第六講：有限與無限

向雷鋒同志學(xué)習(xí)把有限的生命投入到無限的為人民服務(wù)中去你怎么看？第六講有限與無限的問題我們有時停留在認識“有限”，對“無限”的認識還不足教學(xué)內(nèi)容：第三節(jié)有限與無限的問題教學(xué)目標：1.了解“初等數(shù)學(xué)”中的“有限”和“高等數(shù)學(xué)”中的“無限”。2.進一步認識“有限”與“無限”，體會“有限”與“無限”的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系3.能從“有限與無限”的數(shù)學(xué)角度分析有關(guān)的問題5

一、什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。

6

例如：1.“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是錯的；這是正確的前提。2.“本句話是七個字”與“本句話不是七個字”這兩個命題，數(shù)一數(shù)它們的字數(shù)，這是正確的推理，又均是對的，這就是悖論。7

3.“萬物皆數(shù)”學(xué)說認為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。（因為.“萬物皆數(shù)”學(xué)說時，還沒有“無理數(shù)”，當然也沒有“有理數(shù)”概念，只是任何數(shù)都可表為整數(shù)的比）8

二、芝諾悖論

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設(shè)計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個悖論。

1.四個芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。

A1A2A3A4…Ana2a1a4a3102.癥結(jié)：無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。例：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，每天取得的產(chǎn)度構(gòu)成無窮遞縮等比數(shù)列{an}?,1/4,1/8,1/16,1/32,…其和：?+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1

3.芝諾悖論的意義：

1）促進了嚴格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展

2）較早的“反證法”及“無限”的思想(關(guān)于“反證法”，我們在前面已經(jīng)經(jīng)歷過幾次了，如“猜帽子的顏色”；證明“病狗的條數(shù)”等，這是重要的數(shù)學(xué)推理證明方法）

3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？11

芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛病；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。芝諾的哲學(xué)觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻。12

三、“有無限個房間”的旅館

1.“客滿”后又來1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號房間

13

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

14

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

15

4.[思考題]

該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？16思考有題解沿答17答泊：能。法I.將所音有旅斷游團濃的客者人統(tǒng)數(shù)一編產(chǎn)號排薯成下徒表，射按箭雙頭進胞入1，2，3，4，5，…各號癥房間透順序擊入住譜，則揪所有陶人都債有房企間住羞。一團余：1.饞1談→騾1烏.2筋1.衡3矮1.啟4勒……↙齒↙悔↙二團嬸：2.龜1館2敲.2員2銜.3乏2碑.4亞…案…↙坦↙三團煩：3.耍1萍3摧.2箭3谷.3未3.罰4殘…………備……黎……死……協(xié)……涉……乖……18法II攻.讓每擇個旅業(yè)游團枝占據(jù)申某固知定素鋼數(shù)的振方冪由于賀素數(shù)富有無才窮多速個，爺正整罵數(shù)又餡“串唯一字析因互”，知，盆能安左排住餐下，農(nóng)且還糞有空葬房，一團…掌…二團…畫…三團…店……扶…其…遼…腔…年…源…槍…么…叢…附：袋證明嘗“素材數(shù)有淚無窮現(xiàn)多個糧”（富反證尊法）19[思]該旅飽館第矮一天易恰有仇一個臘客人騰，第后二天旦這個壩客人舉離開滿，又前來了扣兩位戰(zhàn)客人妹，以特后每鐮天都齒有一扭位缸客人皺離開鍛，又笑來了改兩位素客人晃，無較窮多功天之粘后，進旅店玩老板詠發(fā)現(xiàn)看旅店氏里一功個客究人都菊沒有與了，見這種甜情況蔽可能偏發(fā)生紗嗎？20答推：可能姿發(fā)生文。將所斥有客禍人按1，2，3，4，5，…的次朋序編狡號，撥先到駐的客沾人編俯號在碧前。均如果忽編號仇在前炊的客任人先鹿離開睬，則計第n號客剖人在尊第n+民1天離效開，舌于是傷無窮隙多天掉之后略旅店漆里就罵沒有則客人娘了。21[思]構(gòu)造縱一個悼無窮楚多個資運動提員百血米賽菠跑，荷但結(jié)址果沒叫有第凡一名豈的例遼子。皮（要薦求表災(zāi)達出扮每一割個運駝動員態(tài)的百叉米成債績，墨且要左求接抓近實鉛際：憲不能破跑進9秒）22解答運動員1234…百米成績10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…23[思]：構(gòu)造引一個寄“部心分到柿整體捐的一悄一對嚇應(yīng)”譯：從[0，1）→[0，+∞）。24答巾：即25的圖毒像26四、拔無限貪與有跌限的珍區(qū)別溜和聯(lián)紹系1.區(qū)別1）淡在無樣限集布中，孤“部壟分可晴以等稍于全奶體”（這炮是無友限的慕本質(zhì)鴉），楊而在翠有限創(chuàng)的情漫況下擦，長部用分總贈是小渣于全停體。27當初碰的伽利輩略悖傭論，就貝是因拖為沒待有看障到“無限”的這劇一個喉特點貞而產(chǎn)撥生的位。1券2褲3稼4廉5吩6逝7雖8綿9翼1閉0志11私…n…?炊?海?潤?鏟?栗?爪?嗚?慈?抗?蠢?具?慕?1永4唱9候16指2綁5頭3滑6霉4柴9震6瀉4逮8抄1甲10慣0秤12健1朋…n2…[該兩貓集合冠：有免一一糊對應(yīng)傘，于愈是推墾出兩束集合雨的元春素個托數(shù)相姑等；版但由炭“部觀分小棉于全在體”戚，又漢推出邀兩集恐合的啦元素沒個數(shù)襯不相勢等。筍這就攏形成起悖論渴。]28伽利腎略（Ga橡li湖le知oGa遵li夏le當i，15妨64泳-1吵64伙2），遣意大您利物刮理學(xué)票家、敲天文根學(xué)家浙和哲愈學(xué)家蒼，近礎(chǔ)代實薯驗科蒜學(xué)的喚先驅(qū)佳者。292.）“有魔限”蟻時成樓立的代許多集命題來，對羨“無讓限”雨不再野成立（1）實看數(shù)加芽法的開結(jié)合丹律在“宋有限水”的橡情況景下，廣加法么結(jié)合懂律成立:(a+符b)抖+c=a+顫(b濾+c)，a，b，c30在“無限”的情廚況下否，加吹法結(jié)些合律愧不再先成立煎。如31有限低半群京若滿宣足消疑去律目則一萍定是床群。√無限瓜半群脆若滿廉足消棄去律撇則一導(dǎo)定是長群?！?2（2）有且限級裹數(shù)一軋定有騙“和渴”?！淌莻€棕確定害的數(shù)無窮芽級數(shù)監(jiān)一定基有“落和”止?！羷t不賠是個符確定讓的數(shù)宣。稱舒為該級數(shù)降“發(fā)丙散”薪。反著之稱寬為“芹收斂床”。33有限扁多個議無窮體小量航的乘努積一棕定還盛是無證窮小琴量。(所以應(yīng)，高另等數(shù)方學(xué)中朋學(xué)習(xí)趴“無主窮小培量”笑性質(zhì)踐時應(yīng)公注意云“有植限個船”的夕條件昏）無窮呀多個良無窮偏小量巖的乘慌積未輕必是自無窮禍小量博（甚樣至可狂以是負無窮信大量轟）。342.聯(lián)系在“乞有限渣”與坡“無節(jié)限”扒間建注立聯(lián)芳系的陪手段充，往積往很勾重要膀。1）數(shù)銳學(xué)歸抱納法通過悅有限壇的步敲驟，臉證明沉了命處題對孤無限錘個自杯然數(shù)煙均成權(quán)立。2）極誓限通過籌有限歇的方科法，籠描寫寺無限纏的過夕程。如：壺；換自處然數(shù)N，都問，使時，洞。353）無躁窮級殃數(shù)通過掌有限喘的步伶驟，蹄求出酸無限收次運謀算的拴結(jié)果刺，如4）遞任推公沫式,a1=氣*5）因技子鏈遍條件（抽略象代閘數(shù)中糧的術(shù)遮語）363.數(shù)學(xué)臂中的溉無限但在生秋活中則的反究映1）大參煙囪替是圓朝的：互每一發(fā)塊磚玻都是躬直的（整懲體看炊又是犯圓的廊）(大家姨的經(jīng)爽驗：酸公園巷中通縱幽的份“曲陰徑”療是“找條石辰”修運成的希；圓鎮(zhèn)形的脆石拱女橋；雪家中挪弧形昨的拱辟形裝禽飾）2）銼胳刀銼高一個概光滑仿零件揚：每一斑銼銼叮下去角都是盟直的（許比多刀跡合在愁一起展的效具果又篩是光養(yǎng)滑的冒）（微尤積分完中有批“局爛部以誤直代予曲”躺微分艙思想村）以下尼幾個族近似斤計算枯公式蘆就是練在“挺局部幸以直叛代曲紡”微熊分思捧想下咬所得準的結(jié)衰果當云很蜻小時嘆，有粘：383）不規(guī)眠則圖遲形的蠻面積擦：大家套都會熔求：燭正方暢形的夸面積澇，長黨方形花的面乒積，吧三角逮形的暴面積落，多銹邊形乒的面付積，撈圓面調(diào)積。但是喂，怎盒樣求握不規(guī)餐則圖腹形的炕面積回？法Ⅰ.用方踩格套守（想令像成羅透明任的）則。通摔過數(shù)鉆方格桂數(shù)計杰算出達面積宏的近郊似值因。方案格越嶼小，夸所得綠面積換越準（小學(xué)狗數(shù)學(xué)晃中讓悅小學(xué)住生數(shù)繳方格翻，不攜足一兆格當幣半個）北師報大小它學(xué)數(shù)爬學(xué)五淚年級錦上冊P2仁340法Ⅱ.（高策等數(shù)差學(xué)中截的方糾法：丟分割粥、求額和、迫取極居限——定積潤分）首先趙轉(zhuǎn)化笛成求怖曲邊均梯形低的面腦積，汁（不盆規(guī)則拌圖形散→若識干個姿曲邊寧梯形近），胸再設(shè)球法求諒曲邊完梯形售的面座積：腎劃分項，求乞和，縣矩形舍面積波之和~曲邊典梯形類面積尺；越小嫌，就逆越精選確；沾再取瞎極嫂限課，就得裕到曲覽邊梯架形的煉面積舉。=41五、總潛肯無限挨與實伸無限1．潛宴無限學(xué)與實劑無限升簡史潛無庭限是潔指把認無限吊看成渾一個色永無譽終止儉的過猛程，爪認為鴨無限曲只存熄在于需人們蠟的思墳維中黎，只潛是說界話的覽一種愉方式構(gòu)，不粒是一霧個實壞體。42從古南希臘們到康辣托以型前的跌大多泡數(shù)哲樹學(xué)家紐奉和數(shù)稍學(xué)家碰都持戚這種局潛無悶限的強觀點刻。他山們認神為“稼正整印數(shù)集竹是無影限的鍋”來華自我末們不肌能窮酬舉所爸有正傭整數(shù)蓮。例固如，陳可以梢想象失一個晚個正雅整數(shù)稻寫在錦一張社張小爸紙條金上，領(lǐng)從1，2，3，…寫起燃，每纏寫一沾張，召就把護該紙厭條裝詠進一煌個大挑袋子省里，夕那么姜，這疫一過朗程將勞永無階終止甲。因此近，把皮全體訂正整脈數(shù)的雅袋子姿看作適一個腫實體就是不就可能痕的，棉它只行能存促在于侮人們描的思護維里劃。43但康攤托不囑同意駛這一媽觀點金，他仙很愿授意把四這個扛裝有教所有些正整晨數(shù)的附袋子豬看作熔一個誼完整崇的實燃體。道這就沸是實村無限栽的觀會點?？低锌斓墓け魇潜趧潟r拔代的提，對插現(xiàn)代胖數(shù)學(xué)姻產(chǎn)生暫了巨疤大的杜影響欲，但薯當時匆，康梳托的衛(wèi)老師珠克羅垃內(nèi)克亮爾，扶卻激惱烈反唉對康江托的伏觀點充。所施以康愛托當吸時的嘆處境雪和待糞遇都蜘不太捉好。44康托Ge資or鬧g茄Fe諒rd由in煮an宿d番Ph課il窩ip另C只an招to都r瞇(1描84鑒5～19豬18損)德國刑數(shù)學(xué)頸家，喇集合懷論的惑創(chuàng)始蒜者。18保45年3月3日生肝于圣趙彼得欠堡（翼今蘇匹聯(lián)列臨寧格瀉勒）收，19涼18年1月6日病慕逝于孟哈雷針。18不62年17歲時文入瑞睬士蘇脾黎世除大學(xué),翌年砍轉(zhuǎn)入誦柏林暫大學(xué),主修換數(shù)學(xué)勝，從穗學(xué)于E.添E.庫默剝爾、K.（T.唇W.）外調(diào)爾斯獎特拉束斯和L.克羅茅內(nèi)克吹。18鉗66年曾曉去格璃丁根緒學(xué)習(xí)骨一學(xué)披期。18看67年在澤庫默肆爾指床導(dǎo)下票以數(shù)及論方幸面的鋒論文中獲博堵士學(xué)秀位。18算69年在季哈雷炊大學(xué)儉通過縫講師遠資格頌考試翻，后翅即在京該大座學(xué)任鵝講師酸，18窮72年任鉗副教星授，18您79年任納教授免。452．無仿限集厘合也填有“翁大小勻”——從“蘇一一業(yè)對應(yīng)搭”說抖起實無洲限的版觀點腳讓我市們知古道，閑同樣議是無熔限集魔合，汁也可葬能有起不同撒的“大小”。正整味數(shù)集東合是衰最“小”的無鍋限集猴合。實數(shù)鉗集合憑比正涼整數(shù)錦集“大”。實志數(shù)集棄合上女全體宇連續(xù)扯函數(shù)挨的集撤合又坦比實脹數(shù)集規(guī)合更輩大。不存機在最“大”的無謙限集旦合（河即對冬于任劫何無紛限集蛙合，笛都能煎找到稻更“大”的無盆限集慨合）都。46這需戰(zhàn)要“散一一相對應(yīng)瓣”的蛇觀點杜。1）“雅一一秤對應(yīng)岡”——雙射司（單肯射+滿射親）2）集篇合的詠勢|A仇|—淡—集合等中元墓素的華多少3）|N兵|壇=可數(shù)滴無窮劉勢a，|Q貞|=a4）|R評|剃=不可建數(shù)無急窮（榨稱連擋續(xù)統(tǒng)迫勢c）,：無扣理數(shù)圈比有香理數(shù)酒多得咳多。475）無叼窮集祖合可勝能有駁不同城的勢妹，其從中最相小的封勢是a；不盟存在次最大塘的勢傳。6）“母連續(xù)熄統(tǒng)假堆設(shè)”抽長期占未徹降底解擦決“連哨續(xù)統(tǒng)咸假設(shè)枯”：閥可數(shù)狗無窮a是無鋒限集禍中最箏小的靜勢，給連續(xù)攀統(tǒng)勢c是（蘆否？咸）次匠小的死勢。？48康托18故82年曾宣認為倒他證按明了稿這一瞧假設(shè)肆，后或來發(fā)遇現(xiàn)證明有凳錯。19過00年希蜘爾伯哀特提前出的23個問梅題里讀，連涉續(xù)統(tǒng)肅假設(shè)梯是第據(jù)一個詳問題稼。19絨38年哥掩德爾庭證明鄉(xiāng)豐了連蝴續(xù)統(tǒng)架假設(shè)賢對ZF公理立集合泉論是艙相容勢的，19方63年科磁恩證飾明了港連續(xù)聚統(tǒng)假舌設(shè)對ZF公理陷集合基論是頌獨立荒的。莖這樣居，在ZF公理冤集合企論中柴，既緞不能喜證明夠也不衰能否啦定連耳續(xù)統(tǒng)抱假設(shè)石。直到帝現(xiàn)在企，這樓一問王題仍樹吸引擺著一咬些數(shù)浙學(xué)家架的興沫趣。49分球妖怪論19腳24年巴蝦拿赫濁（左巧）和辣塔斯解基（災(zāi)右）已首次趁提出疼這一嬸定理友。50分球振怪論在選表擇公盯理成隊立的張前提刻下可協(xié)以將蚊一個厭三維導(dǎo)實心衰球分辯成有塑限多范塊，娛然后半僅僅收通過植旋轉(zhuǎn)震和平烘移將歇這有貫限多牛塊重鉤新組舉合，購就可針以組相成兩覺個半緩徑和鋪原來響相同飾的完閑整的奔球。蘇這不獄是真洞正的劃悖論沫，只笑不過顏意味磚著選膊擇公眾理可鐘以導(dǎo)供致某碧些違牙反直插覺、配令人鼓驚訝基的結(jié)川果。51六．白哲學(xué)寸中的雅無限1．哲頭學(xué)對潤“無菠限”托的興捆趣哲學(xué)噴是研公究整指個世犁界的胞科學(xué)漢。自關(guān)從提渡出“無限”的概權(quán)念，迫就引愧起了傘哲學(xué)桃家廣夕泛的拜關(guān)注露和研紋究。團現(xiàn)在咳我們緞知道逗哲學(xué)洲中有漲下邊砍一些候命題悉：52物質(zhì)沃是無祖限的傲；時燦間與幻玉空間領(lǐng)是無述限的訓(xùn)；物步質(zhì)的酒運動就形式哀是無喚限的咱。一個轉(zhuǎn)人的采生命壓是有碼限的慢；一膚個人埋對客傍觀世揀界的需認識懲是有牢限的已。532．數(shù)菠學(xué)對融“無哨限”陽的興爆趣數(shù)學(xué)昌則更毀嚴密脆地研晝究有惱限與迷無限樹的關(guān)眾系，斃大大撥提高彈了人粉類認塔識無咳限的唯能力英。在用有限尤環(huán)境懂中生質(zhì)存的豪有限突的人釣類，稼獲得址把握品無限目的能艘力和臟技巧陵，那昌是人踏類的痛智慧棋；在受獲得明這些智成果修過程德中體吧現(xiàn)出販來的爛奮斗另與熱鳥情，日那是湖人類欲的情片感；姿對無日限的談?wù)J識籍成果雹，則店是人提類智等慧與帝熱情被的共槍同結(jié)辦晶。挪一個復(fù)人，恰若把顆自己薪的智遺慧與牌熱情戴融入主數(shù)學(xué)味學(xué)習(xí)帝和數(shù)桌學(xué)研未究之償中，亡就會爐產(chǎn)生查一種坐特別管的感所受。宿如果升這樣墊，數(shù)桌學(xué)的下學(xué)習(xí)昂不僅生不是貫難事義，而振且會溫充滿當樂趣價。本講料作業(yè)1.你現(xiàn)甚在怎儀樣從距數(shù)學(xué)任的角沫度看孝“部圈分”蔽與“翅整體及”的鉤關(guān)系零？你蒸相信勾“部俯分可畢以等殿于整梅體”語嗎？帥如果亮相信爹，請兆舉1個例顆子。2.你現(xiàn)鏈在怎對樣從仙數(shù)學(xué)傾的角音度看友“直便”與場“曲愚”？躁請舉1個“壤局部擋以直械代曲爺”的慘例子本講冤結(jié)束棍，謝沃謝！56本節(jié)酬結(jié)束謝謝58抓三拜堆：有三探堆谷支粒（宏例如10蹦0粒、20樂0粒、30拉0粒）賤，甲膠、乙泥輪流振抓，家每次捕只能兼從一貍堆中雞抓，小最少賣抓1粒，法可抓視任意居多粒斃；甲教先抓摩，規(guī)腐定誰教抓到障最后一把聲誰贏宿。問老：甲棒應(yīng)該懶如何商抓？淺為什溝么？59提示唯：二進運制60“抓三僚堆”的二賓進制調(diào)解法用二擾進制五表示景這三六堆谷淺粒數(shù)印，寫火成三明行，泊并上括下對也齊，排各列糞相加繩，列爪的加囑法定源義為這就扭是模2加法。（插只要原是2的倍傲數(shù)，瞎就記已為0）關(guān)于模2加法，可蠶以推態(tài)廣；亭比如號推廣盆為賣模7加法障：例1：1號是生星期淺一，賺問27號是輸星期約幾？解答：27號與1號相乘差26天，瘋因為倉，肅說明蘭過去3個7天之暖后，草