一般物體的平衡

xOyxOy§

1.5

一般物體的衡力對物體的作用可以改變物體的運動狀態(tài)體各部位所受力的合力對物體的平動有影響合力矩對物體的轉(zhuǎn)動有影響如果兩種影響都沒有就稱物體處于平衡狀態(tài)因此一般物體處于平衡時要求物體所受合外力為零(M0)同時滿足，一般物體的平衡條件寫成分量式為Mx

F外

和合力矩為零

y

My

z

zM,M

分

別為對x軸、y軸、z軸的力矩。由空間一般力系的平衡方程去掉由力系的幾何性質(zhì)能自動滿足的平衡方程容易導(dǎo)出各種特殊力系的獨立平衡方程。如平面力系（設(shè)在平面內(nèi)則

x

M0,x

My

自動滿足，則獨立的平衡方程為：

x

yz

M

z

這一方程中的轉(zhuǎn)軸可根據(jù)需要任意選取，一般原則是使盡量多的力的力臂為零。平面匯交力系與平面平行力系的獨立方程均為二個匯交力系和空間平行力系的獨立平衡方程均為三個。161重

§

1.6

平衡的穩(wěn)定/

g,mg,m物體的重心即重力的作用點。在重力加速度為常矢量的區(qū)域物體的重心是惟一（我們討論的都是這種情形也就是物體各部分所受重力的合力的作用點，由于重力與質(zhì)量成正比，重力合力的作用點即為質(zhì)心，即重心與質(zhì)心重合。求重心也就是求一組平行力的合力作用

R點。相距L，質(zhì)量分別為

,m12

的兩個質(zhì)點構(gòu)

O

XA

C

B

成的質(zhì)點組，其重心在兩質(zhì)點的連線上，且12與相距分別為：

1

G

3

G

3

2

G

2(m)L112(m)LL12

圖1-6-1mLmL2Lmmm1

均勻規(guī)則形狀的物體，其重心在它的幾何中心，求一般物體的重心，常用的方法是將物體分割成若干個重心容易確定的部分后用求同向平行力合力的方法找出其重心。物體重心（或質(zhì)心）位置的求法我們可以利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置圖由重量分別為

1

的兩均勻圓球和重量為

G3

的均勻桿連成的系統(tǒng)設(shè)立圖坐標(biāo)系原點取在A球最左側(cè)點，兩球與桿的重心的坐標(biāo)分別為

xxx1

，系統(tǒng)重心在P點，我們現(xiàn)在求其坐標(biāo)x。設(shè)想在P處給一支持力R，令MGRx1223

GG13

達(dá)到平衡時有：∴

x

GxGxGxGxxx1223123GG2/

iiiiiiiiiiiiilii這

樣就得出了如圖所示的系統(tǒng)的重心坐標(biāo)。若有多個物體組成的系統(tǒng)，我們不難證明其重心位置為：GiGiGizzGi一般來說體的質(zhì)心位置與重心位置重合上面公式很易得到質(zhì)心位置公式：miymizzmi

l

圖1-6-2如

圖，有5個外形完全樣的均勻金屬棒首尾相接焊在一起，從左至右其密度分別為ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈ρ，設(shè)每根棒長均為，求其質(zhì)心位置，若為n段，密度仍如上遞增，質(zhì)心位置又在什么地方？解：設(shè)整個棒重心離最左端距離為，則由求質(zhì)心公式有x

xi

xx255

l3579llll222.67l若為n段，按上式遞推得：/

lllx2

n1)(210n11.21.310將坐標(biāo)原點移到第一段棒的重心上，則上式化為：x

n1.11.2)(10n110

l

1(1))n101010n11.2)10

n10n11.2)10

(n3()

l例、

如圖1-6-3所示，、B原為兩個

A

l

B相同的均質(zhì)實心球，半徑為，重量為G，A、B球分別挖去半徑為的小球，

a

C圖1-6-3

b

均質(zhì)桿重量為，長度

l4

，試求系統(tǒng)的重心位

置。解：將挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，圖示系統(tǒng)可簡化為圖1-1-31所示平行力系；其中G,G

。設(shè)重心位置為O，則合力且

WG)即0i

G93GG64)

27R35((3(3R)6448264OC=0.53R/

162物平的類物體的平衡分為三類：穩(wěn)定平衡

處于平衡狀態(tài)的物體當(dāng)受到外界的擾動而偏離平衡位置時如果外力或外力矩促使物體回到原平衡位置這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡處于穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時，重心一般是升高的。不穩(wěn)定平衡

處于平衡狀態(tài)的物體，當(dāng)受到外界的擾動而偏離平衡位置時，如果外力或外力矩促使物體偏離原來的平衡位置這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡處于不穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時，重心一般是降低的。隨遇平衡

處于平衡狀態(tài)的物體當(dāng)受到外界擾動而偏離平衡位置時物體受到的合外力或合力矩沒有變化這樣的平衡叫隨遇平衡處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置后，重心高度不變。在平動方面，物體不同方面上可以處于不同的平衡狀態(tài)，在轉(zhuǎn)動方面，對不同方向的轉(zhuǎn)軸可以處于不同的平衡狀態(tài)個位于光滑水平面上的直管底部的質(zhì)點，受到平行于管軸方向的擾動時處于隨遇平衡狀態(tài)受到與軸垂直方向的擾動時處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，一細(xì)棒，當(dāng)它直立于水平桌面時，是不穩(wěn)定平衡，當(dāng)它平放在水平桌面時，是隨遇平衡。163穩(wěn)物體穩(wěn)定的程度叫穩(wěn)度般說來一個物體的平衡遭到破壞所需的能量越多，這個平衡的穩(wěn)度就越高穩(wěn)度與重心的高度及支面的大小有關(guān)心越低支面越大，穩(wěn)度越大?！?/p>

1.7

流體靜力學(xué)5/8

,,n流體

并沒有一定的開頭可以自由流動，但具有一定的密度，一般認(rèn)為理想流體具有不可壓縮的特征。17．1、

靜止流中的壓強(qiáng)(1)靜止流體內(nèi)部壓強(qiáng)的特點在靜止流體內(nèi)任何一點處都有壓強(qiáng)，這一壓強(qiáng)與

n方向無關(guān)僅與該點的深度有關(guān)；相連通的靜止流體內(nèi)

x

部同一深度上各點的壓強(qiáng)相等。

y

關(guān)于流體內(nèi)部的壓強(qiáng)與方向無關(guān)，可以證明如下：在靜止流體中的某點處任取一個長為的極小的

O

圖1-7-1直角三棱液柱，令其兩側(cè)面分別在豎直面內(nèi)和水平面內(nèi)，作其截面如圖所示，圖中坐標(biāo)軸水平方向，坐標(biāo)軸y沿豎直方向，以

,

分別表示此液柱截面三角形的三條邊長且以表示此截面三角形的一個銳角如圖又以分別表示對應(yīng)側(cè)面上壓強(qiáng)的大小，則各側(cè)面所受壓力的大小分別為：PxyyPn

Px由此液柱很小則其重力將遠(yuǎn)小于它的一個側(cè)面所受到的壓力故可忽略其重力的作用。則由此液柱的平衡條件知上述三力應(yīng)互相平衡，乃有：cosasinn即

Pcosxnsinayn/

注意到

sinacosPP

，代入上式便得說明在流體內(nèi)部的同一點處向各個方向的壓強(qiáng)是相等的。(2)靜止流體內(nèi)部壓強(qiáng)的大小若靜止流體表面處的壓強(qiáng)為P通常即為與該流體表面相接觸的氣體的壓強(qiáng)流體的密度為，則此流體表面下深度為h處的壓強(qiáng)為p

由上式可見，在靜止流體內(nèi)部高度差的兩點間的壓強(qiáng)差為

g172浮與心浮力是物體在流體中所受壓力的合力沒在靜止流體內(nèi)的物體受到的浮力等于它所排開流體的重量，浮力的方向豎直向上。這就是阿基米德定律，可表示為FgV液

排浮力的作用點稱為浮心浮心就是與浸沒在流體中的物體同形狀同體積那部分流體的重心它并不等同于物體的重心只有在物體密度均勻時它才與浸沒在液體中的物體部分的重心重合。173浮平的定浮在液體表面的浮體，所受浮力與重力大小相

F

FO等、方向相反，處于平衡狀態(tài)。浮體平衡的穩(wěn)定性，

O

Q

Q將因所受擾動方式的不同而異顯然浮體對鉛垂方

G

G向的擾動其平衡是穩(wěn)定的對水平方向的擾動其

（）

（b圖1-7-2/

平衡是隨遇的。浮體對于過質(zhì)心的水平對稱軸的旋轉(zhuǎn)擾動其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而定以浮力水面的船體為例當(dāng)船體