第十四課矩陣的特征值與特征向量

§4.1矩陣的特征值與特征向量一、基本概念三、特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量特征多項(xiàng)式與特征方程二、特征值與特征向量的計(jì)算一.方陣的特征值與特征向量1.特征值與特征向量的定義定義1:設(shè)是階方陣，若數(shù)和維非零列向量，使得成立，則稱(chēng)是方陣的一個(gè)特征值，為方陣的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量。1.定義2.求法3.性質(zhì)Ax4x注：是方陣（2）特征向量是非零列向量（4）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值（3）方陣的與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一從幾何上來(lái)看，特征向量x的方向經(jīng)過(guò)線性變換后，保持在同一條直線上，這時(shí)或者方向不變或者方向相反,至于時(shí)，特征向量就被線性變換變成0.2.特征值與特征向量的求法或已知所以齊次線性方程組有非零解或定義2：數(shù)是關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，稱(chēng)為矩陣的特征多項(xiàng)式。稱(chēng)為矩陣的特征方程。求特征值、特征向量的求解過(guò)程：求出即為特征值;把得到的特征值代入上式，求齊次線性方程組的非零解即為所求特征向量。齊次線性方程組的通解（去掉零解）即為與λ對(duì)應(yīng)的全部特征向量。解：第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值.例1：求矩陣的特征值和全部特征向量.特征值為第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線性方程組求非零解。齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣自由未知量:令得基礎(chǔ)解系:常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，得基礎(chǔ)解系常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。例３

設(shè)求A的特征值與特征向量．解得基礎(chǔ)解系為：思考：對(duì)角陣的特征值是什么？三角形矩陣的特征值是什么？例題證明曉：一儉個(gè)特揪征向吐量只基能對(duì)勵(lì)應(yīng)一逆?zhèn)€特嘉征值.證假設(shè)是A的一個(gè)特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值有兩個(gè)和.移項(xiàng)則所以泰齊次孝線性給方程處組AXo有非騙零解X1。例3．試臂證：n階矩澤陣A是奇植異矩描陣的蛛充分健必要策條件痰是A有一餡個(gè)特笨征值合為零割。證：度必要捆性：窗如瘋果A是奇另異矩南陣，充分腹性尼：設(shè)A有一太個(gè)特贈(zèng)征值遼為0，對(duì)患應(yīng)的絲式特征柴向量駝為X1。|0E-A|則|A|0。|-A|(-1)n|A|0，即0是A的一相個(gè)特凍征值宋。由特潑征值攝的定脂義，帆有AX10X1o(X1o)，由此傘可知|A|0，即A為奇喪異矩加陣。三、押特征吩值與萬(wàn)特征羽向量姐的性濁質(zhì)【性質(zhì)執(zhí)１】設(shè)A為n階矩甲陣，姓則A與AT有相辛同的除特征玻值?！拘再|(zhì)2】如果n階方鞋陣A的全灰部特童征值順為l1，l2，限，ln，（k重特有征值砌算作k個(gè)特繳征值），鎖則|A-lE|=業(yè)|代(A-lE)T|六=|AT-lE|∴l(xiāng)1l2ln＝|A領(lǐng)|證明由性服質(zhì)2可知冤，若A是可符逆矩酒陣，理即|A|≠０，則Ａ摘的任略一個(gè)娘特征蔽值都儀不為痰零．則ＡＸ＝λＸ，因冠而即λ-１是A-１的特漁征值利，x也是A-１的對(duì)黃應(yīng)于λ-１的特釀?wù)飨蚓毩?【性質(zhì)3】若Ｘ吉是Ａ絞的屬煉于特屬征值λ的特導(dǎo)征向院量，【性質(zhì)4】即鐮若f(x)是一蛇個(gè)多賭項(xiàng)式煎，λ是A的特哪征值船．則f(λ肺)是f(A爽)的特粉征值,且對(duì)遭應(yīng)特靜征向告量相逃同.證明對(duì)應(yīng)恨特征驅(qū)向量館是:對(duì)應(yīng)毫特征裹向量磚也是:解由例7已知矩陣的3個(gè)特征值為，得解之求x，y.概念形練習(xí)答：4、方渴程(lE-A)xo的解濟(jì)都是腹特征琴值l的特?cái)y征向戰(zhàn)量嗎軌？1、設(shè)A是n階方珍陣，盲如果所數(shù)l和n維非嶄零列用向量x滿足__燃__攝__欄__，則振稱(chēng)l為A的特乖征值融，x稱(chēng)為A的對(duì)跨應(yīng)于泛特征侮值l的特僻征向秒量。Axlx2、數(shù)l為A的特渴征值l滿足___乒__樹(shù)__榜__。|lE-A|03、向蹄量x為A的對(duì)逃應(yīng)于瓦特征獅值l的特刺征向太量x滿足__倘__仗__笛__咸__款_。(lE-A)xo5、矩蜜陣lE-A稱(chēng)為_(kāi)_犁__獎(jiǎng)__摧__迎__轟__判__，7、方種程|lE-A|0稱(chēng)為_(kāi)_頭__饑__吐___跡__勤__泉_。6、l的n次多支項(xiàng)式|lE-A|稱(chēng)為_(kāi)_獲__串__慚__慎__喂__弊__史__抗.A的特榴征矩膽陣A的特遺征多述項(xiàng)式A的特增征方閱程課堂邀練習(xí)碧題一、羽單選謎題１．地可逆糟矩陣涂Ａ與用矩陣滾（級(jí)）有車(chē)相同歉的特職征值鎖．①ＡＴ；②Ａ－１；③Ａ２；④Ａ＋憲Ｅ２．驅(qū)Ａ為n階方哪陣，旨則（翠）規(guī)結(jié)論厘成立祥．①Ａ可荷逆，誘則矩允陣Ａ表屬于筆特征于值λ的特光征向膊量也是茫Ａ－１屬于λ－１的特殿征向鹽量；②Ａ的乓特征香向量懸既為償方程惑（λＥ－仁Ａ）雞Ｘ＝要０的么全部就解；③特征項(xiàng)向量辦的線寇性組第合仍置是特奇征向沸量．④Ａ與點(diǎn)ＡＴ特征蜻向量勾相同刃．課堂族練習(xí)薄題一、候單選育題答案咱：鴨１．①；折２．①;闖3釘.蝦④３．暑設(shè)Ａ椒是一梨?zhèn)€可款逆矩季陣，偵則其因特征深值中頃（污）①．有兔零特爐征值②有二竭重特賣(mài)征值洗零③可能面有也婚可能類(lèi)無(wú)零博特征淺值④無(wú)零繪特征妻值二、厚填空鹿題課堂蕩練習(xí)椒題１．催已知暫三階滴方陣卡Ａ的遷三個(gè)指特征績(jī)值為材１，虜－２遇，３趙．則|A顛|＝（），Ａ－１的特見(jiàn)征值怒為（箭），ＡＴ的特粥征值艘為（耍）懇，Ａ２＋２外Ａ＋睬Ｅ的戴特征左值為郊（低）．２．擔(dān)設(shè)Ａk=0，k是正嶼整數(shù)劍，則猶Ａ的薄特征迎值為四（窗）敬．３．毒若Ａ２＝Ａ發(fā)，則瞎Ａ的駁特征吼值為駕（叨）．－６１，-1附/2候,時(shí)1/濤3１，呢－２饒，３片．4,皂1,乓1600,晨1二、丑填空立題課堂醋練習(xí)述題4．設(shè)A是3階方廳陣，守已知壤方陣驅(qū)Ｅ－瓦Ａ，熄Ｅ＋離Ａ，呼３Ｅ象－Ａ都不惡可逆斷，則趁Ａ的兼特征燈值為剖（奔）．５．睜已知作