常微分方程解的存在唯一性定理

§2.2解的存在唯一性定理和

逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/

概念和定義存在唯一性定理內(nèi)容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod本節(jié)要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念與定義/ConceptandDefinition/1.一階方程的初值問題(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希茲條件

函數(shù)稱為在矩形域:…………(3.1.5)關(guān)于y

滿足利普希茲(Lipschitz)條件，如果存在常數(shù)L>0使得不等式對所有都成立。L

稱為利普希茲常數(shù)?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod二、存在唯一性定理

定理1如果f(x,y)

在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件,則方程(3.1.1)存在唯一的連續(xù)解定義在區(qū)間,且滿足初始條件這里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的證明需要證明五個命題：

命題1求解微分方程的初值問題等價于求解一個積分方程

命題2構(gòu)造一個連續(xù)的逐步逼近序列

命題3證明此逐步逼近序列一致收斂

命題4證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解

命題5證明唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的證明命題1

設(shè)是初值問題的解的充要條件是是積分方程……(3.1.6)的定義于上的連續(xù)解。證明:微分方程的初值問題的解滿足積分方程（3.1.6）。積分方程（3.1.6）的連續(xù)解是微分方程的初值問題的解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod證明因為是方程(3.1.1)的解，故有:兩邊從積分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是積分方程在上的連續(xù)解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod反之，如果是(3.1.6)的連續(xù)解，則有：………(3.1.8)微分之，得到:又把

代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定義于上，且滿足初始條件(3.1.2)的解。命題1證畢.同理，可證在也成立?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod現(xiàn)在取，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethodxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod命題2

對于所有的(3.1.9)中函數(shù)在上有定義、連續(xù)，即滿足不等式:證明:

（只在正半?yún)^(qū)間來證明，另半?yún)^(qū)間的證明類似）當(dāng)n=1

時,§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod即命題2當(dāng)n=1時成立?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任何正整數(shù)n

，命題2都成立。即當(dāng)n=k

時，在也就是滿足不等式在上有定義,連續(xù)上有定義，連續(xù)，而當(dāng)n=k+1

時，上有定義，連續(xù)。在§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod

即命題２在n=k＋１時也成立。由數(shù)學(xué)歸納法得知命題２對于所有n

均成立。命題３在上是一致收斂的。命題２證畢函數(shù)序列考慮級數(shù):它的部分和為：§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod為此墻，進鍋行如際下的配估計透，由卷逐步桿逼近孟序列(3筑.1攔.9您)有:§2.負(fù)2Exi暢st慶en殖ce竄&途U值ni誼qu撫en腸es所s占Th鞋eo火re乏m汽&燒Pr李og聞re值ss械iv扶e嘉Me茶th罰od設(shè)對妖于正串整數(shù)n,不等蓄式成立譽，于是種，由免數(shù)學(xué)逗歸納檢法得孕到：鮮對于吩所有贊的正傾整數(shù)k，有壟如下問的估猜計:§2.巨2服Exi膠st毒en圈ce綱&糊U能ni洪qu晚en喪es臥s探Th迎eo絲式re夕m波&索Pr皇og珠re不ss脂iv搏e叛Me班th奔o(jì)d由此稈可知放，當(dāng)時(3些.1嬌.1劣4)的右兩端是評正項當(dāng)收斂殊級數(shù)的一呼般項饒，由維倉爾斯倍特拉莊斯(W鏡ei平er齒st維ra邀ss肆)判別烤法(簡稱黎維氏喬判別匆法),級數(shù)(3烤.1灰.1蟲1)在上一皂致收但斂,因而缸序列也在上一辟致收秤斂。命題3證畢§2.億2局Exi選st漆en翅ce低&方U節(jié)ni礦qu巷en茅es勤s需Th弟eo浩re虛m懲&錫Pr沃og勝re狡ss棕iv置e亦Me統(tǒng)th墊od則也在又可看知現(xiàn)設(shè)上連霧續(xù)，揮且由(3西.1滋.1捐0)命題4是積綿分方汁程(3漂.1雷.6寺)的定罷義于證貪明:由利恩普希忍茲條強件以及在上一璃致收賊斂于上的起連續(xù)蛇解?！?.說2賤Exi曠st恰en液ce范&仇U饑ni懼qu所en暈es儲s樓Th憂eo脊re擔(dān)m療&堡Pr數(shù)og報re布ss碧iv芬e沸Me波th形od因而舉，對(3暖.1票.9祝)兩邊羅取極決限,得到:即即知句序列在一致觸收斂這就獸是說,是積油分方狂程(3烏.1公.1甩6)的定坦義于上的殺連續(xù)妖解。命題4證畢§2.漁2疲Exi環(huán)st贈en貿(mào)ce橡&縣U誘ni臺qu罷en員es摔s易Th脾eo象re狹m釀&畢Pr壓og年re燭ss魂iv倚e棕Me滑th夾od命題5也是資積分妻方程(3缸.1贏.6偷)的定產(chǎn)義于上的啦一個如連續(xù)粉解,則證明若首先字證明也是經(jīng)序列的一風(fēng)致收元斂極劍限函桂數(shù)。為此捧，從進行歲如下記的估僵計§2.廉2掏Exi維st盤en廁ce端&呀U鼠ni坦qu疑en給es色s跳Th乏eo儀re還m濫&蓬Pr身og散re匙ss脫iv極e濃Me簽th脾od現(xiàn)設(shè)則有§2.保2Exi虎st狀en儉ce央&踩U纖ni丑qu腥en像es環(huán)s葵Th魚eo抖re卷m覽&竭Pr術(shù)og倍re幅ss稼iv懷e神Me享th枝od有故由勺數(shù)學(xué)睜歸納棄法得波知對裳于所負(fù)有的盡正整穴數(shù)n，有亡下面震的估羽計式§2.異2乒Exi滅st造en榮ce固&死U敬ni喘qu隸en木es呢s貌Th差eo跌re爺m丟&躁P(guān)r慮og牲re紅ss余iv蔑e辟Me畝th妨od因此因，在上有:是收盼斂級啊數(shù)的板公項,故時因而在上一蝦致收都斂于根據(jù)淚極限至的唯辨一性窩，即得:命題5證畢綜合徒命題1-裂5，即廚得到砍存在糠唯一宅性定臣理的計證明偵?！?.既2雷Exi指st壩en唐ce依&得U窄ni縱qu功en述es膚s臭Th裹eo醫(yī)re課m慕&耽Pr擋og璃re抄ss擠iv深e岡Me梁th巴od例求初察值問蛛題碧的第趣三次拜近似聞解?！?.觸2胡Exi怨st宏en撐ce攤&聲U夜ni省qu教en身es諷s銀Th煤eo堤re范m勾&評Pr驕og柜re蟻ss般iv憑e她Me絞th指od附待注/R饞em塔ar賢k/1）如以果在R上存在灶且連薦續(xù),則f(x,小y)在R上關(guān)肺于y滿足扒利普劃希茲期條件棕，反躲之不唐成立壯。證在R上連耐續(xù)，身則在R上有劣界，葬記為L由中漸值定粉理故f(捆x,騙y)在R上關(guān)售于y滿足造利普示希茲供條件齊?！?.撤2滑Exi裳st素en謙ce去&壟U鳥ni亦qu鴨en瘡es及s庭Th杜eo勸re欠m啦&炮Pr疊og桐re攏ss辱iv組e裝Me瓦th疊od這條旗件是犯充分材條件統(tǒng)，而蛇非必穿要條橫件。例1R為中雜心在階原點戰(zhàn)的矩礙形域但故f(x,玻y)在R上關(guān)膀于y滿足雙利普像希茲旨條件淘。在R上存在敏且有味界f(棋x,埋y)在R上關(guān)女于y滿足煎利普切希茲商條件控。在R上存在大且無粉界f(耍x,痰y)在R上關(guān)養(yǎng)于y不滿夫足利慕普希磚茲條虹件?！?.退2駁Exi傭st怠en伯ce訪&張U槽ni圍qu弓en坑es局s英Th信eo寇re調(diào)m的&逢P(guān)r挺og墨re咱ss貞iv系e煤Me描th狹od2)定理1中的充兩個傻條件博是保清證Ca鏈uc昂hy愧P存在唯一龍的充閉分條螺件，辯而非擔(dān)必要凱條件溝。例2當(dāng)連藍續(xù)條宗件不鼠滿足蹤蝶時，菊解也易可能僚存在飛唯一供。f(肥x,破y)在以途原點健為中辜心的弦矩形皂域中穩(wěn)不連娃續(xù)，幻玉但解塵存在牲唯一§2.干2欲Exi市st藏en通ce肺&厲U京ni紐奉qu聯(lián)en茶es軍s中Th成eo叨re孫m陷&蠢Pr失og陡re鐮ss別iv映e籃Me鍋th捎od例3當(dāng)Li摔ps總ci平tz條件己不滿閣足時觀，解翠也可畜能存岡在唯蘇一。f(運x,燭y)在(x,0)的任還何鄰盜域內(nèi)威不滿型足Li各ps外ci套tz條件德，但繳解存令在唯鄙一不可警能有立界§2.為2潔Exi京st業(yè)en眨ce眠&樸U劍ni帝qu度en敲es發(fā)s茄Th扶eo挪re寒m甜&丘Pr攪og直re沙ss烈iv犯e換Me貿(mào)th熱odxy§2.跟2謊Exi攻st臺en騎ce移&沒U妙ni幼qu購en割es蒙s宣Th溜eo版re尤m稍&卡Pr脈og催re化ss瘡iv鑼e末Me盈th吵od

例4

設(shè)方程(3.1)為線性方程則當(dāng)P(x),Q(x)

在區(qū)間上連續(xù)，則由任一初值所確定的解在整個區(qū)間上都存在。3）若f(x,款y)在帶伯域溪中關(guān)連續(xù)白，且對y滿足Li俱ps纖ch促it犧z條件藥，則氣在整胞個區(qū)莖間中存維在唯花一滿氧足條征件棟的覺方程的解紋。記§2.僑2籍Exi葡st潑en冒ce刑&活U握ni爪qu帽en韻es茫s悄Th炸eo酒re搭m臺&藥Pr透og憐re鴉ss巾iv爸e槽Me布th遵od4)一階鍵隱式應(yīng)方程企的解陽的存披在唯沫一性定理2如果在點的某一鄰域中，對所有的變元連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；則上述初值問題的解在的某一鄰域存在?！?.年2史Exi扎st娛en旺ce毀&坦U貨ni序qu懇en季es動s迷Th害eo贏re交m記&四Pr肢og必re塵ss雹iv銀e辮Me促th側(cè)od事實辨上，遙由條撲件知哨所確摸定的研隱函舞數(shù)在代鄰雷域內(nèi)幕存在妹且連規(guī)續(xù)，掀且在催鄰齒域內(nèi)亡連續(xù)騎，在秘以為中那心的蕉某一還閉矩僵形區(qū)沖域D中有沾界，桑所以f(怎x,岔y)在D中關(guān)供于y滿足Li舅ps費ch有it凡z條件哪。由解智的存北在唯懂一性計定理鵲，的解y(濫x)存在頸唯一烤，存在句區(qū)間羊中的h可足旅夠小熱。同嫩時，框有§2.廳2釋Exi階st方en拆ce恰&漸U榜ni抖qu治en果es晌s攜Th吊eo里re單m摩&圣Pr題og上re際ss福iv懸e輪Me誓th艇od三俗、纖近似導(dǎo)計算遇和誤付差估童計第n次近急