2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)高頻考點(diǎn)刷題練習(xí)題匯編（含答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)高頻考點(diǎn)刷題練習(xí)題匯編

1.已知：乙4。8=60°.小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識(shí)后，做了一個(gè)夾角為120°(即N

DPE=120°)的角尺來作NAOB的角平分線.

(1)如圖1,他先在邊OA和OB上分別取。。=?！暝僖苿?dòng)角尺使然后他

就說射線OP是/AO8的角平分線.試根據(jù)小新的做法證明射線OP是NA08的角平分

線；

(2)如圖2,小新在確認(rèn)射線OP是/A08的角平分線后，一時(shí)興起，將角尺繞點(diǎn)尸

旋轉(zhuǎn)了一定的角度，他認(rèn)為旋轉(zhuǎn)后的線段和PE仍然相等.請(qǐng)問小新的觀點(diǎn)是否正

確，為什么？

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得。P〃08,請(qǐng)判斷線段。。與

OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(x,y)中的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo))，

滿足正工+僅-8|=0,過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，且

滿足AQ-OZ)=OE,線段AE與)，軸相交于點(diǎn)F,將線段A。向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到線段BC.

(1)直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)在線段BC上有一點(diǎn)G,連接QF,FG,DG,若點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為相，三角形QFG

的面積為S,請(qǐng)用含〃?的式子表示S(不要求寫m的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)S=26時(shí)、動(dòng)點(diǎn)P從。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著線

段D4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著折線AB-BC向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)三角形尸GP的面積是三角形AGQ面積的2倍時(shí)，

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求出P點(diǎn)坐標(biāo)

3.在△ABC中，點(diǎn)尸為8c邊中點(diǎn)，直線“繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，直線“于點(diǎn)M.CN，直

線a于點(diǎn)N,連接PM,PN.

(1)如圖1,若點(diǎn)8,P在直線〃的異側(cè)，延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E.求證：PM=PE；

(2)若直線。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)B,P在直線。的同側(cè)，其它條件不變,

此時(shí)SABMP+SACNP=7,BM=\,CN=3,求MN的長(zhǎng)度.

(3)若過P點(diǎn)作PGJ_直線”于點(diǎn)G,試探究線段PG、B例和CN的數(shù)量關(guān)系.

4.如圖1,在RtZ\A8C中，ZA=90°,AB^AC,點(diǎn)、D,E分別在邊AB,AC上，AO=

AE,連接OC,點(diǎn)M,P,N分別為。E,DC,BC的中點(diǎn).

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,

判斷△PMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：把△AOE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出

△PMN面積的最大值.

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5.如圖，在△ABC中，AC=BC=2,ZC=90°,將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB

的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊（或延長(zhǎng)線）分別交射線4C、

射線于￡＞、E兩點(diǎn).

（1）如圖（a）,當(dāng)尸。_L4C,尸E_LBC時(shí)，線段尸。與PE有何大小關(guān)系，并說明理由;

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)三角板處于圖（匕）和圖（c）中的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是

否仍然成立？請(qǐng)以圖（6）為例說明理由；

（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否能構(gòu)成等腰三角形？若能，直接寫出CC的長(zhǎng)；若

不能，請(qǐng)說明理由.

圖b圖c

6.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,過A作AO_L8C于點(diǎn)點(diǎn)E為直線AD

上一動(dòng)點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到線段E凡連接尸C、FB,直線AO與

B尸相交于點(diǎn)G.

（1）［發(fā)現(xiàn)］如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)，填空：

①處的值為；

BF

②/AGB的度數(shù)為；

（2）［探究］如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，請(qǐng)寫出處的值及NAGB的度數(shù)，并就圖2的情形

BF

給出證明；

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(3)［應(yīng)用］如圖3,當(dāng)a=90°時(shí)，若A3=2A/§,/ACE=15°,請(qǐng)直接寫出△QFG

的面積.

7.如圖1,ZXABC中，48=4C,點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)后在AC上，S.AE=AD.

(1)求證：NBAD=2NCDE；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作DF1.AC,垂足為F,若NC4O=2N8,求證：AC+AD=2CF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，把△OCE沿OE翻折得到△DGE,若AG=8,CE=2,

求BO的長(zhǎng).

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8.如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC邊上一點(diǎn),連接AD

(1)如圖1,將AQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE.連接。E,BE,若跑」L,BC

BD10

=6,求CO的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,將AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到4E,連接CE交48于尸，G為AC

邊的中點(diǎn)，連接FG,猜想FG與4E存在的關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,以AC為斜邊向AC邊右側(cè)作RtZXAEC,連接BE,F為BE上一點(diǎn),且

BF=3BE,連接QF,若AB=4,CD=\,當(dāng)QF取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出△BCF的面

9.在△ABC和△AOE中，NBAC=/￡>AE=90°,且A8=AC,AD^AE.

(1)如圖1,如果點(diǎn)力在BC上，且80=4,CD=3,求。E的長(zhǎng)；

(2)如圖2,AD與BC相交于點(diǎn)M點(diǎn)。在8c下方，連接BO,且連接

CE并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡點(diǎn)M是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CM=A尸，求證：

CF=AN+MN；

(3)如圖3,若AO=AB,△AOE繞著點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，取。E中點(diǎn)M，連接BM,取8M中

點(diǎn)N,連接AN,點(diǎn)尸為BC中點(diǎn)，連接。M若ON恰好經(jīng)過點(diǎn)凡請(qǐng)直接寫出QF：

DN：AN的值.

D

圖2

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10.在△ABC和△(?￡>￡中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE,點(diǎn)。在邊AC上,

點(diǎn)E在邊BC上，如圖1將△CCE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°VaW

90°).

圖1圖2圖3

(1)連接AO,BE.求證：AD=BE.ADA.BE-,

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，點(diǎn)A,D,E在一條直線上，連接BO,BE,若4。=2&,

CD=1,貝ijB￡)=；

(3)當(dāng)a=90°時(shí)，如圖3,連接AO,BE,延長(zhǎng)4。交BE于點(diǎn)凡連接CF,若DF

=1.￡F=A/3-則CF=.

11.如圖，直線MN〃P。，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，ZACB-Z

￡DF=90°,ZABC=ZBAC=45°,ZDFE=30°,ZDEF=60°,此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)E

重合.

圖1圖2圖3備用圖

(1)對(duì)于圖1,固定△ABC的位置不變，將△￡>￡/繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)至。E與BC首次平行，如圖2所示，求此時(shí)NFAC的度數(shù).

(2)對(duì)于圖1,固定aABC的位置不變，將△￡>￡尸沿AC方向平移至點(diǎn)F正好落在直

線MN上，再將△力EF繞點(diǎn)尸按順時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如圖3所示.

①若邊EF與邊8C交于點(diǎn)G,試判斷/3GF-/EFN的值是否為定值，若是定值，則

求出該定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由；

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②對(duì)于圖3,固定△ABC的位置不變，將△QEF繞點(diǎn)F順時(shí)針方向以每秒10°的速度

進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF與直線MN首次重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)經(jīng)過f秒時(shí)，線段OE與△4BC的

一條邊平行，求滿足條件的，的值.

12.已知△ABC,/ACB=90°,AC=BC=4,C是AB的中點(diǎn)，尸是平面上的一點(diǎn)，且

DP=\,連接CP

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△8PC是等腰三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(3)將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)夕，連接A8',求48'的最大值.

13.在△A8C中，/ABC=90°,AB=BC,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將邊4c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定

角度，得到線段AD,使BD//AC,交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CE_LA。交A。于點(diǎn)F.

(1)若AB=3,求8。的長(zhǎng)；

(2)求證：AG=CF+MDF；

(3)點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段上存在一點(diǎn)N,使NB+NA+NC的值最小時(shí)，

NB的長(zhǎng)為m,請(qǐng)直接用含m的式子表示NB+M4+NC的最小值.

圖1圖2

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14.在Rt/LABC中，ZACB=90°，AC=BC,點(diǎn)、D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)。作。E_LA8,

交BC于點(diǎn)E,連接AE,取AE的中點(diǎn)P,連接。P,CP.

(1)觀察猜想

如圖(1),OP與CP之間的數(shù)量關(guān)系是，DP與CP之間的位置關(guān)系是.

(2)類比探究

將圖(1)中的△BQE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,

請(qǐng)就圖(2)的情形給出證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)問題解決

若BC=3BD=3版,將圖(1)中的△BOE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE_LAB時(shí),

請(qǐng)直接寫出線段CP的長(zhǎng).

圖(1)圖(2)備用圖

15.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),B(-2,m),過B點(diǎn)作直線a與x軸

互相垂直，C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NBAC=90°.

(1)如圖1,若點(diǎn)8是第二象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且m=4時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；AC

(2)如圖2,若點(diǎn)B是第三象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)(x,0),試判斷m+x的

值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出根+x的值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,連接BC,作NABC的平分線B。，點(diǎn)E、尸分別是射線8。與邊BC上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE、EF,當(dāng)切=3.5時(shí)，試求CE+EF的最小值.

圖1圖2圖3

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16./XABC為等邊三角形，A8=4,A。，8c于點(diǎn)。，點(diǎn)￡為A。的中點(diǎn).

(1)如圖1,將AE繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AF,連接EF交AB于點(diǎn)G,求證：G為

EF中點(diǎn).

(2)如圖2,在(1)的條件下，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,連接BE,

，為BE的中點(diǎn)，連接。4,GH.當(dāng)30°<a<120°時(shí)，猜想NQ”G的大小是否為定

值，并證明你的結(jié)論.

(3)在△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，H為BE的中點(diǎn)，連接C”，間線段CH何時(shí)

取得最大值，請(qǐng)說明理由，并直接寫出此時(shí)△A?！钡拿娣e.

17.在△ABC和△AEF中，/AFE=NABC=90°,NAEF=NACB=30°,AE=」AC,

2

連接EC,點(diǎn)G是EC中點(diǎn)，將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,若E恰好在線段AC上，AB=2,連接FG,求FG的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸恰好落在射線CE上，連接8G,證明：GB=?AB+GC；

2

(3)如圖3,若AB=3,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)GB-』GC最大時(shí)，直接寫出直線

2

AB,AC,BG所圍成三角形的面積.

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18.在平面直角坐標(biāo)系中，A(〃，0),B(0,b)分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn),

點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸正半軸上C點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)2“2+4”/7+4。2+2〃+1=0時(shí)，求4,B的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)。+〃=0時(shí)，

①如圖1,若。與P關(guān)于y軸對(duì)稱，并交。B延長(zhǎng)線于E,交AB的延長(zhǎng)線于巴

求證:PB=PF；

②如圖2,把射線8P繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45",交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)CP=AQ時(shí)，求NAPB

的大小.

19.在△ABC中，AB=AC=6如,ZBAC=90Q,AQ_LBC于點(diǎn)￡),￡；為線段AO上的一

點(diǎn)，AE：DE=2；1,以AE為直角邊在直線AO右側(cè)構(gòu)造等腰RtZsAEF,使ZEAF=

90°,連接CE,G為CE的中點(diǎn).

(1)如圖1，EF與AC交于點(diǎn)“，連接GH,求線段GH的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a且45°<a<135°,，為線段

EF的中點(diǎn)，連接￡>G,HG,猜想NOGH的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,連接8G,將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出BG

長(zhǎng)度的最大值.

圖1圖2圖3

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20.如圖①，在RtZXABC中，ZBAC=90°,A8=3,AC=4,點(diǎn)。，E,N分別是△ABC

的48,AC,BC邊上的中點(diǎn)，連接4MDE交于點(diǎn)A1.

(1)觀察猜想：

股的值為:8。與CE的位置關(guān)系是

MN

(2)探究與證明:

將△AOE繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0。<a<360°),且AAOE內(nèi)部的線段AM

隨之旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，連接8。，CE,mV,試探究線段與之間分別有什么樣

的數(shù)量關(guān)系，以及BO與CE有什么樣的位置關(guān)系，并證明；

(3)拓展與延伸:

△AOE在旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線CE與8。相交于點(diǎn)凡當(dāng)NC4E=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫

出BF的值.

圖②

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參考答案：

1.【解答】（1）證明：如圖1中,

圖1

在△0P。和△OPE中，

rOD=OE

<PD=PE>

OP=OP

.'./\OPD^^OPE(SSS),

:./POD=NPOE.

(2)解：結(jié)論正確.

理由：如圖2中，過點(diǎn)P作PHJ_OA于H,PK_LOB于K.

圖2

,：ZPHO=ZPKO=90°,N4OB=60°,

；.NHPK=120°,

VZDPE=ZHPK=120°,

:./DPH=NEPK,

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平分乙4。8,PHLOA,PKLOB,

：.ZPOH=ZPOK,ZPHO=ZPKO=90°,

在△OPH和△OPK中，

rZP0H=ZP0K

<ZPHO=ZPKO=90°>

OP=OP

:.△OPHQXOPKCAAS),

.".PH=PK,

在△戶“￡>和△PKE中，

rZPHD=ZPKE

<PH=PK，

ZDPH=ZEPK

：./\PHD^/\PKE(ASA),

：.PD=PE.

(3)解:結(jié)論：OE=2OD.

理由：如圖3中，在08上取一點(diǎn)T,使得OT=OD,連接P7.

：0P平分N40B,

：.ZPOD=ZPOT,

在△POD和△POT中,

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rOD=OT

<NPOD=NPOT，

OP=OP

：./\POD^/\POT(SAS),

：?NODP=/OTP,

??PD//OB,

：.ZPDO+ZAOB=\80<3,NDPE+/PEO=180°,

VZAOB=60°,Z￡)PE=120°,

AZODP=120°,ZPEO=60Q,

：.ZOTP=ZODP=120o,

AZPTE=60°,

；?/TPE=/PET=60°,

:?TP=TE,

2PTE=/TOP+/TPO,/POT=30°,

：.ZTOP=ZTPO=30°,

???OT=TP,

???OT=TE,

：.OE=2OD.

2.【解答】解：(1)???4^+|y-8|=0,

又???V7^^o，ly-8|20,

/.x=2,y=8,

AA(2,8),

???AQ_Lx軸，

A0D=2,A￡>=8,

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9：AD-OD=OE,

：.0￡=6,

：.E(-6,0).

(2)如圖1中，連接OG.

圖1

由題意G(10,加).

U：AD=DE=S,

NADE=90°,

???NAED=45°,

：.ZOEF=ZOFE=45°,

???OE=OF=6,

：.F(0,6),

S=S^ODG+S^OFG-SAOFD^Ax2X,n+Ax6X10-Ax2X6=m+24(0W〃?W8).

222

(3)如圖2中，設(shè)尸G交AO于J,P(2,/),當(dāng)點(diǎn)P在D/上，點(diǎn)。在AB上時(shí),

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當(dāng)5=26時(shí),m=2,

：.G(10,2),

VF(0,6)，

?,?直線FG的解析式為y=-Zx+6,

5

：.J（2,空），

5

由題意，.1?(空7)X10=2XAX2ZX6,

252

解得r=型,

17

??.P⑵等'

當(dāng)點(diǎn)P在47上，點(diǎn)。在BG上時(shí)，同法可得,.1?G-空)X10=2XJLX(14-2f)

252

X8,

解得f=磔,

21

“⑵啜

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,26）或（2,138、

17~2T

3.【解答】（1）證明：如圖1中,

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BC

圖1

???3MJ_直線〃于點(diǎn)M,CNJ_直線〃于點(diǎn)M

???N6MA=NCNM=90°,

:.BM〃CN,

：.NMBP=/ECP,

又TP為8C邊中點(diǎn)，

；?BP=CP,

又?：NBPM=NCPE,

:?XBPM義/XCPE(ASA),

；?PM=PE

(2)解：延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)￡

???8M，直線。于點(diǎn)M,CNJ_直線。于點(diǎn)M

:./BMN=4CNM=90°

：.ZBM/V+ZCW=180°,

：.BM//CN

：.ZMBP=ZECP,

又TP為BC中點(diǎn),

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：.BP=CP,

又,：NBPM=NCPE,

：.^BPM^/\CPE(ASA),

；?PM=PE,SAPBM=SAPCE,

；?AE=CN+CE=4,

*.*SABMP+SACNP=7,

:?SAPNE=7,

**?S^MNE=2S&PNE=14,

???JLXMNX4=14,

2

：.MN=7.

(3)解：如圖1-1中，當(dāng)點(diǎn)B,尸在直線。的異側(cè)時(shí),

VPG±a,CNl.ch

：.PG//CN,

?：PM=PE,

:?MG=GN,

：.PG=^EN=1.QCN-EC),

22

*：EC=BM,

第18頁共66頁

2

如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)B,P在直線a的同側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)MP交NC的延長(zhǎng)線于Q.

：.PG//CN,

"：BM//CQ,

:.NBMP=NQ,

■:NBPM=/CPQ,BP=CP,

:.叢PMB4叢PQCCAAS),

：.PM=PQ,BM=CQ,

:.MG=GN,

.?.PG=LQ=2(CN+BM).

22

綜上所述，PG=A(CN-BM)或PG=2(CN+BM).

22

4.【解答】解：(1)；點(diǎn)P,N是BC,CO的中點(diǎn)，

：.PN//BD,PN=LBD,

2

?點(diǎn)P,M是CO,DE的中點(diǎn)，

J.PM//CE,PM^kcE,

2

'：AB=AC,AD=AE,

第19頁共66頁

：.BD=CE,

:.PM=PN,

YPN//BD,

：./DPN=ZADCf

YPM//CE,

；?NDPM=/DCA,

?.?NBAC=90°,

???NAOC+NACD=90°,

???/MPN=NDPM+NDPN=NOCA+NA￡>C=90°,

:?PM，PN,

故答案為：PM=PN,PM1PN；

(2)△PMN是等腰直角三角形.

由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAEf

???AB=AC,AD=AEf

：./\ABD^/\ACE(SAS),

???NABO=NACE,BD=CE,

利用三角形的中位線得，PN=LBD,PM=LCE,

22

:.PM=PN,

???△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法得，PM//CE,

；?NDPM=NDCE,

同（1）的方法得，PN〃BD,

第20頁共66頁

ZPNC=ZDBC,

"：NDPN=ZDCB+ZPNC=NDCB+NDBC,

：.NMPN=NDPM+NDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=NBCE+NDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC^ZACB+ZABC,

VZBAC=90°,

/.ZACB+ZABC=90)>,

：.NMPN=90°,

.?.△PMN是等腰直角三角形；

(3)方法1：如圖2,同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形,

；.MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，

：.DE//BCS.Z)E在頂點(diǎn)A上面，

：.MN最大=AM+AN,

連接AM,AN,

在△AOE中，AD=AE=4,NDAE=90°,

:.AM=2版,

在R48C中，AB=AC=10,AN=5近,

'MN啦=2亞+5&=7亞，

/.S^PMN=APM2=AxIMN2=AX(7&)2=至.

22242

方法2：由(2)知，是等腰直角三角形，PM=PN=LBD,

2

...尸M最大時(shí)，△尸MN面積最大，

第21頁共66頁

???點(diǎn)。在區(qū)4的延長(zhǎng)線上,

：.BD=AB+AD=\4f

；?PM=7,

-

SAMN超大=—PM~——X7-49.

222

圖2

5.【解答】解：(1)尸。=PE,理由如下:

"：AC=BC,ZACB=90°,

.,./A=NB=45°,

'：PD±AC,

ZADP=90°,

AZAPD=45°,

在△AOP和△BEP中，

"ZADP=ZBEP

'ZA=ZB，

AP=PB

二△?!￡)「絲△BEP(A4S),

：.OD=PE；

(2)如圖1,

第22頁共66頁

PD=PE仍然成立,理由如下：

連接PC,

'：AC=BC,AP=BP,NACB=90°

ACP±AB,ZACP=ZBCP=yZACB=45°，CP=BP=

/.ZBPC=90°,ZACP^ZB,

：.ZBPC=ZDPE=90a,

二NBPC-/CPE=ZDPE-ACPE,

即：NBPE=NCPD,

在ABPE和4CP0中，

rZB=ZACP

-PC=PB，

ZBPE=ZCPD

：./\BPE^/\CPDCASA),

:.PD=PE；

第23頁共66頁

'：AC=BC=2,ZACB=90°,

:.AB=2近,

?點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

：.AP=BP=-^-AB=V2,

當(dāng)4。=42=&時(shí)（圖中。1和。2）,

ACD\=AC-AD2=2-V2-CD2=AC+AZ）2=2+&,

當(dāng)AP=P。時(shí)（圖中￡>3）,

此時(shí)點(diǎn)C和C點(diǎn)重合，

C￡>3=0,

當(dāng)AZ）=P。時(shí)（圖中￡>4）,

CZ）4=A￡>4=1,

綜上所述：8=2+&或2-料或0或1.

6.【解答】解：（1）①：a=60°,

/.ZBAC=ZCEF=60",

,：AB=AC,線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF（CE=EF）,

/\ABC和是等邊三角形，

：.BC=AC,FC=EC,/BC4=/FCE=/ACB=60°,

：.ZFCB^ZECA,

二△尸CBZZ\EC4（SAS）,

：.BF=AE,

.AE=1.

BF

故答案為：1;

第24頁共66頁

②由①得△FCB四△ECA,

NFBC=NEAC,

ZBDG^ZADC,

：.ZBGD=ZACD=60°,即NAGB=60°,

故答案為：60°；

(2)膽=退_,NAGB=30°,證明如下:

BF3

設(shè)CF與AO交于M,如圖：

Va=120°,

.../BAC=/CE尸=120°,

'：AB=AC,線段CE繞點(diǎn)片順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(CE=EF),

.?.NBC4=/FCE=30°,坐=9,

EFCE

ZFCB=ZECA,/XABC^^EFC,

?BC=AC

"CFCE'

:.△FCBS/XECA,

AAE=AC,NBFC=NAEC,

BFBC

4FMG=NEMC,

.../AGB=/"E=30°,

第25頁共66頁

在Rt^ACD中，型=cos30。，

AC

.AC_2

CDVs

?AE=AC=AC.

??麗BC2CD~3~,

(3)①當(dāng)E在線段A。上時(shí)，連接F￡>,過尸作/K_LAG于K,如圖:

Va=90°,AB=AC,線段C￡繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到線段EF,

...△A8C和△EVC是等腰直角三角形，

：.ZACB=45°,

VZACE=15°,

AZDCE=30°,

,:AB=2M，

：.AC=2,A/3.BC=2氓,

'：AD±BC,

：.BD=CD=yf^,

在RtZXECD中，cos30°=逅，

CE

:.CE=2近=EF,

'：/￡>EC=90°-NDCE=60°,

第26頁共66頁

：.ZFEK=30°,

：.FK=AEF=5/2,

2

型=空，ZBCF=450-NBCE=NACE,

ACEC

:.△BCFSXACE,

：.ZFBC=ZEAC=45°,

'：AD±BC,

/\BDG時(shí)等腰直角三角形，

:.DG=BD=\f^),

△。尸G的面積為工。G?FK=JLX企X&=4；

22

②當(dāng)E在D4延長(zhǎng)線上時(shí)，連接FD,過尸作尸兀LAO于7,如圖:

VZACE=15°,ZACD=45°,

；.NECD=60°,

/.ZDEC=30°,NEFD=60°,

VCD=V6>

:.CE=FE=2氓,

在RtaEFT中，F(xiàn)T=FE-sm60Q=3近,

第27頁共66頁

Q

vBC=CF,ZBCF=45°-ZACF=ZACE=15,

ACEC

:?△BCFsXACE,

：.ZBFC=ZAEC=30°,

AZDGB=ZBFC+ZBCF=45°,

???叢BDG是等腰直角三角形，

：.DG=BG=工BC=^,

2

???△。燈；的面積為」。6才7=」義&X3我=3愿；

22

綜上所述，△。尸G的面積為或3%.

9

7.【解答】(1)證明：：AB=AC,AD=AEf

:?/B=/C,NADE=NAED,

*/ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,ZAED=ZC+ZCDE,

：./B+NBAD=NC+NCDE+/CDE,

:.NBAD=2NCDE.

(2)證明：如圖2中，在rC上截取RW,使得汽M=AF,連接。M

圖2

VDF±AM,AF=FM,

：.DA=DM,

：.ZCAD=ZDMAf

第28頁共66頁

9

：ZCAD=2ZB=2ZCfZAMD=ZC+ZMDC.

：.NAMO=2NC,

：.ZC=ZMDC,

：.MD=MC,

：.AD^AF=DM+FM=CM+FM=CF,

：.AC-CF=CF-CM,

：.AC-CF=CF-ADf

：.AC+AD=2CF.

(3)解：如圖3中，在尸C上截取EW,使得尸M=AF,連接。M,CG.

圖3

設(shè)N5=NC=0,ZCDE=ZGDE=a,

VZG4D=2p,ZADE=ZAED=a+p,

A2p+2(a+p)=180°,

J20=90°-a,

VZAFD=90°,

???/ADF=/MDF=a,

：.ZAEG=180°-a-p-A(180°-20)=20,

2

VAE=CM,

:?AM=CE=EG,

第29頁共66頁

9

：AD=AEf

：./\ADM^/\EAG(SAS)，

：.AG=DM=AD=AE=S,

YEC=2,

：.AC=AE+CE=\Q=AB,AF=FM=l,

,：DF2=AD2-AF2=CD2-CF2,

：.CD=\2,

設(shè)BD=2m,則8C=2〃z+12,

作A”_L3c于H,貝ljCH=BH=m+6,

:?DH=6+m-2m=6-m,

"：AH2=AD2-O〃2=2.c“2,

Z.82-(6-m)2=102-(.+6)2,

解得m——,

2

BD-2m=3.

8.【解答】解：(1)如圖1,

圖1

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,NBAC=60°,

第30頁共66頁

VZDAE=60°,

ZBAC=NDAE,

：.ZBAC-N8A￡>=ZDAE-ABAD,

:.NBAE=NCAD,

又<AD=AE,

：./XABE^/XACD(SAS),

：.CD=BE,

..BE_7

,麗F

CD=JL,

"BDIO'

.?.CQ=J-BC=絲；

1717

(2)如圖2,

延長(zhǎng)E4至”，?AH=AE,連接CH,

"：AD=AE,ZEAD=120°,

：.AH=AD,ZDAH=60°,

.?.△AOH是等邊三角形，

AZAHD^ZADH=60°,

第31頁共66頁

?/△ABC是等邊三角形,

???NAC8=60°,

???ZACB=ZAHD,

???點(diǎn)A、D、C、H共圓，

AZACH=ZADH=60°,

/.ZACH=ZBAC=60°,

：.AF//CH,

?EF_AE_i

FCAH

：.EF=CF,

又<AG=GC,

.'.FG//AE,FG=AA￡；

2

(3)如圖3,

取AC的中點(diǎn)。，連接OE、OB,作Fl〃OE交OB于1,

：./\B1FSXB0E,OE=/AC=2，NOBC=30°,

.?工=匣=里=3,

"OEBEOB5"

第32頁共66頁

：.IF=旦,BI=

5

??.F點(diǎn)在以/為圓心，§為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

5

當(dāng)。、/、/在同一條直線時(shí)，。尸最小,

作/K_L8￡)于K,尸6_1_8。于6,

.?.8K=B/?cos30°=_|^§/亨=_1,

：.DK=BD-BK=3-9=

55

???D1=VDK2+IK2=,

:.DF=D1-IF=-"I，

由△OGFS^QK/得，

FG=pFt

IK5r

.FG^21V3-6V21

*,35-

SABDF=—BD'FG

2

=1-2卜質(zhì)-6亞

7X3X35—

=63V3-18V21

70

第33頁共66頁

9.【解答】解：(1)如圖1,連接CE,

???N84C=NZME=90°,

AZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

???A8=4C,AD=AE,

：./XABD^ACE(SAS),

???N8=NC=45°,

:?CE=BD=4,ZACE=ZB=45°,

???NOCE=45°+45°=90°,

在RtZ\OCE中，CE=4,CD=3,

.?.DE=A/32+42=5.

(2)如圖2,延長(zhǎng)AO至S,使AS=CR連接CS,

由(1)可得：^ABD^ACE,

'：AD-LBD,

：.ZAEC=ZADB=90°,

VZDAE+ZAEC=180°,

：.AS//CF,

J四邊形ASCE是平行四邊形，ZNCS=ZABC=45°,

：.CM=AF=CSf

VZNCS=ZNCM=45°,NC=NC,

：./\NCS^NCM(SAS),

:?SN=MN,

第34頁共66頁

???CF=AS=AN+SN=AN+MN；

(3)如圖3,設(shè)BCOE相交于點(diǎn)G,連接AG,CM,BE,AP,CD,作A"_LDV交

DN的延長(zhǎng)線千點(diǎn)、H,G/上FD于點(diǎn)、/,

'：AB=AD,

：.AB=AC=AD=AE,BC=DE,

：.NABE=/AEB,

VZABG=ZAEG=45°,

:?NGBE=NGEB,

：.GB=GE,

：.GC=GD,

??,尸為8C中點(diǎn)，M為OE中點(diǎn)，

；?FC=MD,

：.GF=GM,

?：ZDGF=NCGM,

???△GDF出GCM(SAS),

:?/GDF=/GCM,DF=CM,

?；N為BM中點(diǎn),

???N/是△BMC的中位線，

:,NF〃CM,

；?NGDF=NGCM=/GFD,NF：DF=NF：CM=1：2,

:?GF=GD=GC=GM,DF：DN=2：3,

???CT為OG直徑，

第35頁共66頁

AZC￡)F=90°,

\"AD=AC,

，AG垂直平分DC,

.'.AG//FD,

：.NBFN=ZAGF,

'：ZBFN+4AFH=ZFAH+ZAFH=90°,

二NFAH=/BFN=/AGF=NGF1,

設(shè)GF=GC=k,則AF=」LBC=FC=2Z,NF=k,

2

tanZFAH=tanZGFI=tanZAGF=a=2,

:.AH=M￡k,FH=^S-k,Fl=Gl=^^-k,

5555

:.FD=2Fl=^I^-k,DN=

55

:.NF=工FD=&k,

25

二HN=FH-NF=&k=嵬昌,

555

：.DF：DN：AN=k:k*—_'Jk2*3：^13.

555

圖3

第36頁共66頁

M

D/

:圖2/

1/

t/

1/

1/

9/

Sr

圖1

10.【解答】(1)證明：如圖1中,延長(zhǎng)AD交BE的延長(zhǎng)線于T,設(shè)4T交BC于J.

B

ac

圖1

,.?/ACB=/￡>CE=90°,

，NACD=NBCE,

在△ACC和△BCE中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE>

CD=CE

A/XACD^/XBCE(SAS),

：.AD=^BE,NCAD=NCBE,

第37頁共66頁

"：ZCJA=ZBJT,

：.ZBTJ=ZACJ=90a,

：.AD±BE.

(2)解:如圖2中,

DE=7DC2+DE2=Vl2+12=&'

,:AD=BE=2近,/AEB=90°,

?#*BD=-7DE2+BE2=V(V2)2+(2V2)2=

故答案為：Vw.

(3)如圖3中，過點(diǎn)C作CPJ_8E于P,CQ-L4尸于。.

圖3

VAACD^ABCE,CQ_LAO,CPLBE,

：.CQ=CP,

平分NAFE,

第38頁共66頁

VZAF￡=90°,

:.NCFP=NCFQ=45°,

：/CPF=NCQF=90°,

QC=QF=CP=PF,

.??四邊形2c尸尸是菱形，

VZPFQ=90°,

二四邊形2c尸尸是正方形，

,.?/￡>CE=/QCP=90°,

，ZQCD=NPCE,

在RtACQD和RtACPE中，

(CD=CE,

ICQ=CPT

/.RtACgD^RtACPE(HL),

：.DQ=PE,

：.DF+EF=FQ-DQ+PF+PE=2PF=l+如,

：.PF=1^3..,

2

:.CF=?PF=?.

2

故答案為：返+VL

2

11.【解答】解：(1)如圖2中，

第39頁共66頁

：.ZCED=ZBCA=90°,

：.ZFAC=ZCED-ZFAD=9O0-60°=30°.

(2)①如圖3中，過點(diǎn)G作直線”L〃MN.

圖3

?：MN//PQ,HL//MN,

J.MN//HK//PQ,

：./HGF=/EFN,NBGH=NABC,

/BGF=NHGF+NBGH=NEFN+NABC,

：.ZBGF-NEFN=ZABC=45°.

②如圖4-1中，當(dāng)DE:〃BC時(shí)，/=毀=3.

10

第40頁共66頁

圖4-1

如圖4-2中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)力E〃48時(shí)，t=(90-15)+10=7.5.

圖4-2

同法，當(dāng)OE〃AC時(shí)，t=(135-15)4-10=12.

綜上所述，滿足條件的/的值為3或7.5或12.

12.【解答】解：(1)如圖1中，連接CD

在RtZ\ABC中，NAC8=90°,AC=BC=4,

.?.A8=1AC2+BC2=4加,

"：AD=DB,

：.CD=^AB=2\[2>CDLAB,

2

在中，PC=4血2成2=3.

第41頁共66頁

(2)如圖2中,'：DP=\,

...點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心的OO上.

，尸、。都在線段8c的垂直平分線上，設(shè)直線。尸交BC于E.

，NPEC=90°,BE=CE=2,

?；NCOB=90°,

:.DE=1BC=CE=2,

2

在RtaPCE中，70=