36.第三十六講離散型隨機變量的分布列、期望與方差

僅供個人參考第三十六一引

離散型隨變量的分布、期望與方差“離散型隨機變量的分步列和差”在“排列與組合”知識的延伸講學(xué)習(xí)中，同學(xué)們將通過具體實例理解隨機變量及其分布列值和方差的概念識機變量及其分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性求學(xué)們會用隨機變量表達簡單的隨機事件用布列來計算這類事件的概率，計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．在高考中，部分知識通常有一道解答題，占12─14分右，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．二考梳知識結(jié)構(gòu)：Foruseonlyinandresearch;commercial1.離散型隨機變量的分布列：設(shè)離散型隨機變量能的值為，，，x，F(xiàn)oruseonlyinandresearch;notuseξ每個值（i=1，，┄）的概率（），稱表iiiForpersonaluseonlyinstudyresearch;notfor

2

…

i

…

commercialuse

1不得用于商業(yè)用途

．．僅供個人參考．．P

…

i

…

p

n為離散型隨機變量ξ的概率分布（分布列2.隨機變量的期望與方差：EXpxp量X的均值或數(shù)學(xué)期望．112iinnxEX)1

2

p)1

2

p(x)2i

i

+

()

為隨變量

X

的方差．三典例選例1某公司有5萬資金用于投資開發(fā)項目．果成功，一年后可獲利12%一旦失敗，一年后將失去全部資金的50%．邊是過去例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果：投資成功：次投資失敗：次則該公司一年后估計可獲收益的期望是（元解：得收益ξ的率分布為：=

3192××52002200

.476萬元）.歸小益ξ的值及相應(yīng)概率的確定是解決問題的基礎(chǔ)考求數(shù)學(xué)期望的方，按照確定隨機變量的取值—求相應(yīng)的概率—再求數(shù)學(xué)期望的步驟來求．例2（年徽卷）地有A、、四人先后感染了甲型H1N1流，其中只有到過疫區(qū)．B肯定是受感的．對于C因為難以斷定他是受A是受B染的，于是假定他受A和受B感的概率都是

1．同樣也假定D受、和C感的概率都是．這種假定23之下，B、中接受A感的人數(shù)就是一個隨機變量．寫出X的布列（不要求寫出計算過程求的均值（即數(shù)學(xué)期望分一X的所有可能取值為1，3121(X2

;1(X22

;11(X2

1分二共有如下6種同可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：6①AB—C—D

②ABC└D

③AB—└D

④AB—└C

⑤AC—D└B

⑥AB└不得用于商業(yè)用途

22僅供個人參考22└在情形①和②之下，直感染了一個人；在情③、④、⑤之下A直感染了兩個人；在情形⑥之下，直感染了三個人．解隨機變量的分布列是：X的值為

11111326

．歸?。盒☆}主要考查古典概型及其概率計算查有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．例3某動員射擊一次所得環(huán)X的布如下：現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為（1求該運動員兩次都命中7環(huán)概率；（2求

的分布列.解1求該運動員兩次都命中的概率為(7)0.04（2的可能取值為78、、10

；P(

；8)20.20.3

2

0.21

；P

9)0.30.39

；(

20.20.20.2

．

分布列為：

的數(shù)學(xué)希望為

0.040.21

．歸小：求最高環(huán)數(shù)為環(huán)時，有一種可是7環(huán)8環(huán)，學(xué)生容易認為其概率值為..，沒有考慮到兩次射擊依次為7、8環(huán)8環(huán)、7環(huán)，其概率值應(yīng)為.2×0．本題考查學(xué)生對于離散型隨機變量的概率及期望的求法的掌握方面也考查學(xué)生分類討不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考論的數(shù)學(xué)思想和運算求解的能力．例（山東卷理）在某校組織的一次籃球定投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多次；在處每投進一球得3分在B處投進一球得2分如果前兩次得分之和超過分停止投籃，否則投第三.某同學(xué)在處命中率q為0在B處命中率為q該學(xué)選擇先在A投一球，以后都在B處投，用示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所的總分，其分布列為（1求q的；2（2求隨機變量數(shù)期望E（3試比較該同學(xué)選擇都在B投籃得分超過3分選擇上述方式投籃得超過分的概率的大?。猓?）設(shè)該同學(xué)在處投中為事件，處中為事件，事件A相互獨立，且PA)=0.，

()

，P(B)=q，

()

．根據(jù)分布列知：

=0時

()()()P())

=0，以1.．22（2當=2時P=1

()P()()P()(B)P(B)(A)(B)(B)

=0q(

1

2

)×2=1.q(

1

2

.．當時，=2

()(A)(B)P(B))

=0，當時，=3當時，=4

()(AP(B)()0.75qP(ABBAB(ABB)(AB)

=0，P(A)(B)(B(AP())0.2522

=0．所以隨機變量

的分布列為：隨機變量數(shù)學(xué)期望

0.240.480.243.63

．不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考（3該同學(xué)選擇都在B處籃得分超過分概率為

P(BBB)(BBB()()2(1)q2

；該同學(xué)選擇）中方式投籃得分超過的概率為..24=072．由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過的概率大．歸?。侯}主要考查了互斥事件的概率相互獨立件的概率和數(shù)學(xué)期望及運用概率知識解決問題的能力．例5某品企業(yè)一個月內(nèi)被消者投訴的次數(shù)用，椐統(tǒng)計，隨機變概率分布如下：（Ⅰ）求的值和

的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ假設(shè)一月份與二月份被消者投訴的次數(shù)互不影響該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴的概率．解Ⅰ）由概率分布的性質(zhì)知，

0.1a

則分列為：

0.2

．（Ⅱ）設(shè)事件

A

表示“個內(nèi)被投訴2次，事件

A1

表示“個內(nèi)有一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次”，事性可得：

A2

表示“個內(nèi)每個月均被投訴1次”則由事件的獨立P(A)1

12

P(P0.10.08

；PA)P(2

2

(0.3)

2

；A)(A．12故該企業(yè)在這兩個月共被投訴次的概率為017歸?。侯}考查概率分布的性質(zhì)斥件的概率加法公式互獨立事件的概率乘法公式，對學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力有要求．例6（2008年東卷）隨機取某廠的某種產(chǎn)品00件經(jīng)質(zhì)檢其中有一等品26件二等品件、三等品件次品4件．已知生產(chǎn)1件、二、三等品獲得的利潤分別為元、元、1萬元，而次品虧損元．設(shè)件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為ξ．（1求ξ的分布列；（2求1件品的平利潤（即ξ的學(xué)期望不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考（3經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1，一等品率提高為％．如果此時要求產(chǎn)品的平均利潤不小于.73萬元，則三等率最多是多少？解的所有可能取值有P(

126500.63200200

200.1，200200

．故ξ的布列為：（2

0.25

；（3設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件品的平均利潤為：(x)0.70.7)4.76x0.29)

．依題意()≥4.，即.76≥4.，解得≤0.03所以三等品率最多為％．例（2008年北卷）袋中有個小相同的球其中記上號有10記上n的有，2，4從袋中任取一球ξ表所取球的標號．（Ⅰ）求ξ的布列，期望方差；（Ⅱ）若η=a－b=1，，試求a值．解Ⅰ）的布列為：∴

111.52201020

．

2

113222.752201020．（Ⅱ）由

，得×275，即a又

所以當a=2時由12×1.b，得－2；當a=－時，由1＝－2×1.5+，得．2,∴或

即為所求．歸?。盒☆}主要考查概率、隨機變量的分布列、期望和方差等概念基本的運算能力．四本題結(jié)不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考本講知識趣味性和應(yīng)用性較強且在高考中還占據(jù)舉足輕重的地位因此同們應(yīng)引起足夠的重視志好它在復(fù)過程中用做很多“偏題題抓住課本中要求的知識點，重視基礎(chǔ)知識和基本技能，不斷提高自己的邏輯推理能力和運算能力，一定能取得好成績！不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考僅供個用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerde