高中數(shù)學(xué)（人教版A版選修2-1）配套課時作業(yè)：第三章 空間向量與立體幾何 3.1.2 Word版含答案

PAGE3.1.2空間向量的數(shù)乘運算課時目標(biāo)1.掌握空間向量數(shù)乘運算的定義和運算律，了解共線(平行)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.2.能理解共線向量定理和共面向量定理及其推論，并能運用它們證明空間向量的共線和共面的問題．1．空間向量的數(shù)乘運算(1)向量的數(shù)乘：實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作________，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向________；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向________；λa的長度是a的長度的________倍．(2)空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律與結(jié)合律．分配律：______________；結(jié)合律：______________.2．共線向量(1)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相________或________，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是________________．(3)方向向量：如圖l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使____________，其中向量a叫做直線l的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使__________．空間內(nèi)一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使______________．對空間任意一點O，點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使________________．一、選擇題1．下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb2．滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))D.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|3.如圖，空間四邊形OABC中，M、N分別是OA、BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，則=xeq\o(OA,\s\up6(→))＋y＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,6)C．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,3)D．x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)4．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是()A.＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－－eq\o(OC,\s\up6(→))B.＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝05.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起點的向量B．等長向量C．共面向量D．不共面向量6．下列命題中是真命題的是()A．分別表示空間向量的兩條有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C.若向量eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))，滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D.若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))二、填空題7.在空間四邊形ABCD中，連結(jié)AC、BD,若△BCD是正三角形，且E為其中心，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的化簡結(jié)果為________．8.在正四面體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝______________(用a，b，c表示)．9.已知P和不共線三點A,B,C,四點共面且對于空間任意一點O，都有＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.三、解答題10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面體．(1)化簡eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′對角線BC′上的分點，設(shè)＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AD,\s\up6(→))＋γeq\o(AA′,\s\up6(→))，試求α，β，γ的值．11．設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點．求證：M，N，P，Q四點共面．能力提升12.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c13.如圖所示，已知點O是平行六面體ABCD－A1B1C1D1對交線的交點，點P是空間任意一點.試探求＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(PA1,\s\up6(→))＋eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(PC1,\s\up6(→))＋eq\o(PD1,\s\up6(→))與eq\o(PO,\s\up6(→))的關(guān)系．1．向量共線的充要條件及其應(yīng)用(1)利用向量共線判定a，b所在的直線平行．(2)利用向量共線可以證明三點共線．2．利用共面向量的充要條件可以證明空間四點共面．3．1.2空間向量的數(shù)乘運算知識梳理1．(1)λa相同相反|λ|(2)λ(a＋b)＝λa＋λbλ(μa)＝(λμ)a2．(1)平行重合(2)存在實數(shù)λ，使a＝λb(3)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta3．(1)同一個平面(2)p＝xa＋ybeq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))作業(yè)設(shè)計1．C[A中，若b＝0，則a與c不一定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ.]2．C[由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\x\to(BC)知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，又因有一共同的點B，故A、B、C三點共線．]3．D[∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))，①eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))，②eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))，③又eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(CN,\s\up6(→))，eq\o(MG,\s\up6(→))＝－2eq\o(NG,\s\up6(→))，∴①＋②＋③，得3eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).]4．C[∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).∴M與A、B、C必共面．只有選項C符合．]5．C[如圖所示，因為eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，∴eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，即eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))，而eq\o(D1A,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))不共線，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))三向量共面．]6．D[A錯．因為空間任兩向量平移之后可共面，所以空間任意兩向量均共面．B錯．因為|a|＝|b|僅表示a與b的模相等，與方向無關(guān)．C錯．因為空間向量不研究大小關(guān)系，只能對向量的長度進(jìn)行比較，因此也就沒有eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))這種寫法．D對．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))正確．]7．0解析如圖，取BC的中點F，連結(jié)DF，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.8.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析如圖，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.9．－2解析P與不共線三點A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點共面的充要條件．10．解(1)方法一取AA′的中點為E，則eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＝eq\o(EA',\s\up6(→)).又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(A'D',\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(D'C',\s\up6(→))，取F為D′C′的一個三等分點(D′F＝eq\f(2,3)D′C′)，則eq\o(D'F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(EA',\s\up6(→))＋eq\o(A'D',\s\up6(→))＋eq\o(D'F,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→)).方法二取AB的三等分點P使得eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，取CC′的中點Q，則eq\f(1,2)eq\o(AA',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC',\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→)).(2)連結(jié)BD，則M為BD的中點，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC',\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC',\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA',\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA',\s\up6(→)).∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).11．證明∵eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→)).又∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，①又A，B，C及A1，B1，C1分別共線，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入①式，得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))＋ωeq\o(NP,\s\up6(→)).∴eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))共面．∴M，N，P，Q四點共面．12．A[eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(