復(fù)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五1冪級(jí)數(shù)的定義：

形式的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中c0,c1,c2,…,a都是復(fù)常數(shù).

冪級(jí)數(shù)是最簡單的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為了搞清楚它的斂散性,先建立以下的阿貝爾(Abel)定理.4.2.1冪級(jí)數(shù)的斂散性具有若令z←z-a,則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫成如下形式第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

定理4.10：如果冪級(jí)數(shù)(4.3)在某點(diǎn)z1(≠a)收斂,則它必在圓K:|z-a|<|z1-a|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂.證:設(shè)z是所述圓內(nèi)任意點(diǎn).因?yàn)?n=0,1,2,…),注意到|z-a|<|z1-a|,故級(jí)數(shù)

a收斂,它的各項(xiàng)必然有界,即有正數(shù)M,使收斂z1第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五其次,對(duì)K內(nèi)任一閉圓在圓K上有收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)因而它在K上一致收斂.再由定理4.8,此級(jí)數(shù)必在圓K內(nèi)內(nèi)閉一致收斂.在圓K內(nèi)絕對(duì)收斂.上的一切點(diǎn)來說,有:

a第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

推論4.11

若冪級(jí)數(shù)(4.3)在某點(diǎn)z2(≠a)發(fā)散,則它在以a為圓心并且通過點(diǎn)z2的圓周外部發(fā)散.

az1z2第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

其斂散性有以下三種情況:(1)對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.2.冪級(jí)數(shù)的斂散性討論對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),首先它在z=a點(diǎn)處總是收斂的，例如,級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的z,從某個(gè)n開始,總有于是有故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂.第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五(2)除z=a

外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.例如,級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零,故級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)存在一點(diǎn)z1≠a,使級(jí)數(shù)收斂(此時(shí),根據(jù)定理4.10的第一部分知,它必在圓周|z-a|=|z1-a|內(nèi)部絕對(duì)收斂),另外又存在一點(diǎn)z2,使第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五發(fā)散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根據(jù)推論4.11知,它必在圓周|z-a|=|z2-a|外部發(fā)散.)在這種情況下,可以證明,存在一個(gè)有限正數(shù)R,使得級(jí)數(shù)(4.3)在圓周|z-a|=R內(nèi)部絕對(duì)收斂,在圓周|z-a|=R外部發(fā)散.R稱為此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑;圓|z-a|<R和圓周|z-a|=R分別稱為它的收斂圓和收斂圓周.在第一情形約定R=0;在第二情形,約定R=+∞,并也稱它們?yōu)槭諗堪霃?第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以a點(diǎn)為中心的圓域.收斂圓周第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五答案:

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五

一個(gè)冪級(jí)數(shù)在其圓周上的斂散性有如下三種可能:(1)處處發(fā)散;(2)既有收斂點(diǎn),又有發(fā)散點(diǎn);(3)處處收斂.定理4.12如果冪級(jí)數(shù)(4.3)的系數(shù)cn合于或或4.2.2冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為:(4.4)定理4.13(1)冪級(jí)數(shù)(4.5)的和函數(shù)f(z)在其收斂圓K:|z-a|<R(0<R≤+∞)內(nèi)解析.4.2.3冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的解析性第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五(2)在K內(nèi),冪級(jí)數(shù)(4.5)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階,即：(p=1,2,…)(4.6)(3)(p=0,1,2,…).(4.7)

證由阿貝爾定理(定理4.10),冪級(jí)數(shù)第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五在其收斂圓K:|z-a|<R(0<R≤+∞)內(nèi)閉一致收斂于f(z),而且各項(xiàng)又都在z平面上解析.故由維爾斯特拉斯定理(定理4.9),本定理的(1)、(2)部分得證,逐項(xiàng)求p階導(dǎo)數(shù)(p=1,2,…)后,即得(4.6).

在(4.6)中令z=a,得注意到即得(4.7).第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五4.2.4、典型例題例1

求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為1,第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)或解(1)因?yàn)榈谑隧?，共三十四頁，編輯?023年，星期五所以收斂半徑即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，(2)第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五故收斂半徑例3求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:解第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五解所以例4求的收斂半徑.第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例5把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五級(jí)數(shù)收斂,且其和為第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例6求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例7求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五例8計(jì)算解第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五五、小結(jié)與思考

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法和冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五思考題冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五由于在收斂圓周上確定,可以依復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性討論.思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五阿貝爾資料Born:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),Norway

Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbel第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五非凡的數(shù)學(xué)家——阿貝爾阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書，15歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。16歲時(shí)阿貝爾寫了一篇解方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看過這篇論文后，為阿貝爾的第三十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：“...與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會(huì)取得成功...”。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。 阿貝爾18歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更加貧困。1821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。1823年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用積分方程求解古老的“等時(shí)線”問題的。這是對(duì)這類方程的第一個(gè)解法，開了研究積分方程的先河。1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但是高斯連信都未開封。

第三十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期五1825年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者克萊爾（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他與斯坦納建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方程論、無窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。

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