【紅對(duì)勾】人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1單元綜合測(cè)試一

單元綜合測(cè)試一時(shí)間：120分鐘第Ⅰ卷(選擇題，共60分)分值：150分題號(hào)答案123456789101112一、選擇題5分，共60分)(每小題1．下列語句不是命題的有①x2－3＝0；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？；③3＋1()＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命題“若A?B，則A＝B”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．2C．3D．4解析：可設(shè)A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，滿足A?B，但A≠B，故原命題為假命題，從而逆否命題為假命題．易知否命題、逆命題為真．答案：B3．給定空間中的直線l及平面α，條件“直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件解析：直線l與平面α內(nèi)兩相交直線垂直?直線l與平面α垂直，()故選C.答案：C4．已知p：若a∈A，則b∈B，那么命題綈p是()A．若a∈A，則b?BB．若a?A，則b?BC．若b?B，則a?AD．若b∈B，則a∈A解析：命題“若p，則q”的否定形式是“若p，則綈q”．答案：A5．命題“p且q”與命題“p或q”都是假命題，則下列判斷正確的是()A．命題“非p”與“非q”真假不同B．命題“非p”與“非q”至多有一個(gè)是假命題C．命題“非p”與“q”真假相同D．命題“非p且非q”是真命題解析：p且q是假命題?p和q中至少有一個(gè)為假，則非p和非q至少有一個(gè)是真命題．p或q是假命題?p和q都是假命題，則非p和非q都是真命題．答案：D6．已知a，b為任意非零向量，有下列命題：①|(zhì)a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作為a＝b的必要非充分條件的命題是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的運(yùn)算即可判斷．答案：D

7．已知A和B兩個(gè)命題，如果A是B的充分不必要條件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由于“A?B，A?/B”等價(jià)于“綈A?綈B，綈A?/綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分條件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件()解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要條件．答案：A9．下列全稱命題中，正確的是()A．?x，y∈{銳角}，sin(x＋y)>sinx＋sinyB．?x，y∈{銳角}，sin(x＋y)>cosx＋cosyC．?x，y∈{銳角}，cos(x＋y)<sinx＋cosyD．?x，y∈{銳角}，cos(x－y)<cosx＋siny解析：由于cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny，而當(dāng)x，y∈{銳角}時(shí)，0<cosy<1,0<sinx<1，所以cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny<cosx＋siny，故選項(xiàng)D正確．答案：D10．以下判斷正確的是()A．命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題B．命題“?x∈Z，x3>x2”的否定是“?x∈Z，x3<x2”

C．“φ＝π2”是“函數(shù)y＝sin(x＋φ)為偶函數(shù)”的充要條件D．“b＝0”是“關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)”的充要條件解析：A為全稱命題；B中否定應(yīng)為?x0∈Z，x≤x20；C中應(yīng)為30充分不必要條件．答案：D11．已知命題p：函數(shù)f(x)＝log0.5(3－x)的定義域?yàn)?－∞，3)；命題q：若k<0，則函數(shù)h(x)＝xk在(0，＋∞)上是減函數(shù)，對(duì)以上兩個(gè)命題，下列結(jié)論中正確的是()A．命題“p且q”為真B．命題“p或綈q”為假C．命題“p或q”為假D．命題“綈p”且“綈q”為假解析：由題意知p真，q假．再進(jìn)行判斷．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，則a·b<λ2成立的一個(gè)必要不充分條件是(A．λ>3或λ<－3B．λ>1或λ<－1C．－3<λ<3D．－1<λ<1)解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝xcosα＋ysinα＝2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ成立，則λ2>4，解得x2λ>2或λ<－2，這是a·b<λ2成立的充要條件，因此a·b<λ2成立的一個(gè)必要不充分的條件是λ>1或λ<－1.故選B.答案：B第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)“若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則它們不相等”．14．令p(x)：ax2＋2x＋1>0，如果對(duì)?x∈R，p(x)是真命題，則a的取值范圍是________．解析：(a－2)2(a－1)>0的解集記為B＝{a|a>1且a≠2}，所找的記為集合A，則BA.答案：a>1(不惟一)16．給定下列結(jié)論：①已知命題p：?x∈R，tanx＝1；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p∧綈q”是假命題；②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是ba＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝31，則tanα＝5tanβ；12④圓x＋y2＋4x－2y＋1＝0與直線y＝x，所得弦長為2.2其中正確命題的序號(hào)為________(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)．解析：對(duì)于①易知p真，q真，故命題p∧綈q假，①正確；對(duì)于②l1與l2垂直的充要條件應(yīng)為a＋3b＝0；對(duì)于③利用兩角和與差的正弦公式展示整理即得；對(duì)于④可求得弦長為455，④錯(cuò)．答案：①③三、解答題(寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最后結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)已知命題p：?非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，則b＝c.寫出其否定和否命題，并說明真假．解：綈p：?非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，使b≠c.綈p為真命題．否命題：?非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，則b≠c.否命題為真命題．18．(12分)給定兩個(gè)命題P：對(duì)任意實(shí)數(shù)Q：關(guān)于x的方程x－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根．如果P∨Q為真命題，求實(shí)數(shù)命題P：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，則“a＝x都有ax2＋ax＋1>0P∧Q為假恒成立；2命題，a的取值范圍．解：0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4.命題Q：關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，則Δ＝1－4a≥0，14得a≤.因?yàn)镻∧Q為假命題，P∨Q為真命題，則P，Q有且僅有一個(gè)為真命題，或1a<0a≥4或故綈P∧Q為真命題，或P∧綈Q為真命題，則a≤40≤a<4解得a<0或41<a<4.1a>.414所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪(，4)．19．(12分)求證：一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是a<－1.證明：一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是：Δ＝4－4a>0?a<1，并且a<0，從而a<0.有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件應(yīng)該是{a|a<0}的真子集，a<－1符合題意．所以結(jié)論得證．x－4x＋3<0，220．(12分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：且綈px2－6x＋8<0，是綈q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2－4x＋3<0，x1<x<3，解：由得即2<x<3.∴q：2<x<3.2－6x＋8<0，x2<x<4，設(shè)A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，∵綈p?綈q，∴q?p.∴B?A.∴2<x<3包含于集合A，即2<x<3滿足不等式2x2－9x＋a<0.∴2<x<3滿足不等式a<9x－2x.2∵當(dāng)2<x<3時(shí)，9x－2x2＝－2(x2－98181981＋－21616)＝－2(x－4)28＋x818∈(9，]，818即9<9x－2x2，∴a≤9.≤21．(12分)給出命題p：“在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(2cosx＋1,2cos2x＋2)和Q(cosx，－1)，?x∈[0，π]，向量OP→與OQ→不垂直．”試判斷該命題的真假，并證明．解：命題p是假命題，證明如下：由OP→和OQ→不垂直，得cosx(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)≠0，變形得：2cos2x－cosx≠0，所以cosx≠0或cosx≠12.而當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，cos2ππ132π2π3＝0，cos＝，故存在x＝或x＝，使向量OP→⊥OQ→成立，因而p是假命題．22．(12分)已知ab≠0，求證：ab－a－b＝0.必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋22證明：∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋