一元二次方程應用題經(jīng)典題型匯總含解析

知道，學習了一元二次方程的解法以后，就會經(jīng)常遇到解決與一元二次方程有關的生活中的應用問題，即列一元二次方程解應用題，不少同學遇到這類問題總是左右為難，難以下筆，事實上，只要能認真地閱讀題目，分析題，并能學會分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關系，找到一個或幾個相等的.現(xiàn)就列一元二次方程解應用題中遇到的常見的十大典型題目，舉例說明.例1恒利商廈九月份的銷售額為0廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了6萬元，求這兩個月的平均增長率.解設這兩個月的平均增長率是x.，則根據(jù)題意，得200(1－20%)(1+x)2＝即(1+x)2＝1.21，解這個方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去答這兩個月的平均增長率是說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個數(shù)據(jù)的意義，即可利用m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.對于負的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.221元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？解根據(jù)題意，得(a－21)(350－10a)＝400a2－56a+775＝0，解這個方程，得a1＝25，a2＝31.21×(1+20%)＝25.2a2=31不合題意，舍去350－10a＝350－10×25＝100（件答10025元說明商品的定價問題是商品中的重要問題，也是各種考試的熱點.三、31000500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）則根據(jù)題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.90x2解這個方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能為負數(shù)，所以將x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率約是.四、例 2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著解設的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為1(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.82x1＝－1.8（舍去答的上口寬2.5m，渠深說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中例5 解設逝世時的的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為當x＝5時，的25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x＝6時，為36歲，完全符合題意.答的為36歲說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數(shù)字和問題，通過求解同學例 象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分0分.1分，領司有四個同學統(tǒng)計了中全部選手的1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實，有一位同學統(tǒng)計無誤.試計解設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n－1)1n(n－1)局.2n(n－1)分.2然(n－1)n0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－＝1980n2－n－1980＝0n1＝45，n2＝－44（舍去答參加比賽的選手共有45人說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以例7 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖1中x名員工去天水灣風景區(qū)旅游.1000×25＝25000＜27000，所以員工人數(shù)一定超過25人.整理，得 ＝0，解這個方程，得x＝45時，1000－20(x－25)＝600＜700x1；當x2＝30時，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游.2525人，人均旅游費用為1000元例8 將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）1（2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路2（3）花園中每個角的扇形都相同以上兩種方案是否都能符合條件?23中解都能.（1）x

3

3434 2 3說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積；其原則是形變積BQ圖 圖 圖94所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cmP從點P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ8點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于AC262解因為∠C＝90°AC262xs后，可使△PCQ8cm2AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，11·(6－x)·2x＝8.x2－6x+8＝0x12P、Q同時出發(fā)，2s4s后可使△PCQPx秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半1(6－x)·2x＝1×1×6×8. 說明本題雖然是一道動態(tài)型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必例 一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角若梯子的頂端下滑1m若梯子的底端水平向外滑動1m102解依題意，梯子的頂端距墻 10272+(6+x)2＝102x2+12x－15＝0，解這個方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），1m則根據(jù)勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去1m(8－x)2+(6+x)2＝1022x2－4x＝0，解這個方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.2m例 如圖5所示我位于A處在其200BB200CDAC的中點，島上FBCD的正ABC

D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦DF2BC的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的方向，則DF⊥BC.因為AB⊥BC，D為AC的中點，所DF＝1AB＝100DF100海里2（2）xDE＝x海里，AB+BE＝2x x1＝2001006≈118.4，x2＝2001006（ 去118.4海里說明求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發(fā)現(xiàn)題目中的等量關系，并例2 如圖6所示正方形ACD的邊長為劃分成2個小正方形格，將邊長為n（n為整數(shù)，且≤n≤1）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放第一張nn的紙片正好蓋住正方形BCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好(n－)(n－)個小正方形如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ACD的右下角為止.n23456ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）S1，未被蓋住的面積為S2.S1＝S2n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.解（1）依題意可依次填表為：、、、、.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2①當n＝2時 圖S1＝S2

2n1＝4，n2＝21（舍去n＝4時，S1＝S2.n值是存在的說明求解本題時要通過閱讀題設條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進而構造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實數(shù)根來加以判斷.例13 將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；解（1）設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為xx 20x則根據(jù)題意，得4+

x＝16時，20－x＝4x＝4時，20－x＝16，4cm16cm.（2）不能.理由是：不妨設剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為y220y4cm.則由題意得 + 4

＝12y2－20y+104＝0得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為說明本題的第（2）小問也可以運用求根中的b2－4ac來判定.若16＜0即無解例14 如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.△BEF是否存段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；是否存段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.F FFFG⊥BCGAAK⊥BC12則可得 5

B E

＝1BE·FG＝－ 2△22

x

x2+ （3）不存在.S△BEF∶S多邊形AFECD 整理，得3x2－24x+70＝0，此時的求根中的分成1∶2的兩部分.xx2＝5時，并不屬于7≤x≤10，應及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實質是利例 在如圖8中，每個正方形有邊長為1的小正方形組成1357…n（奇數(shù)…2468……n（偶數(shù)在邊長為n（n≥1）的正方形中，設黑色小正方形的個數(shù)為P1，白色小P2，問是否存在．nP2＝5P1n的值；若解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為1、3