充分條件和必要條件

學(xué)習(xí)目標XUEXIMUBIAO1.理解充分條件、必要條件的概念.2.了解充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.3.能通過充分性、必要性解決簡單的問題.一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。命題中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”的形式，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。下列“若p,則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等（3）若（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則思考P17知識點充分條件與必要條件

“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p

qp

q條件關(guān)系p是q的

條件q是p的

條件p不是q的

條件q不是p的

條件??充分必要充分必要例1

(1)下列命題中，p是q的充分條件的是________.①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無實根.④若x，y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù).一、充分條件的判斷③解析

①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分條件.②∵兩個三角形面積相等，不能推出兩個三角形全等，∴p不是q的充分條件.③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0無實根，∴p是q的充分條件.④為無理數(shù)，為有理數(shù)，∴p不是q的充分條件.題型探究思考結(jié)合例1③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無實根.思考若p是q的充分條件，這樣的條件p唯一嗎？如果不唯一，你能舉出該例子的更多不同的充分條件嗎？答案不唯一.反思感悟充分條件的判斷方法(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉(zhuǎn)化成p?q問題.(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若p構(gòu)成的集合為A，q構(gòu)成的集合為B，A?B，則p是q的充分條件.練1：

(1)指出下列哪些命題中p是q的充分條件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；解在△ABC中，由大角對大邊知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分條件.②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；解由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分條件.③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解方法一

由x>1?x>2，所以p不是q的充分條件.方法二

設(shè)集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B?A，所以p不是q的充分條件.反思感悟(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時，能否推出q成立，反過來，若q成立時，能否推出p成立；若p?q為真，則p是q的充分條件，若q?p為真，則p是q的必要條件.(2)也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A?B，則甲是乙的必要條件.練2分析下列各項中p與q的關(guān)系.(1)p：α為銳角，q：α＝45°.解由于q?p，故p是q的必要條件，q是p的充分條件.(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.解由于q?p，故p是q的必要條件，q是p的充分條件.三、充分條件與必要條件的應(yīng)用例3已知p：實數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.解p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}.q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.因為p?q，所以A?B，反思感悟充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題.(2)求解步驟：先把p，q等價轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進行求解.3隨堂演練PARTTHREE123451.若p是q的充分條件，則q是p的A.充分條件B.必要條件C.既不是充分條件也不是必要條件D.既是充分條件又是必要條件√解析因為p是q的充分條件，所以p?q，所以q是p的必要條件.123452.下列命題中，p是q的充分條件的是A.p：ab≠0，q：a≠0B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C.p：x2>1，q：x>1√解析根據(jù)充分條件的概念逐一判斷.134523.“同位角相等”是“兩直線平行”的A.充分條件B.必要條件C.既是充分條件，也是必要條件D.既不充分又不必要條件√134524.若“x>1”是“x>a”的充分條件，則a的取值范圍是________.a≤1解析因為x>1?x>a，所以a≤1.134525.“x2＝2x”是“x＝0”的________條件，“x＝0”是“x2＝2x”的________條件(用“充分”“必要”填空).必要充分解析由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要條件，“x＝0”是“x2＝2x