(shù)，先由題意先求國，再求第[刈，然后再求[%[%]]在各區(qū)間上元素的個(gè)數(shù)，得到心，進(jìn)一步用裂項(xiàng)相消法求絲=|°六的和即可.【解答】0,%e[0,1)解：由題意可得團(tuán)=1，%e[1，2)■n-1,xe[n-1,n)0,%e[0,1)...%.[%]=x”[1Z■■■(n-1)%,%e[n-1,n)n-1，.??[%?[%]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，1，2,3n-1，???a九=112???(n-1)=n2-n???a九=112???(n-1)=n2-n2，2an-1 n2n2_】 n(n-1)=2(，-力，n-1n22020 1???E 乙%-11=2[(1-2)102-1102020T…( )],20192020人=2(1—-=娛2020 1010故答案為：3.1010第4頁，共7頁.【答案】1893【解析】【分析】本題考查數(shù)列的項(xiàng)數(shù)九的求法、新定義、對數(shù)性質(zhì)，考查了猜想歸納、分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.根據(jù)題意，歸納可以得到g=a?=4—0?ci=1,cl=1,a=1,-L 乙 3/ _LU _L_L 400=2，4oi=2,…，a999=2,=3,進(jìn)而求和即可.【解答】解：,??4=[[加]，4=[lg1]=0,a2=[lg2]=0,ag=[lg9]=0,G]o=[Igl。]=1，a1]=[Z^ll]=1, （I99—[lg99]=1,&oo=RglOO]=2,%oi=如叫=2，…，％=[仞999]=2,%oo=[Zgi00°]=3,s…=9x0+90x1+900x2+3=1893.1000故答案為：1893.5.【答案】巴丹47【解析】【分析】本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，屬于創(chuàng)新題.解題方法是通過數(shù)列｛%｝的“好數(shù)”，求出其數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，在確保$6的值在數(shù)列｛S｝中是最大的即可.【解答】解：由題意，當(dāng)？1=1時(shí)，%=4]=22=4,由九勾=4+2。2+.“+2狙%可得（幾l）i4nl=^+2a2+...+2n2anl（n>2）,兩式相減可得九勺（九1）&1=2"a,V /v-L V整理得a=叫（也）力一上n 2nln-2?+i（n1）-2n2nl第5頁，共7頁

二4九一2(九一1)=2幾+2,由于3=2x1+2=4,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2幾+2,則4—k九=(2—k)九+2,由于與<S7對任意的九gN*恒成立，則k>2且a7—7^>0,a8—8^<0,,tt—7k=16—7k>0 91A由｛。-8k=18-8上<。，解得4<<7.8故答案為：學(xué)苧6.【答案】解：(1)6.【答案】解：(1)。——2a+1n+1〃

%+2 LJ-1-2&V+1 nn+2=1-1-a,i1+an+11+2a'7i+1 31+aa九1+an+11+2a'7i+1 31+aa九+2故數(shù)列噂｝為等比數(shù)列首項(xiàng)與公比都為1.3(2)由(1)可知:1—^1+an.1,3n3n一1=3n+11一.3n+1TOC\o"1-5"\h\z100—2( + +—+ )100、3+132+1 3100+110011 1>100—2(—I 1—+ )13 32 3100,1=99+——>993100因此：99Vsi00<100,故卜10。］=99?【解析】本題考查了等比數(shù)列的判定以及數(shù)列求和，屬于中檔題.(1)只要找到1-%與』的關(guān)系即可，即把與+1=血戶代入乜釬可得.1+%+11+an %+2 1+%+1(2)由(1)求得a,對a適當(dāng)放縮，a=網(wǎng)-1=1--人>1—2,計(jì)算S100,可得出99<九" n3n+1 3n+1 3n 100s100<100,從而得解.第6頁，共7頁7.【答案】解：(1)依題意，Su=(%a5)xs=54=20,解得:a=4,5 2 3 3又4=3,故d=1,a1=2,所以4=4(n-1)-d=n1.(2)令數(shù)列｛￡｝的前幾項(xiàng)和為4九，數(shù)列出九｝的前幾項(xiàng)和為%,以=2九，由(1)可知&=%，&=力2,%=4,。15=%,&1=4,。63=%,所以7100=406-",4