2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市天一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市天一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題aa3n1且a7，則a的值是（）1．數(shù)列滿足an1n13nA．1B．4C．－3D．6【答案】A【詳解】根據(jù)題意，由于aa3n1，可知數(shù)列a是公差為-3的等差數(shù)列，則n1nn可知d=-3,由于a=a2d7231，故選A．31lykx1，ly2．已知直線::2x1//2，若，則實數(shù)k（）ll121A．2B．1C．1D．2【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.lykx【詳解】因為直線:1，lyx，且l//l，:211212所以k2，故選：D.3．已知函數(shù)fxxfx2的導(dǎo)數(shù)為，則f1f1等于（）A．0B．1D．4C．2【答案】A【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計算即可22x，x【詳解】因為fx所以f1f10.故選：Ax2y2k271的一個焦點坐標為，則的值為（）0,24．已知橢圓kA．1B．3C．9D．81【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c的關(guān)系列式計算即得.第1頁共13頁y21的一個焦點坐標為0,2，則半焦距c=2，x2k27于是得(k2)227，解得k1，k所以的值為1.故選：Axy5．圓(x3)2(y5)2r2（r0）上點到直線4320的最小距離為1，則rA．4B．3C．2D．1【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)題意可得,圓心(3,5)到直線的距離等于r1,即|12152|r1,求得r4,所以A選項是正確的.169【點睛】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：(1)幾何法：利用ｄ與ｒ的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．6．在等比數(shù)列a中，a，a是方程x2的兩個實根，則a（）x61037n5A．-1B．1C．-3D．3【答案】Baa1，結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求出a.5【分析】由韋達定理可知37aa6，aa1，【詳解】解：在等比數(shù)列a中，由題意知：3737n所以a>0，3a>0，所以a>0且aaa1a15，即.257537故選：B.7．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）、簪褭、、簪褭A．14B．16C．18D．20【答案】B【分析】由題可知這是一個等差數(shù)列a，前5項和S100，a28，列式求基本量55n即可.aa4d28d4a12，5則由題可得154d100，解得1S5a251a12416所以不更出的錢數(shù)為.2故選：B8．如圖，和分別是雙曲線y21a0,b0的兩個焦點，和是以x2O為圓F1F2ABa2b2心，以O(shè)F為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且FAB是等邊三角形，則雙曲21線的離心率為（）5A．3B．5C．D．132【答案】D【詳解】解：，設(shè)FF=2c，12∵△FAB是等邊三角形，2∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=3c，∴a=(3c-c)2，e=2c(3c-c)=3+1，故選D二、多選題9．設(shè)數(shù)列的前an項和為，6，，則（）Sa1a2an1nnnB．是單調(diào)遞增數(shù)列anA．是等比數(shù)列anC．nD．的最大值為12Sna82n【答案】CDaa2，結(jié)合等差、等比數(shù)列的【分析】由題設(shè)定義和性質(zhì)判斷A、B；進而求a的通項公式，根據(jù)S的二次函數(shù)性質(zhì)求最值判斷C、D.nnn1n出aa2，故a6，1【詳解】由題設(shè)知：n1a是等差數(shù)列且遞減，又nn第3頁共13頁n(aa)n(7n)(n7)2494，a62(n1)82n，且Sn1n22nn3當或n4，S的最大值為12.n綜上，A、B錯誤，C、D正確.故選：CD10．已知橢圓C:y21的左，右焦點為x2F，F(xiàn)，點P為橢圓C上的動點（P不在x16912軸上），則（）A．橢圓C的焦點在x軸上B．△PFF的周長為82712947C．PF的取值范圍為,4D．橢圓的離心率為41【答案】ABD【分析】由橢圓方程確定橢圓參數(shù)值，A根據(jù)參數(shù)、的大小關(guān)系判斷；B由△PFF的ab12|PF||PF||FF|2a2c周長為判斷；C根據(jù)橢圓的有界性判斷；D直接求離心率1212判斷.【詳解】A：由橢圓方程知：a4b3，故橢圓C的焦點在x軸上，正確；△PFF的周長為|||||PFPFFF121|22827，正確；acB：由c，且7212ac,acC：由P為橢圓C上的動點且不在x軸上，則PF()(47,47)，錯誤；1D：橢圓的離心率為ec7，正確.a4故選：ABD的導(dǎo)函數(shù)yfx的圖象如圖所11．已知函數(shù)yfx示，則下列結(jié)論正確的是（）fbfcA．fafdfcB．feD．xd時，取得最小值fxxcC．時，取得最大值fx【答案】AB【分析】由fx圖象可確定fx的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.第4頁共13頁fx圖象可知：當x,cxcee,時，fx0；當,時，【詳解】由fx0；c,e在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；fxe,,cAA，，fafbfc，正確；對于abcBB，，fefdfc，正確；對于cdexe時，可能存在fxfc，C錯誤；C，由單調(diào)性知fc為極大值，當0對于對于D，由單調(diào)性知fefd，D錯誤.故選：AB.x2y212．已知雙曲線C:1a0,b0的焦點在圓O:xy220上，圓O與雙曲線2a2b2M,N兩點，若點C的漸近線在第一、二象限分別交于點標原點），下列說法正確的有（A．雙曲線的E0,3滿足MEON（為坐O）虛軸長為4B．雙曲線的離心率為5C1C．直線2與雙曲線沒有交點D．OMN的面積為yxC811【答案】BDbx0，由OMc得M(a,b)，然)，0【分析】由焦點在圓上求得c，不妨設(shè)(,Mxx0a0后由，得出a,b的關(guān)系，給c可求得a,b得雙曲線方程，然后根據(jù)雙曲線的性MEON質(zhì)判斷各選項．bMxxx0，)，0【詳解】由已知c2025，不妨設(shè)(,0a0bx2c，xa，所以O(shè)MxM(a,b)，(,)，Nab20200a2b3ab1，因為，所以MEONab4b528a2b23b，又a2b2c220，解得或（舍去），，A錯；b2ce5，B正確；ac2b22，a1與雙曲線有一個交點．雙曲線的漸近線為y2x，因此直線y2xC錯；111828N(2,4)，所以SM(2,4)，由上面討論知．D正確．2OMN第5頁共13頁三、填空題3n1r，則r的值為_____．nn【答案】13【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式的特點列方程，解方程求得r的值.r13n，故a1q1qaqn，本題中S1【詳解】由于等比數(shù)列前n項和S13nnr10,r1.33故填：1.3【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列前n項和公式的特點，考查觀察與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.Cxyxy2244100交于A，B兩點，則AB14．已知直線:lmxym30與圓:的最小值為___________.【答案】8【分析】先求出直線經(jīng)過的定點，再求出圓心到定點的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】經(jīng)過定點M1,3，由題得y(3)m(x1)，所以直線l:mxym30圓C:(x2)2(2)218的圓心為C2,2，半徑為32.y圓心到定點M1,3的距離為(21)(32)22，2當CMl時，AB取得最小值，且最小值為2(32)22221828.故答案為：8Cy15．已知拋物線:2px(p0)的準線方程為x2，在拋物線C上存在A?B兩點關(guān)2于直線l:xy70對稱，設(shè)弦AB的中點為M，O為坐標原點，則|OM|的值為___________.【答案】5第6頁共13頁【分析】先運用點差法得到M(3,4)，然后通過兩點距離公式求出結(jié)果．Cy【詳解】解：拋物線:2px(p0)的準線方程為x2，2p2p4，所以2，解得所以拋物線的方程為y8x，2設(shè)點為M(x，y)，(，y)，Bx(，y)，的中點AB12200Ax1則y218，，xy8x2212兩式相減得(yy)(yy)8(xx)，121212yy88，xxyy2y2即k1AB12120又因為A，兩點關(guān)于直線l:xy70對稱，Ba(1)12y所以，0xy7000x3解得，可得M(3,4)，0y40則，|OM|32425故答案為：5．fxfx1，恒成立，求1216．設(shè)函數(shù)fxkln，kR.若對任何xxxx10，xx122k的取值范圍______.【答案】14,+∞k|k≥14【分析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為fxxfxx恒成立，構(gòu)造函數(shù)gxfxx，1122利用gx0恒成立，求出k的取值范圍.fxfxxx0，1，【詳解】因為對任何1xx21212xx0，fxxfxx，所以對任何1211220,上為減函數(shù).所以gxfxx在，x0,，gxfxxlnxkxx對x0,恒成立，1k10xx2所以gx0恒成立，即第7頁共13頁112xxx所以k，2241所以.k414,.即的取值范圍是k14,.故答案為：【點睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)；討論，研究fx的單調(diào)性及最值（二者在同一處個別情況下fxgx恒成立，fxgx③特別地，可轉(zhuǎn)換為minmax取得最值）.四、解答題17．已知正項等差數(shù)列滿足，20．a(chǎn)aaaa9n2534（1）求數(shù)列a的通項公式；n1（2）設(shè)b，求數(shù)列b的前n項和T．naannnn111an1；（【答案】（1）2）.T2n2nn【分析】（1）設(shè)數(shù)a首項為a，公差為，由2d，aa20，列出方程組，求aa9341n5d得a，，即可求出數(shù)列a的通項公式；1n111b，利用列項相消求和法即可得出答案.n1n2（2）n1n2n【詳解】（a首項為a，公差為d,d0，1n1）設(shè)數(shù)2a5d9由題得a2da3d20.111a2，d1，（負值舍去）解得1an1；所以n111bn1n2（2）由（1）得n1n2n1111233411n1n2則Tn11.2n2第8頁共13頁C與橢圓21有相同的焦點，且離心率為5.2520x2y18．已知橢圓3(1)橢圓C的標準方程；(2)若橢圓C的兩個焦點,，P是橢圓上的點，且FFPF:PF2:1，求△PFF的面積.121212【答案】(1)x2y2194(2)4【分析】（1）由題意求出a,b,c即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可(1)x2y2因為橢圓與橢圓1有相同的焦點，C2520F5,0，F(xiàn)5,0，5所以橢圓的焦點C，c12又c5，a3所以a3，b2a2c24，所以橢圓的標準方程為221.Cxy94(2)由PF:PF2:1，PFPF6，1212得PF=4，PF2，12而FF25，12所以FPF122，所以S1PFPF=42F1PF21219．已知為數(shù)列的前n項和，且2a1.SaSnnnn(1)求的通項公式；anloga(2)若b，求的前n項和T.n2n1bannn【答案】(1)a2n1nn2(2)T42n1n【分析】（1）由S與a的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出a的通項公式；nnn第9頁共13頁n（2）由（1）得出，再由錯位相減法得出b的前n項和T.nbn2n1n(1)S2a1，所以當1時，aS2a1，所以.1a11因為nnn11n2時，S2a1，當n1n1aa2a2a，所以n1a2a，所以2n2兩式相減，得，nnnn1nan1所以a是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以2n1.ann(2)log2nnn1）得bn由（，所以T123，222221222n1n1n1n01T23n，11兩邊同乘以，得222122232nn12111111n2n2，T1nnn兩式相減，得1122222n1222n123nn2n2.Tn所以42n1fxax2lnxaR.20．設(shè)函數(shù)fxe,e0，求xyb(1)若在點處的切線為ea，b的值；f(2)求的單調(diào)區(qū)間.fx2【答案】(1)a，2e；be(2)答案見解析.【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.(1)1fxax2lnxaR的定義域為0，，fxa，xe處的切線為xeyb0，因為fx在點e,f112fe1fea，所以；所以a所以eeee,12e.把點代入xyb得：be0第10頁共13頁22e.即a，b的值為：，bae(2)1ax1x0.由（1）知：fxaxx0，單調(diào)遞減；fx00，fx①當a0時，在上恒成立，所以在1②當a0時，令fx0，解得：，xa列表得：1a1a10，，xafx-0+yfx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增1a1aa0時，的fx0，，.所以，遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為fx綜上所述：當a0時，在0，單調(diào)遞減；11，單增區(qū)間為aa當a0時，的fx0，，.遞減區(qū)間為【點睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.F到直線xy20的距離為原點，焦點F在x軸的正半軸，21．已知拋物線的頂點為552.點4Nx,yy0為此拋物線上的NF.一點，直線l與拋物線交于異于N的2000kk2.兩點A，B，且NANB(1)求拋物線方程和N點坐標；(2)求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.【答案】(1)y22x，N2,23,2(2)證明見解析，定點y2px，利用點到直線距離公式可求出p，再利1）設(shè)拋物線的【分析】（標準方程為2用焦半徑公式可求出N點坐標；方程為xtyb，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算kk2，可得（2）設(shè)直線的NANB第11頁共13頁t,b關(guān)系，然后代入直線方程可得定點.(1)p設(shè)拋物線的標準方程為2px，p0，其焦點為,0Fy22p2則252，24∴p1所以拋物線的方程為2x.y2p5NFx22，所以x2，所以y24.000y0，所以y2，所以N2,2因為.00(2)xtyb（），由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為tRy2x,2xtyb,聯(lián)立方程y2tyb得220.y2B2y212設(shè)兩個交點A,y，,y（y2，）.y221212Δ480,t2byy2t,所以12yy2b,12y2y2421y2y所以kkNA122222y2y22，NB122y2y2yy2yy42b4t42即121212整理得b2t3，此時4t4t60恒成立，2xty2t3，可x3ty2，化為此時直線的方程為l3,2從而直線過定點.22．已知函數(shù)fxexax1.(1)當a1時，求