中考數學高頻考點突破-圓的綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數學高頻考點突破——圓的綜合1．如圖，是的直徑，是弦，點E在圓外，于D，交于點F，連接，，，．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)設的面積為，的面積為，若，則.2．如圖（1），是的直徑，點D、F是上的點，連接并延長交于A點，且，．(1)求證：(2)求：(3)如圖（2），若點E是弧的中點，連接．求：．3．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點在折線段上，，則稱點是折線段的中點．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點，點是折線段的中點．若，則___________；(2)如圖3，中，，是上一點，，垂足為．求證：點是折線段的中點；(3)如圖4，，，，是上的四個點，，，求的值．4．已知圓O的半徑長為2，點A、B、C為圓O上三點，弦，點D為BC的中點，(1)如圖，連接AC、OD，設，請用α表示；(2)如圖，當點B為的中點時，求點A、D之間的距離．(3)如果AD的延長線與圓O交于點E，以O為圓心，AD為半徑的圓與以BC為直徑的圓有且只有一個交點，求弦AE的長．5．【發(fā)現】（1）如圖1，已知的半徑為，為外一點，且，為上一動點，連接，，則的最小值為，最大值為；（用含，的式子表示）【應用】（2）如圖2，已知正方形的邊長為2，，分別是，上的點，且，連接，交于點，求的最小值；【拓展】（3）如圖3，是的直徑，，為上一定點，且，動點從點出發(fā)沿半圓弧逆時針向點運動，當點到達點時停止運動，在點運動的過程中，連接，，過點作交的延長線于點，連接，求的最大值．6．如圖，四邊形內接于圓O，，連接(1)求證：平分；(2)如圖，連接，若，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，連接AO交BD于點E，過點B作AC的垂線交圓O于點F，垂足為G，若，，求AB的長．7．已知，在△ABC中，，以BC為直徑的⊙O與AB交于點H，將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，連接BE．(1)如圖1，DE與⊙O相切于點G，求證：；(2)如圖2，延長HO交⊙O于點K，交線段BE于點M，將△DEF沿DE折疊，點F的對稱點恰好落在射線BK上，求證：；(3)如圖1，在（1）的條件下，求的值．8．已知⊙O的直徑AB為10，D為⊙O上一動點（不與A、B重合），連接AD、BD．(1)如圖1，若AD=8，求BD的值；(2)如圖2，弦DC平分∠ADB，過點A作AE⊥CD于點E，連接BE．①當△BDE為直角三角形時，求BE的值；②在點D的運動過程中，BE的值是否存在最小值？若存在，請直接寫出BE的最小值；若不存在，請說明理由．9．如圖1，拋物線與x軸交于點，，頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，以為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點E，圓心為G，連接，點Q為的中點．①判斷點C、D與的位置關系，并說明原因；②當點P沿半圓從點B運動到點A時，求線段的最小值．10．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQ．N若點P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點P是折線段MQN的中點．(1)【理解應用】如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點，點B是折線段POA的中點．若∠APO＝30°，則PB＝______；(2)如圖3，⊙O中，，D是上一點，AH⊥BD，垂足為H．求證：點H是折線段BDC的中點；(3)【拓展提升】如圖4，A，P，B，C是⊙O上的四個點，AB＝AC＝2，，求PB?PC的值．11．定義：若兩個三角形中，有兩組邊對應相等且其中一組等邊所對的角對應相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個三角形為偏等三角形．(1)如圖1，點是弧的中點，是弧所對的圓周角，連接、試說明與是偏等三角形．(2)如圖2，與是偏等三角形，其中猜想結論：一對偏等三角形中，一組等邊的對角相等，另一組等邊的對角．請?zhí)顚懡Y論，并說明理由．(以與為例說明)；(3)如圖3，內接于若點在上，且與是偏等三角形，求的值．12．如圖，點是矩形中邊上的一點，以為圓心，為半徑作圓，交邊于點，且恰好過點，連接，過點作EFBD，(1)若，①求的度數；②求證：是的切線．(2)若，，求的長．13．如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點，過點作直線分別與，的延長線交于點，，且．(1)求證：是的切線；(2)如果，，①求的長；②求的面積．14．已知，如圖，是的直徑，點為上一點，于點，交于點，與交于點，點為的延長線上一點，且．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為，，求的長．15．如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點D，過D作直線．(1)求證：DG是⊙O的切線；(2)求證：DE＝CD；(3)若，BC＝8，求⊙O的半徑．16．如圖，在△ABC的外接⊙O中，OB⊥AC交AC于點E，延長BE至點D，使得BE＝DE，連接AD，CD，其中CD與⊙O相交于點F，連接AF交BD于點G．(1)求證：四邊形ABCD為菱形．(2)當DA和DC都與⊙O相切時，若⊙O的半徑為2，求BD的長．(3)若DG＝DF，求的值．17．如圖，ABC中，CD為斜邊上的中線，以CD為弦畫圓，與邊AC交于點C、E，與邊BC交于點C、F，與邊AB交于點D、G．(1)若BF=BG，求的大??；(2)連接EF，試猜想線段BF、EF、AE的長度滿足用等號連接的數量關系，并說明理由；(3)連接CG，若CG恰好是△ABC的平分線，求的值．18．如國．⊙O的內接三角形ABC中．AB=AC．過點B作⊙O的切線．交CA延長線于D．過D作⊙O的另一條切線DE．切點為E．連接AE、BE、CE．(1)求證：△DBA∽△DCB：(2)判斷AB·CE與AE·BC之間的數量關系．并給出證明；(3)探究：在BC長度的變化過程中．是否為定值？若是．請求出這個值：若不是．請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據圓的切線的定義求解即可；（2）先證明得出，得出，再得出，進而結論可證；（3）先證明得出，從而得出，設，，求出，證明，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出最后根據O是的中點求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵于D，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴是的切線；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：∵是的直徑，∴，∵于D，∴，∴，∴中，，∴設，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵O是的中點，∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查了圓的切線，相似三角形的判定與性質．解題的關鍵在于找出相似三角形，求出邊之間的數量關系．2．(1)見解析(2)；(3)．【分析】（1）根據圓內接四邊形的外角等于內對角得出即可得證；（2）連接，根據，利用比例關系和勾股定理求出和即可得出；（3）證，得出，再利用等腰直角三角形得出的值即可．【解析】（1）解：∵四邊形是圓O的內接四邊形，∴，，∴，又∵，∴；（2）解：連接，∵是的直徑，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，在中，，在中，，∴；（3）解：如下圖：∵E是弧的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，即，∴，∴．【點評】本題主要考查圓的綜合知識，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．3．(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）由切線的性質得出，由，，得出，再根據“折線段中點的定義”即可得到答案；（2）先證明為等腰三角形，再證明為等腰三角形，繼而得出，進一步即可證明結論；（3）作于點E，根據（2）的結論和勾股定理表示出和的長度，進一步計算即可得出的值．【解析】（1）解：∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵點是折線段的中點，∴，故答案為：3；（2）如圖，延長到M使，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴點H是折線段的中點；（3）如圖，作于點E，由（2）可知E為折線段中點，即，∴，在中，，在中，，∴，∵，∴．【點評】本題考查了圓的綜合知識，掌握切線的性質、“折線段中點的定義”、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識是解決問題的關鍵．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）連接OB、OC，可證是等邊三角形，根據垂徑定理可得等于30°，可得，利用三角形的內角和定理即可表示出的值；（2）連接OB、OC，可證是等邊三角形，根據垂徑定理可得等于，因為點D為BC的中點，則，所以等于，根據，在直角三角形中用三角函數及勾股定理即可求得OD、AD的長；（3）分兩種情況討論：兩圓外切，兩圓內切．先根據兩圓相切時圓心距與兩圓半徑的關系，求出AD的長，再過O點作AE的垂線，利用勾股定理列出方程即可求解．【解析】（1）如圖1：連接OB、OC．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵點D是BC的中點，∴，∵，∴，∴；（2）如圖2：連接OB、OC、OD．由（1）可得：是等邊三角形，，∵，∴，∵B為的中點，∴，∴，根據勾股定理得：；（3）①如圖3．圓O與圓D相內切時：連接OB、OC，過O點作，∵BC是直徑，D是BC的中點，∴以BC為直徑的圓的圓心為D點，由（2）得：，圓D的半徑為1，∴，設，在和中，，即，解得：，∴；②如圖4．圓O與圓D相外切時：連接OB、OC，過O點作，∵BC是直徑，D是BC的中點，∴以BC為直徑的圓的圓心為D點，由（2）可得：，圓D的半徑為1，∴，在和中，，即，解得：，∴．【點評】本題主要考查圓的相關知識：垂徑定理，圓與圓相切的條件，關鍵是能靈活運用垂徑定理和勾股定理相結合思考問題，另外，需注意圓相切要分內切與外切兩種情況．5．（1），；（2）；（3）【分析】（1）當在延長線上時，最大，最大為，當在線段上時，最小，最小為：；（2）先證明，即可得到，所以點在以為直徑的圓上，由圖形可知：當0、、在同一直線上時，有最小值，然后根據勾股定理即可解決問題；（3）由同弦等角可知點在以為弦的上運動，從而構造輔助圓，故當，，共線時，的值最大，求出此時的值即可解決問題．【解析】解：（1）當在延長線上時，最大，如圖：最大為：，當在線段上時，最小，如圖：最小為：，故答案為：，；（2）四邊形是正方形，，，在和中，，，，，如圖，取的中點，連接，則，因此點在以為直徑的上運動，連接，當點、、不在一條直線上時，在三角形中有：，即，當點、、在一條直線上時，，當點、、在一條直線上時，有最小值為，（3）解：是的直徑，，，，，，，在中，，，，點在以為弦的上運動，當，，共線時，的值最大，如圖，連接，，，，△是等邊三角形，，，，，，，線段的最大值為．【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，等邊三角形的判定與性質及圓周角定理等知識點，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題．6．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)30【分析】（1）由推出，即可得到，即可推出結論；（2）連接，，根據圓周角定理可得出，再根據等腰三角形的性質可得出，根據三角形內角和定理得出，然后根據圓心角、弧弦的關系即可得證；（3）連接，設，，則，先證明垂直平分，，再利用勾股定理和垂徑定理求出，，證明，求出，，由勾股定理得，即，據此求解即可．【解析】（1）證明：，，，平分；（2）證明：連接，，，，，，，，，，，；（3）解：連接，設，，則，∵，∴垂直平分，，∴，

在中由勾股定理得：，∴，∴，在中由勾股定理得：，∵，，∴，∴，即，∴，，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴．【點評】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質與判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）由平移的性質得出，連接，，證明，根據全等三角形的性質可得結論；（2）設，由等腰三角形的性質得出，由平移以及折疊的性質可得，則結論可得；（3）過點作于點，證明四邊形是矩形，由矩形的性質可得：，由（1）知，同理可證，設，由勾股定理得出，則可得出答案．【解析】（1）證明：∵將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，∴,∵，∴，連接，，∵DE與⊙O相切于點G，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）設，∵，∴，∴，∴，∵沿射線AC平移得到，沿DE折疊得到，∴，∴，∴，∴；（3）過點作于點，∴，由（1）知，∴四邊形是矩形，∴，由（1）知，同理可證，設，在中，，∴，∴，即．【點評】本題是圓的綜合題，考查了平移的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，切線的性質，勾股定理等知識點，熟練掌握圓切線的性質是解本題的關鍵．8．(1)6；(2)①5或，②存在最小值，．【分析】（１）利用圓周角定理和勾股定理求解即可；（2）①為直角三角形，分兩種情況：當或當，分別進行求解即可；②取AC中點F，過F作于H，利用圓周角定理得，用勾股定理求出AC，利用直角三角形性質求EF，然后求出BF長，最后在中利用三角形中邊的關系得出BE的最小值．【解析】（1）解：如圖1，為的直徑，，；故BD的值為6．（2）解：①，DC平分，，當時，如圖2，，，，點E在AB上，，，是以AB為斜邊的等腰直角三角形，點E與O重合，；當時，如圖3，，，，，，，又，即，解得（舍去）綜上所述，BE的長為5或；②在點D的運動過程中，BE存在最小值，解答如下：如圖3，連接OC、AC，取AC中點F，連接EF、BF，過點F作于H，，，，，，，，F為AC中點，，，，，，（當且僅當點E在線段BF上時等號成立），即，BE的最小值是．【點評】此題是一道圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質、三角形中邊的關系等知識，熟練利用這些性質進行邏輯推理和運用分類的思想方法是解此題的關鍵．9．(1)(2)①C點在圓G的內部，D點在圓上；原因見解析；②線段的最小值為【分析】（1）用待定系數法求函數解析式即可；（2）①先求出點C、D、G的坐標，根據，求出圓的半徑，然后求出、的長，即可得出答案；②連接并延長與圓交于點N，連接，根據中位線定理得出，根據平行線的性質得出，說明Q點在以為圓心，1為半徑的圓上，得出AQ的最小值為，求出即可．【解析】（1）解：將，代入，∴，

解得：，∴；（2）解：①令，則，∴，∵，∴，∵，，∴，圓的半徑為，∵，，∴，，∴C點在圓G的內部，D點在圓上；②連接并延長與圓交于點N，連接，∴，∵G是的中點，Q是的中點，∴，∴，∴Q點在以為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴的最小值為，∴線段的最小值為．【點評】本題主要考查了求二次函數的解析式，勾股定理的，中位線定理，作出輔助線，找出Q點的軌跡，是解題的關鍵．10．(1)3(2)證明見解析(3)PB?PC＝7【分析】（1）由切線的性質得出，由，，得出，再根據“折線段中點的定義”即可得到答案；（2）先證明為等腰三角形，再證明為等腰三角形，繼而得出，進一步即可證明結論；（3）作于點，根據（2）的結論和勾股定理表示出和的長度，進一步計算即可得出的值．【解析】（1）解：是的切線，，，，，，點是折線段的中點，，故答案為：3；（2）解：延長到使，連接、，如圖所示：，，，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，點是折線段的中點；（3）作于點，如圖所示：由（2）可知為折線段中點，即，，在中，，在中，，，，．【點評】本題考查圓的綜合知識，掌握切線的性質、“折線段中點的定義”、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識是解決問題的關鍵．11．(1)見解析(2)互補，理由見解析(3)6或【分析】（1）根據同弧或等弧所對圓周角相等可得出BC=CD，再由公共邊AC即可證明與是偏等三角形；（2）在線段DE上取點G，使DG=AB，連接FG．易證，得出，，從而得出，再根據等邊對等角可知．最后由鄰角互補即，可求出，即另一組等邊的對角互補；（3）分類討論：①當BC=CD時和②當AB=CD時，再由圓內接四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質結合勾股定理即可解答．（1）∵點是弧的中點，∴BC=CD，．又∵AC=AC，∴與是偏等三角形；（2）如圖，在線段DE上取點G，使DG=AB，連接FG．由題意可知在和中，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，即另一組等邊的對角互補．故答案為：互補；（3）分類討論：①當BC=CD時，如圖，∵BC=CD，，∴．∵，∴，∴，∴，，∴AD>CD符合題意，∴AD=AC=6；②當AB=CD時，如圖，過點D作于點E，∵AB=CD，，∴，∴，，∴，∴，符合題意．設CE=x，則，∵，即，∴，∴，∴．綜上可知AD的值為6或．【點評】本題考查新定義，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質等知識．理解偏等三角形的定義是解題關鍵．12．(1)①30°；②見解析(2)【分析】（1）①由圓的性質及等腰三角形的性質可得∠OBD=30°，然后根據矩形的性質及平行線的性質可得答案；②連接OE，由圓的性質及等腰三角形的性質可得∠DEO=∠ODE=60°，然后根據三角形的內角和定理及切線的判定定理可得結論；（2）根據平行線的性質得CE：ED=CF：FB=2：3，設CE=2x，則DE=3x，過點O作OH⊥DE于點H，根據垂徑定理及矩形的判定與性質可得DO=BO=CH=DCDH=，最后由勾股定理可得答案．【解析】（1）解：①∵OD=OB，∠DOB=120°，∴∠OBD=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠CDB=∠OBD=30°，∵EF//BD，∴∠CEF=∠CDB=30°；②證明：如圖，連接OE，∵∠ODB=∠DBO=∠EDB=30°，∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=60°，∵OD=OE，∴∠DEO=∠ODE=60°，∴∠OEF=180°-∠DEO-∠CEF=180°-60°-30°=90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵EF∥DB，∴CE：ED=CF：FB=2：3，設CE=2x，則DE=3x，過點O作OH⊥DE于點H，由垂徑定理可得DH=DE=，∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，∴四邊形CHOB是矩形，∴DO=BO=CH=DCDH=，在Rt△ODH中，有DH2+OH2=DO2，解得，∴DO=．【點評】此題考查的是圓的有關性質、垂徑定理、矩形的判定與性質、等腰三角形的性質及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．13．(1)證明過程見解析(2)①；②【分析】（1）連接OC、BC，根據垂徑定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根據∠ECD=2∠BAD，證得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，則有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，則問題得證；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，則問題得解；②過F點作FP⊥AB，交AE的延長線于點P，先證△PAF∽△HAC，再證明△PEF∽△HEC，即可求出PF，則△PEF的面積可求．【解析】（1）連接OC、BC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切線；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的結論中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切線，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②過F點作FP⊥AB，交AE的延長線于點P，如圖，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面積為．【點評】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．利用相似三角形的性質是解題的難點．14．(1)見解析(2)見解析(3)15【分析】（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論；（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=12，由（2）的結論求出EH，然后根據勾股定理求出BH即可．【解析】（1），，，，，，，即，，是的半徑，是的切線；（2）連接AC，如圖所示，∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA；（3）連接BE，如圖所示，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為10，cosA=，∴AB=20，EA=AB?cosA=20×=16，∴，∵，∴BE=CE=12，∵CE2=EH?EA，∴，在Rt△BEH中，．【點評】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理、勾股定理、三角函數、相似三角形的判定與性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形相似和運用三角函數、勾股定理才能得出結果．15．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)5【分析】（1）如圖1，連接OD，由點E是△ABC的內心，可知AD平分∠BAC，則，，可得，，則，進而結論得證；（2）如圖2，連接BD，由點E是△ABC的內心，可知，由，可得，根據等角對等邊證明結論即可；（3）如圖3，連接OB、，連接交于，由（2）可知，由題意知，，在中，由勾股定理得，設半徑為，則，，在中，由勾股定理得即，計算求解即可．【解析】（1）證明：如圖1，連接OD，∵點E是△ABC的內心，∴AD平分∠BAC，∴，∴，∴，∵，∴，∵是⊙O的半徑，∴DG是⊙O的切線．（2）證明：如圖2，連接BD，∵點E是△ABC的內心，∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖3，連接OB、，連接交于由（2）可知，由題意知，，在中，由勾股定理得，設半徑為，則，，在中，由勾股定理得即，解得，∴的半徑為5．【點評】本題考查了內心，角平分線，同弧或等弧所對的圓周角相等，切線的判定，三角形外角的性質，等角對等邊，垂徑定理，勾股定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．16．(1)證明見解析(2)6(3)【分析】（1）根據垂徑定理確定AE=CE，根據平行四邊形的判定定理確定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據菱形的判定定理證明四邊形ABCD是菱形即可．（2）連接OA，設OE=x．根據勾股定理和線段的和差關系用x表示出AD和OD的長度，再結合圓的半徑，切線的性質定理和勾股定理列出方程并求解可得x的值，再根據線段的和差關系代入計算即可．（3）根據圓內接四邊形的性質，菱形的性質，等邊對等角可確定∠DGF=∠ADF，再根據相似三角形的判定定理和性質可確定∠GDF＝∠DAF，，結合菱形的性質和等角對等邊可確定AG=DF，AF=CD，根據線段的和差關系和等價代換思想可確定，進而可確定點F是線段CD的黃金分割點，即可求出的值．（1）解：∵在△ABC的外接圓⊙O中，OB⊥AC，∴AE＝CE．∵BE＝DE，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵OB⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：如下圖所示，連接OA．設OE=x．∵⊙O的半徑為2，∴OA=OB=2．∴BE=OB+OE=x+2，．∴DE=x+2．∴，OD=OE+DE=2x+2．∵DA與⊙O相切，∴∠OAD=90°．∴．∴．解得（舍），．∴x=1．∴OD=4．∴BD=OB+OD=6．（3）解：∵DG＝DF，∴∠DGF＝∠DFG．∵四邊形ABCF是的內接四邊形，∴∠ABC+∠AFC=180°．∵∠AFC+∠DFG=180°，∴∠ABC=∠DFG．∴∠ABC=∠DGF．∵四邊形ABCD是菱形，BD是其對角線，∴∠ADF=∠ABC，∠ADG=∠GDF，AD=CD．∴∠DGF=∠ADF．∴∠DFG=∠ADF．∴AF=AD．∴AF=CD．∵∠DFG=∠AFD，∴△DGF∽△ADF．∴∠GDF＝∠DAF，．∴∠DAF=∠ADG．∴AG=DG．∴AG=DF．∴AF-AG=CD-DF，即GF=CF．∴．∴點F是線段CD的黃金分割點．∵DF<CD，∴．【點評】本題考查垂徑定理，菱形的判定定理和性質，切線的性質定理，勾股定理，圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定定理和性質，等邊對等角，等角對等邊，綜合應用這些知識點是解題關鍵．17．(1)60°(2)，理由見解析(3)1【分析】（1）如圖1，連接，由圓