方程與不等式

方程與不等式------------------------------------方程與不等式------------------------------------方程與不等式方程與不等式方程式與不等式一、考點(diǎn)綜述考點(diǎn)內(nèi)容：1、方程的解、解方程及各種方程（組）的有關(guān)概念2、一元一次方程及其解法和應(yīng)用；二元一次方程組及其解法和應(yīng)用3、用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程4、可化為一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用5、一元二次方程根的判別式及應(yīng)用6、不等式（組）及解集的有關(guān)概念，會用數(shù)軸表示不等式（組）的解集7、不等式的基本性質(zhì)8、一元一次不等式（組）的解法及應(yīng)用二、例題精析題型一：計(jì)算例1解方程：．【解題思路】去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解分式方程的基本方法，驗(yàn)根只需將結(jié)果代入最簡公分母即可．原方程變形為方程兩邊都乘以，去分母并整理得，解這個方程得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是．【答案】．【規(guī)律總結(jié)】部分學(xué)生在解分式方程時(shí)，往往不能拿到全部分?jǐn)?shù)，其中很多人是因?yàn)橥洐z驗(yàn)．突破方法：牢牢記住分式方程必須驗(yàn)根，檢驗(yàn)這一步不可缺少．例2．【解題思路】解方程組的基本思路就是消元和降次，要根據(jù)方程組的特點(diǎn)選取適當(dāng)方法．由方程①可得，∴.它們與方程②分別組成兩個方程組：解方程組可知，此方程組無解；解方程組得所以原方程組的解是【答案】【規(guī)律總結(jié)】少數(shù)學(xué)生未能掌握二元二次方程組的基本解題思路，不知如何處理．突破方法：將第一個方程通過因式分解，得到兩個一次方程，再分別與第二個方程組成兩個新的方程組，求解．解題關(guān)鍵：解二元二次方程組的基本解題思想是消元，即化二元為一元．常用的方法就是通過因式分解進(jìn)行降次，再重新組成新的方程組求解，所求得的結(jié)果即為原方程組的解．題型二：不等式（組）及解集例4已知方程組的解x、y滿足2x+y≥0，則m的取值范圍是（）A．m≥－B．m≥C．m≥1D．－≤m≤1【解題思路】由題意，可求出，代入2x+y≥0，解得m≥－．或者也可整體求值，把第(2)式乘以4減去第(1)式直接得，得，解得m≥－．【答案】選A．【規(guī)律總結(jié)】本題一般做法是把m看作是已知系數(shù)，用含m的代數(shù)式表示x、y，解出方程組的解，然后再把所求的x、y的值入題目中的不等式，從而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依據(jù)題目條件的特點(diǎn)，從整體考慮，直接進(jìn)行整理得到與不等式相關(guān)的代數(shù)式，進(jìn)行求解．題型三：方程解幾何問題例3如圖甲車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留）．OOBA·圖乙圖甲AB2米4米60米【考點(diǎn)要求】本題考查用方程解幾何問題，方程是解決幾何有關(guān)計(jì)算問題的有效的方法和工具，通常結(jié)合勾股定理的形式出現(xiàn)．【解題思路】連結(jié)OB，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交于F，如圖．·EFOBA由垂徑定理，可知：E是AB·EFOBA∴EF是弓形高∴AE=2，EF=2．設(shè)半徑為R米，則OE=(R－2)米．在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2=．解得R=4．∵sin∠AOE=，∴∠AOE=60°，∴∠AOB=120°．∴的長為=．∴帆布的面積為×60=160（平方米）．【答案】160（平方米）．【規(guī)律總結(jié)】方程是解決幾何有關(guān)計(jì)算問題的有效的方法和工具，通常結(jié)合勾股定理的形式出現(xiàn)，在利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時(shí)，要善于把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題．題型四：方程解實(shí)際應(yīng)用例5．某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件．已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克．據(jù)現(xiàn)有條件安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請你設(shè)計(jì)出來．若甲種原料每千克80元，乙種原料每千克120元，怎樣設(shè)計(jì)成本最低．【解題思路】（1）設(shè)生產(chǎn)種產(chǎn)品件，種產(chǎn)品件．按這樣生產(chǎn)需甲種的原料，∴即：．∵為整數(shù)，∴∴有三種生產(chǎn)方案．第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，種產(chǎn)品19件；第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件．（2）第一種方案的成本：（元）．第二種方案的成本：（元）．第三種方案的成本：（元）．∴第三種方案成本最低．【答案】（1）第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，種產(chǎn)品19件；第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件．（2）第三種方案成本最低．【規(guī)律總結(jié)】解決本題的關(guān)鍵在于找出生產(chǎn)種產(chǎn)品和種產(chǎn)品分別甲種原料和乙種原料的數(shù)量，再根據(jù)廠里現(xiàn)有甲乙兩種原料的數(shù)量列出不等式組，解不等式組得出結(jié)果可得三種生產(chǎn)方案．再根據(jù)三種不同方案，求出最低成本．三、綜合訓(xùn)練一、選擇題1.不解方程判斷下列方程中無實(shí)數(shù)根的是()A.-x2=2x-1B.4x2+4x+=0;C.D.(x+2)(x-3)==-52.若是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值（）A．2007B．2005C．－2007D．40103．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元,已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元,如果平均每月增長率為x,則由題意列方程應(yīng)為()A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10004.一元一次不等式組的解集是（）A．-2＜x＜3B．-3＜x＜2C．x＜-3D．x＜25．如圖1，在數(shù)軸上所表示的是哪一個不等式的解集（）A．B．C．x+1≥-1D．-2x＞46．關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，那么a滿足的條件是()A．a(chǎn)＞3B．a(chǎn)≤3C．a(chǎn)＜3D．a(chǎn)≥3二、填空題1.已知方程組的一組解是，則其另外一組解是．2.3名同學(xué)參加乒乓球賽，每兩名同學(xué)之間賽一場，一共需要______場比賽，則5名同學(xué)一共需要______比賽．3．不等式的解集是__________________．4．當(dāng)x_________時(shí)，代數(shù)代的值是正數(shù)．5．不等式組的解集是__________________．6．不等式的正整數(shù)解是_______________________．7．的最小值是a，的最大值是b，則8．生產(chǎn)某種產(chǎn)品，原需a小時(shí)，現(xiàn)在由于提高了工效，可以節(jié)約時(shí)間8%至15%，若現(xiàn)在所需要的時(shí)間為b小時(shí)，則____________<b<_____________．三、解答題1．已知關(guān)于x、y的方程組．（1）求這個方程組的解；（2）當(dāng)m取何值時(shí)，這個方程組的解中，x大于1，y不小于－1．2．已知方程組的解為負(fù)數(shù)，求k的取值范圍．3．某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只需交10元用電費(fèi)，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費(fèi)外，超過部分還要按每度0.5元交費(fèi)．①該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的A度，則超過部分應(yīng)該交電費(fèi)多少元（用A表示）？②下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量（度）交電費(fèi)總數(shù)（元）3月80254月4510根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定A度為多少？4．藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.（1）該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進(jìn)價(jià)進(jìn)貨，標(biāo)價(jià)售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件．若每件工藝品降價(jià)1元，則每天可多售出該工藝品4件．問每件工藝品降價(jià)多少元出售，每天獲得的利潤最大？獲得的最大利潤是多少元?5．近幾年我省高速公路的建設(shè)有了較大的發(fā)展，有力地促進(jìn)了我省的經(jīng)濟(jì)建設(shè)，正在修建的某段高速公路要招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊(duì)，若甲、乙兩隊(duì)合作24天可以完成，需費(fèi)用120萬元，若甲單獨(dú)做20天后，剩下的工程由乙做，還需40天才能完成，這樣需費(fèi)用110萬元．問：（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要多少天？（2）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要費(fèi)用多少萬元？答案一、選擇題1．B（提示：先將各方程整理為一般式，再利用根的判別式進(jìn)行判斷，B項(xiàng)中＜0，所以B項(xiàng)方程無實(shí)數(shù)根）2．B（提示：因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€實(shí)數(shù)根，則，把它代入原式得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，所以原式=2005）3．D（提示：第一季度1000萬元營業(yè)額為一、二、三三個月的總額，應(yīng)把三個月營業(yè)額相加）4．C（提示：不等式①的解集為x＜2，不等式②的解集為x＜－3，共公部分為x＜－3）5.C（提示：解四個不等式，得解集分別為x＞－2，x≥－9，x≥－2，x＜－2，數(shù)軸上表示的范圍是x≥－2）6.D（提示：解關(guān)于x的方程得，因?yàn)榻夥秦?fù)，所以≥0，解得a≥3）二、填空題1.（將代入原方程然后所得解方程即可）2.3，10（提示：設(shè)x名學(xué)生參加比賽，每人需參賽（x－1）場，因?yàn)榧赘冶荣悤r(shí)，也是乙跟甲比，所以總共比賽場次為3.x≤5（利用不等式的基本性質(zhì)）4.x＜（提示：由題意，2－3x＞0，解得x＜）5.－2≤x＜1（提示：求兩不等式解集的公共部分）6.1，2，3（提示：先求出不等式的解集為x≤，再取其中的正整數(shù)）7.－4（提示：x≥2最小值a=2，x≤－6，最大值b=－6，a＋b=2＋(－6)=－4）8.85%a＜b＜92%a（提示：由題意可列不等式（1－15%）a＜b＜（1－8%）a）三、解答題1.解（1）(2)由題意得即，解得1＜x≤5.2.解方程組，得，因?yàn)榉匠探M的解是負(fù)數(shù)，所以即，解得k＜－8)3．解：①10＋(90－A)②由表中