第07講函數(shù)的單調(diào)性與最值（解析版）

第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值考點1函數(shù)的單調(diào)性[名師點睛]確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法：利用定義判斷．(2)導數(shù)法：適用于初等函數(shù)可以求導的函數(shù)．(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性．[典例]1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，可得，解得或，所以函數(shù)的定義域為，二次函數(shù)的對稱軸為，且在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.【解】任取、，且，，則：，當時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，令，則，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)遞增，∴根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，．由，得．因為函數(shù)是關于的遞減函數(shù)，且時，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．遞增區(qū)間是 B．遞減區(qū)間是C．遞增區(qū)間是 D．遞增區(qū)間是【答案】D【解析】因為函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是和．故選：D．4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因為在上為減函數(shù)，所以只要求的單調(diào)遞減區(qū)間，且.由圖可知，使得函數(shù)單調(diào)遞減且滿足的的取值范圍是.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.故選：C.5．（2022·廣西柳州·三模）下列函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】選項A.函數(shù)在上只有單調(diào)增區(qū)間，但不是一直單調(diào)遞增，故不滿足；選項B.由復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故不滿足；選項C.函數(shù)在上單調(diào)遞減，故不滿足；選項D.函數(shù)在上單調(diào)遞增，故滿足，故選：D6．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)y=|-x2+2x+1|的單調(diào)遞增區(qū)間是_________；單調(diào)遞減區(qū)間是_________．【答案】

，

，【解析】作出函數(shù)y=|-x2+2x+1|的圖像，如圖所示，觀察圖像得，函數(shù)y=|-x2+2x+1|在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是，.故答案為：，；，7．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．【答案】【解析】，解得，令，對稱軸為，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：8．（2022·福建·三模）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)________.①定義域為；②值域為；③對任意且，均有.【答案】（答案不唯一）【解析】，定義域為；，，值域為；是增函數(shù)，滿足對任意且，均有.故答案為：（答案不唯一）.9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f（x）lg．判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；【解】由題意，，解得故f（x）的定義域為（0，4）令，，由于在（0，4）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此在（0，4）單調(diào)遞減，又在（0，4）單調(diào)遞減，故f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，證明如下：設0＜x1＜x2＜4，則：，∵0＜x1＜x2＜4，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，∴，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減（2022·全國·高三專題練習）已知定義域為實數(shù)集R的函數(shù)．判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明．【解】由題意，令，由于在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由復合函數(shù)單調(diào)性可知f（x）在R上為減函數(shù).證明：設?x1，x2∈R，且x1＜x2，所以f（x1）﹣f（x2），由于x1＜x2，y＝2x在R上單增所以，且2x＞0所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上單調(diào)遞減．考點2函數(shù)單調(diào)性的應用[名師點睛]函數(shù)單調(diào)性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較大?。罕容^函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，進而得出相應函數(shù)值的大小關系，對于選擇題、填空題，通常選用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解．(2)求最值：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(3)解不等式：利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號去掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應注意函數(shù)的定義域．(4)利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)①依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義等方法，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間進行比較．②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調(diào)．③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值情況．[典例]1．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知函數(shù)，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以，，當時，，因為，所以，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因為在上為增函數(shù)，且，所以，即，所以，所以，即，故選：A2．（2022·廣東深圳·高三期末）已知函數(shù)，則的最大值為______．【答案】【解析】解：時，單調(diào)遞增，；時，單調(diào)遞減，.所以的最大值為．故答案為：．3．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：定義域為R，又，所以是奇函數(shù)，當時，，當時，，易知在上遞增，所以在定義域R上遞增，又，所以，解得，故選：C4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．，， B．C．，， D．，，【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，必有，解可得：或，即的取值范圍為，，，故選：C．[舉一反三]1．（2022·遼寧朝陽·高三開學考試）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)，都有，記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)是R上的偶函數(shù)，即，顯然有，因此得：，所以.故選：B2．（2022·重慶·模擬預測）設函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：因為，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減且，又在上單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞減，又因為，即，，即，，即，所以，所以；故選：D3．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，，則，則，根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)值域為.故選：C.4．（2022·重慶八中模擬預測）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱.因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以.所以當時，；當時，．由，得或解得．故選：C5．（2022·河北·模擬預測）設函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因為，所以，，則，即，的函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可知當時且在上單調(diào)遞減，所以等價于，即，解得，即；故選：A6．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為分段函數(shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B7．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：函數(shù)的圖像的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，在上為減函數(shù)，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，且有，所以，，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.9．（多選）（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，.故選：AC10．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的范圍是_______.【答案】【解析】函數(shù)，定義域為，又，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以只需在上是減函數(shù)，因此，解得.故答案為：11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝(m≠1)在區(qū)間(0，1]上是減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(－∞，0)∪(1，4]【解析】由題意可得4－mx≥0，x∈(0，1]恒成立，所以m≤min＝4．當0<m≤4時，4－mx單調(diào)遞減，所以m－1>0，解得1<m≤4；當m<0時，4－mx單調(diào)遞增，所以m－1<0，解得m<1，所以m<0．故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)∪(1，4]．故答案為：(－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足：①；②在上是減函數(shù)；③.請寫出一個滿足以上條件的___________.【答案】【解析】由可得關于對稱，所以開口向下，對稱軸為，且過原點的二次函數(shù)滿足題目中的三個條件，故答案為：13．（2022·全國·高三專題練習）已知y=f(x)是定義在區(qū)間(-2，2)上單調(diào)遞減的函數(shù)，若f(m-1)>f(1-2m)，則m的取值范圍是_______.【答案】【解析】由題意得：解得<m<.故答案為：14．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】解：由題意得的對稱軸為，因為函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，所以，得．故答案為：．15．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在的遞減函數(shù)，若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解】因為函數(shù)是定義在的遞減函數(shù)，所以對，恒成立在，恒成立.整理，當，時，恒成立，（1）當，，所以；（2