河南省2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘專題08圓中證明及計算問題含解析

專題08圓中證明及計算問題

【例1】（2019·葉縣一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：AB?CP＝BD?

CD；

（3）當AB＝5cm，AC＝12cm時，求線段PC的長．

【答案】見解析.

【解析】（1）證明：連接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，

∴∠BOD＝∠COD＝90°，

1

∵BC∥PA，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

即OD⊥PA，

∴PD是⊙O的切線．

（2）證明：∵BC∥PD，

∴∠PDC＝∠BCD．

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，

∴△BAD∽△CDP，

∴

ABBD

CDCP

，

∴AB?CP＝BD?CD．

（3）∵BC是直徑，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∵AB＝5，AC＝12，

由勾股定理得：BC＝13，

由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，132

∴BD＝CD＝，

2

∵AB?CP＝BD?CD．

∴PC＝

169

10

．

【變式1-1】（2018·焦作一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，延長BC到點D，使CD=CA，連接AD交⊙O于點E．

（1）求證：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①當∠ABC的度數(shù)為

時，四邊形AOCE是菱形；

②若AE=6，BE=8，則EF的長為．

2

9

【答案】（1）見解析；（2）60；.

2

【解析】（1）證明：連接CE，

∵AB=AC，CD=CA，

∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，

∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ECD+∠BCE=∠BAE+∠BCE=180°，∴∠ECD=∠BAE，

同理，∠CED=∠ABC，

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，

∴∠CED=∠AEB，

∴△ABE≌△CDE；

（2）①60；

連接AO、OC，

∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ABC+∠AEC=180°，∵∠ABC=60，

∴∠AEC=∠AOC=120°，

3

9

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，

∴∠ACE=30°，

∴∠OAE=∠OCE=60°，

即四邊形AOCE是平行四邊形，∵OA=OC，

∴四邊形AOCE是菱形；

②由（1）得：△ABE≌△CDE，

∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC，由∠CED=∠ABC=∠ACB，

得△ECD∽△CFB，

∴

CECF6

=

DEBC8

，

∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，

∴

即

EFCF

，

AEBC

EF6

，

68

∴EF=．

2

【例2】（2019·省實驗一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB上方的圓上一動點，過點C作⊙O

的切線l，過點A作直線l

的垂線AD，交⊙O于點D，連接OC，CD，BC，BD，且BD與OC交于點E．

（1）求證：△CDE≌△CBE；

（2）若AB＝4，填空：

①當弧CD的長度是

時，△OBE是等腰三角形；

②當BC＝

時，四邊形OADC為菱形．

4

【答案】（1）見解析；（2）

；2．

2

【解析】（1）證明：延長AD交直線l

于點F，

∵AD垂直于直線l，

∴∠AFC＝90°，

∵直線l

為⊙O切線，

∴∠OCF＝90°，

∴∠AFC＝∠OCF＝90°，

∴AD∥OC，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠OEB＝90°，

∴OC⊥DB，

∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，∵CE＝CE，

∴△CDE≌△CBE；

（2）①如圖2，連接OD，

5

=；

由（1）知∠OEB＝90°，

當△OBE是等腰三角形時，

則△OEB為等腰直角三角形，

∴∠BOE＝∠OBE=45°，

∵OD＝OB，OE⊥BD，

∴∠DOC＝∠BOE＝45°，∵AB＝4，

∴OD＝2，

∴弧CD的長=

4521802

②當四邊形OADC為菱形時，

則AD＝DC＝OC＝AO＝2，

由（1）知，BC＝DC，

∴BC＝2.

【變式2-1】（2019·河南南陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B=135°，則弧AC的長為（）

A.2πB.

πC.

2

D.

3

【分析】根據(jù)弧長公式l

nr

180

，需先確定弧AC所對的圓心角∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓心

角是圓周角的2倍得到∠AOC=2∠D，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧長公式求解即可.

6

【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D=180°－∠B=45°，

∴弧AC所對圓心角的度數(shù)為：2×45°=90°，∵⊙O的半徑為2，

∴弧AC的長為：故選B.

l

nr902

=π，

180180

1.（2018·洛陽三模）如圖，在

eq\o\ac(△,Rt)

ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O，與斜邊AB交于點D，E為BC邊的中點，連接DE.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=23，則BD=

②當∠B=

時，以O(shè)、D、E、C為頂點的四邊形是正方形.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）連接OD，

∵AC為直徑，

∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，∵E是BC的中點，

∴DE=CE=BE，

∴∠DCE=∠EDC，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

7

∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，即∠ODE=90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）3；45°，理由如下：

①∵∠B=30°，AC=

23

，∠BCA=90°，

∴BC=AC÷tan30°=6，

∴DE=3，

②由∠B=∠A=45°，

OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，

∴∠AOD=90°，

∴∠DOC=90°，

又∠ODE=90°，

∴四邊形ODEC是矩形，

∵OD=OC，

∴四邊形ODEC是正方形.

2.（2018·河南第一次大聯(lián)考）已知△ABC內(nèi)接于以AB為直徑的⊙O，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點D，且DA∶AB=1∶2．

（1）求∠CDB的度數(shù)；

（2）在切線DC上截取CE=CD，連接EB，判斷直線EB與⊙O的位置關(guān)系，并證明．

【答案】見解析.

【解析】解：（1）如圖，連接OC，

8

1

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°．

∵DA：AB=1：2，

∴DA=OC，DO=2OC．

在

eq\o\ac(△,Rt)

DOC中，sin∠CDO=，

2

∴∠CDO=30°，

即∠CDB=30°．

（2）直線EB與⊙O相切．證明：連接OC，

由（1）可知∠CDO=30°，∴∠COD=60°，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠CBD=∠CDB，

∴CD=CB，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCE=90°，

∴∠ECB=60°，

又∵CD=CE，

∴CB=CE，

∴△CBE為等邊三角形，

∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，∴EB是⊙O的切線．

3.（2019·偃師一模）如圖，在

eq\o\ac(△,Rt)

ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與斜邊AB交于點D，

E為BC邊上一點，且DE是⊙O的切線．

（1）求證：BE=EC；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=23則DE=

；

②當∠B=

°時，以O(shè)，D，E，C為頂點的四邊形是正方形．

9

1

【答案】（1）見解析；（2）①3；②45.【解析】解：

（1）證明：如圖，連接OD，

∵∠ACB=90°，AC為⊙O的直徑，∴EC為⊙O的切線，

∵DE為⊙O的切線，

∴EC=ED，

∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∵OD=OA，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDE+∠A=90°，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=EC；

（2）①3；②45，理由如下：

①在

eq\o\ac(△,Rt)

ABC中，∠B=30°，AC=23，

∴BC=6，

由（1）知，E是BC中點，∴DE=BC=3；

2

10

②∵ODEC為正方形，

∴∠DEC=90°，

DE=CE=BE，

∴∠B=45°，

故答案為：3；45.

4.（2017·新野一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓上一動點，過點C作⊙O的切線l垂足為D，BD與⊙O交于點E，連接OC，CE，AE，AE交OC于點F．

（1）求證：△CDE≌△EFC；

（2）若AB=4，連接AC．

的垂線BD，

①當AC=

②當AC=

時，四邊形OBEC為菱形；

時，四邊形EDCF為正方形．

【答案】見解析．

【解析】（1）證明：如圖，

∵BD⊥CD，

∴∠CDE=90°，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵CD是切線，

∴∠FCD=90°，

∴四邊形CFED矩形，

∴CF=DE，EF=CD，

∵CE=CE，

∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①當AC=2時，四邊形OCEB是菱形．

11

理由：連接OE．

∵AC=OA=OC=2，

∴△ACO是等邊三角形，

∴∠CAO=∠AOC=60°，

∵∠AFO=90°，

∴∠EAB=30°，

∵∠AEB=90°，

∴∠B=60°，

∵OE=OB，

∴△OEB是等邊三角形，

∴∠EOB=60°，

∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，∵CO=OE，

∴△COE是等邊三角形，

∴CE=CO=OB=EB，

∴四邊形OCEB是菱形．

故答案為2．

②當四邊形DEFC是正方形時，

∵CF=FE，

∵∠CEF=∠FCE=45°，

12

∵OC⊥AE，

∴弧AC=弧CE，

∴∠CAE=∠CEA=45°，

∴∠ACE=90°，

∴AE是⊙O的直徑，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴AC=22．

∴AC=22時，四邊形DEFC是正方形．

故答案為22．

5.（2019·三門峽二模）如圖，AB是半圓O的直徑，D為半圓上的一個動點（不與點A，B重合），連接AD，過點O作AD的垂線，交半圓O的切線AC于點C，交半圓O于點E．連接BE，DE．

（1）求證：∠BED＝∠C．

（2）連接BD，OD，CD．

填空：

①當∠ACO的度數(shù)為

②當∠ACO的度數(shù)為

時，四邊形OBDE為菱形；

時，四邊形AODC為正方形．

【答案】（1）見解析；（2）30；45．【解析】解：

（1）證明：設(shè)AD，OC交于點P，

∵OC⊥AD，

13

∴∠APC＝90°．

∴∠C+∠CAP＝90°

∵AC是半圓O的切線，

∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，

∵∠BED＝∠BAD，

∴∠BED＝∠C；

（2）①30，理由如下：

連接BD，如圖：

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝∠ACO＝30°，

∴∠DBA＝60°，

∵OE⊥AD，

∴弧AE=弧AD，

∴∠DBE＝∠ABE＝30°

∵∠DEB＝∠DAB＝30°，

∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB

∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，OE⊥AD，∴OE∥BD，

∴四邊形OBDE是平行四邊形

∵OB＝OE

∴四邊形OBDE是菱形；

故答案為30°；

②45，理由如下：

14

2

連接CD、OD，

∵∠BED＝∠ACO＝45°，

∴∠BOD＝2∠BED＝90°，

∴∠AOD＝90°，

∵OC⊥AD，

∴OC垂直平分AD，

∴∠OCD＝∠OCA＝45°，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ACO＝90°，

∴四邊形AODC是矩形，

∵OA＝OD，

∴四邊形AODC是正方形，

故答案為45°．

6.（2019·開封模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，且CD＝2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為A、B．

（1）連接AC，若∠APO＝30°，試證

eq\o\ac(△,明)

ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①當弧AB的長為

cm時，四邊形AOBD是菱形；

②當DP＝

cm時，四邊形AOBP是正方形．

【答案】（1）見解析；（2）；21

3

【解析】解：（1）連接AO，

.

15

120122

∵PA是⊙O的切線，

∴∠PAO＝90°，

∵∠APO＝30°，

∴∠AOP＝60°，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠CAO＝30°，

∴∠C＝∠APO=30°，

∴△ACP是等腰三角形；

（2）①若四邊形AOBD是菱形，則AO＝AD，∵AO＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，

∵CD=2，

∴圓O的半徑為1，

∴弧AB的長為：=.

1803

②若四邊形AOBP為正方形時，則PA＝AO＝1，

則OP=

2

，

∵OD=1，

∴PD=

2

－1，

所以答案為：2－1．

7.（2019·西華縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．

（1）求證：AC∥DE；

（2）連接CD，若OA=AE=2時，求出四邊形ACDE的面積．

16

1

【答案】見解析．

【解析】證明：（1）∵F為弦AC（不是直徑）的中點，∴AF=CF，OD⊥AC，

∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴AC∥DE．

（2）連接CD，

∵AC∥DE，OA=AE=2，∴OF=FD，

∵AF=CF，∠AFO=∠CFD，

∴△AFO≌△CFD，

∴

=

eq\o\ac(△,S)

AFO

，

eq\o\ac(△,S)

CFD

∴S

=

四邊形ACDE

eq\o\ac(△,S)

ODE

∵OD=OA=AE=2，∴OE=4，

由勾股定理得：DE=2

3

，

∴S

=

四邊形ACDE

eq\o\ac(△,S)

ODE

=×OD×OE2

1

=×2×2

2

=23．

3

17

8.（2019·鄭州聯(lián)考）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD．

（1）求證：∠DAC＝∠DBA；

（2）求證：P是線段AF的中點；

（3）連接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半徑和DE的長．

【答案】見解析．

【解析】（1）證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，

∵∠DAC與∠CBD是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD，

∴∠DAC＝∠DBA；

（2）證明：∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB＝90°，

∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC，

∴PD＝PA，

∵∠DFA+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，

∴PD＝PF，

∴PA＝PF，即P是線段AF的中點；

（3）解：∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3，∴CD＝AD＝3，

18

1

由勾股定理得：AB＝5，

即⊙O的半徑為2.5，

由DE×AB＝AD×BD，

即：5DE＝3×4，

∴DE＝2.4．

即DE的長為2.4．

9.（2019·安陽二模）如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點E，F(xiàn)，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若tan∠ACB＝，BC＝4，求⊙O的半徑．

2

【答案】見解析．

【解析】（1）直線CE與⊙O相切，

證明：連接OE，

∵OA＝OE，

∴∠EAO＝∠AEO，∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，

∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，

19

1

1

1

1

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE，

由∠D＝90°，得：∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OEC＝90°，即OE⊥EC