專題講座二知能訓練輕松闖關

1．(2015·吉林長春調研)對于非空實數(shù)集A，記A*＝{y|?x∈A，y≥x}．設非空實數(shù)集合M，P滿足：M?P，且若x>1，則x?P.現(xiàn)給出以下命題：①對于任意給定符合題設條件的集合M，P，必有P*?M*；②對于任意給定符合題設條件的集合M，P，必有M*∩P≠?；③對于任意給定符合題設條件的集合M，P，必有M∩P*＝?；④對于任意給定符合題設條件的集合M，P，必存在常數(shù)a，使得對任意的b∈M*，恒有a＋b∈P*，其中正確的命題是()A．①③ B．③④C．①④ D．②③解析：選C.對于②，假設M＝P＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))，則M*＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y≥\f(1,2)))))，則M*∩P＝?，因此②錯誤；對于③，假設M＝P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,2)))))，則eq\f(1,2)∈M，又eq\f(1,2)∈P*，則M∩P*≠?，因此③也錯誤；而①和④都是正確的．2．(2015·貴州省六校聯(lián)考)給出定義：若x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)，m＋\f(1,2)))(其中m為整數(shù))，則m叫做與實數(shù)x“親密的整數(shù)”，記作{x}＝m，在此基礎上給出下列關于函數(shù)f(x)＝|x－{x}|的四個命題：①函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，1)上是增函數(shù)；②函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(k,2)(k∈Z)對稱；③函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為1；④當x∈(0，2]時，函數(shù)g(x)＝f(x)－lnx有兩個零點．其中正確命題的序號是()A．②③④ B．①③C．①② D．②④解析：選A.由函數(shù)定義可知當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))時，f(x)＝|x－{x}|＝|x－0|；當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))時，f(x)＝|x－{x}|＝|x－1|；當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))時，f(x)＝|x－{x}||x－2|；….可以作出函數(shù)的圖象(如圖)，根據(jù)函數(shù)的圖象可以判斷①錯誤，②③是正確的，④由函數(shù)的圖象再作出函數(shù)y＝lnx，x∈(0，2]的圖象，可判斷有兩個交點，故④也正確．3．若有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n是正整數(shù))滿足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整數(shù)，且1≤i≤n)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，且b1，b2，b3，b4成等差數(shù)列，b1＝2，b4＝11，則{bn}的項為________．解析：設數(shù)列b1，b2，b3，b4的公差為d，則b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，解得d＝3，所以數(shù)列{bn}的項為2，5，8，11，8，5，2.答案：2，5，8，11，8，5，24．(2015·海淀區(qū)第二學期期中練習)已知向量序列：a1，a2，a3，…，an，…滿足如下條件：|a1|＝4|d|＝2，2a1·d＝－1且an－an－1＝d(n＝2，3，4，…)．若a1·ak＝0，則k＝________；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第________項最?。馕觯阂驗閍n－an－1＝d，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，…，an－an－1＝d，利用疊加法可得an＝a1＋(n－1)d.因為a1·ak＝0，所以a1·[a1＋(k－1)d]＝0，aeq\o\al(2,1)＋(k－1)a1·d＝0，即4＋(k－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，k＝9.又aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,1)＋(n－1)2d2＋2(n－1)a1·d＝eq\f(（n－1）2,4)－(n－1)＋4＝eq\f(1,4)(n－3)2＋3，所以當n＝3時，aeq\o\al(2,n)取最小值，即|an|取最小值．答案：935．(2015·海淀區(qū)第二學期期中練習)在平面直角坐標系中，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列(整點即橫、縱坐標都是整數(shù)的點)A(n)：A1，A2，A3，…，An與B(n)：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同；②線段AiAi＋1⊥BiBi＋1，其中i＝1，2，3，…，n－1，則稱A(n)與B(n)互為正交點列．(1)求A(3)：A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交點列B(3)；(2)判斷A(4)：A1(0，0)，A2(3，1)，A3(6，0)，A4(9，1)是否存在正交點列B(4)？并說明理由；(3)?n≥5，n∈N，是否都存在無正交點列的有序整點列A(n)？并證明你的結論．解：(1)設點列A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交點列是B1，B2，B3，由正交點列的定義可知B1(0，2)，B3(5，2)，設B2(x，y)，由eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝(3，－2)，eq\o(A2A3,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(B1B2,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(B2B3,\s\up6(→))＝(5－x，2－y)，由正交點列的定義可知eq\o(A1A2,\s\up6(→))·eq\o(B1B2,\s\up6(→))＝0，eq\o(A2A3,\s\up6(→))·eq\o(B2B3,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2（y－2）＝0,2（5－x）＋2（2－y）＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝5))，所以點列A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交點列是B1(0，2)，B2(2，5)，B3(5，2)．(2)由題可得eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝(3，1)，eq\o(A2A3,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(A3A4,\s\up6(→))＝(3，1)，設點列B1，B2，B3，B4是點列A1，A2，A3，A4的正交點列，則可設eq\o(B1B2,\s\up6(→))＝λ1(－1，3)，eq\o(B2B3,\s\up6(→))＝λ2(1，3)，eq\o(B3B4,\s\up6(→))＝λ3(－1，3)，λ1，λ2，λ3∈Z，因為A1與B1，A4與B4相同，所以有－λ1＋λ2－λ3＝9，①3λ1＋3λ2＋3λ3＝1，②因為λ1，λ2，λ3∈Z，方程②顯然不成立，所以有序整點列A1(0，0)，A2(3，1)，A3(6，0)，A4(9，1)不存在正交點列．(3)?n≥5，n∈N，都存在整點列A(n)無正交點列．?n≥5，n∈N，設eq\o(AiAi＋1,\s\up6(→))＝(ai，bi)，其中ai，bi是一對互質整數(shù)，i＝1，2，3，…，n－1，若有序整點列B1，B2，B3，…，Bn是點列A1，A2，A3，…，An的正交點列，則eq\o(BiBi＋1,\s\up6(→))＝λi(－bi，ai)，i＝1，2，3，…，n－1，則有eq\i\su(i＝1,n-1,（－λibi）)＝eq\i\su(i＝1,n-1,ai，（*）)＝eq\i\su(i＝1,n-1,λiai)＝eq\i\su(i＝1,n-1,bi，（**）)①當n為偶數(shù)時，取A1(0，0)，ai＝3，bi＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，i為奇數(shù),－1，i為偶數(shù)))，i＝1，2，3，…，n－1.由于B1，B2，B3，…，Bn是整點列，所以有λi∈Z，i＝1，2，3，…，n－1.等式(**)中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，所以該點列A1，A2，A3，…，An無正交點列；②當n為奇數(shù)時，取A1(0，0)，a1＝3，b1＝2，ai＝3，