二次型的矩陣處理

二次型的矩陣處理第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五一二次型的矩陣表示形式1二次型可以用矩陣表示若記＝(注意這里aij=aji)第2節(jié)二次型的矩陣處理第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五對如上的二次型矩陣表示形式，顯然矩陣A完全決定了二次型f，注意矩陣A的特點，

aij=aji,(i,j=1,2,…,n)即A為對稱矩陣。其實任給一個方陣A，即不要求A對稱，則

f=xTAx,都是一個二次型。比如

第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五2二次型與矩陣的關(guān)系對二次型xTAx，它由A完全確定，如此則二次型的一些特性應(yīng)能在矩陣A中有所反應(yīng)。但注意到如不對矩陣A加以限制，則一個二次型可以對應(yīng)不同的方陣，反之，不同的方陣也有可能定義同一二次型。這種不惟一性將導(dǎo)致關(guān)系的無法傳遞（即無法建立映射），從而應(yīng)予以克服。若要求A為對稱矩陣，則任一二次型都可惟一地對應(yīng)于一個對稱矩陣；反之任一對稱矩陣可惟一對應(yīng)于一個二次型，且這種對應(yīng)是一一映射關(guān)系，這樣就克服了不惟一性問題。對二次型xTAx，若A為對稱矩陣，則稱A為二次型f的矩陣，稱f為對稱陣A的二次型。對稱陣A的秩就叫做二次型f=xTAx的秩。第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五例：寫出如下二次型的矩陣1)2)3)第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五3可逆線性變換的矩陣表示

二次型主要是化標(biāo)準(zhǔn)形問題，即通過如下的可逆線性變換將二次型化為只含平方項的標(biāo)準(zhǔn)形式。對上述可逆的線性變換，若記C=(cij)，則上述變換可寫成矩陣形式

x=Cy.其中矩陣C可逆。反之，若矩陣C

可逆，則x=Cy

為可逆的線性變換。第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五4二次型結(jié)論向矩陣結(jié)論的轉(zhuǎn)化在第一節(jié)我們只使用二次型的知識論證了任一二次型都可以通過可逆的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。本節(jié)前面的論述則指明二次型及其線性變換可表示成矩陣的形式?；诙涡屯ㄟ^可逆變換能夠化成標(biāo)準(zhǔn)形及其矩陣表示形式，我們可以得到：對任一二次型xTAx,其中AT=A，存在x=Cy,C可逆，使得

xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy為二次形的標(biāo)準(zhǔn)形，其中B=CTAC為對稱矩陣，故為標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣，從而一定是對角矩陣。第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五對上面內(nèi)容的描述，若只考慮矩陣內(nèi)容，則可得如下結(jié)論：定理：對任意的對稱矩陣A，總存在可逆的矩陣C，使得CTAC為對角形矩陣。這樣由于表示式

f=xTAx的存在，使得我們完成了二次型知識到矩陣知識的轉(zhuǎn)化。

上述分析還表明二次型變換前后的矩陣有如下關(guān)系

B=CTAC.定義：設(shè)A和B是n階矩陣，若有可逆矩陣C，使B=CTAC，則稱矩陣A與B合同，或稱A合同于B，記作AB。定理：對稱矩陣一定與對角矩陣合同。第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五矩陣的合同是一種等價關(guān)系：反身性：2)對稱性：3)傳遞性：定理：合同的矩陣有相同的秩。證明：…

對二次型，由于經(jīng)可逆的線性變換前后的矩陣是合同的，從而其秩也是一樣的，又由于二次型矩陣的秩又稱為二次型的秩，因此可說，可逆的線性變換不改變二次型的秩。第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五二二次型的正交標(biāo)準(zhǔn)化對實對稱矩陣,我們有定理：設(shè)A為n階對稱陣，則必有正交陣U，使U-1AU=UTAU=Λ，其中Λ是以A的n個特征值為對角元的對角陣。在前面我們使用數(shù)學(xué)歸納法證明了二次型是可以通過可逆的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，但這里有兩個問題比較麻煩，其一是證明過程的表述形式過于繁雜；其二是確定所說的可逆的線性變換也不是簡單易得的。

問題：真對如上關(guān)于對稱矩陣的結(jié)論，能否用于二次型的可化為標(biāo)準(zhǔn)形證明，以及確定所求的可逆的線性變換？第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五定理：對任意的n元實二次型f=xTAx，其中A=AT為f的矩陣，則存在可逆正交變換x=Uy，可化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。證明：因為A為n階對稱陣，則必有正交陣U，使U-1AU=UTAU=Λ，其中Λ是以A的n個特征值為對角元的對角陣。從而有f=xTAx=(Uy)TA(Uy)=yTUTAUy=yT(UTAU)y=yT

Λy由于Λ是對角矩陣，從而正交變換Uy將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。證畢。注意：這里給出了二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣證明方式；并同時指出了所求的可逆的線性變換。第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五例：求一個正交變換x=Py，把如下的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型f的矩陣為A的特征多項式為第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五對上述基礎(chǔ)解系再先正交化，然后再單位化即可得到構(gòu)造正交矩陣的正交單位向量p2,p3,p4；問題：能否直接構(gòu)造出正交的基礎(chǔ)解系？知識是死的，人是活的，有靈性的。第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五對已是正交的基礎(chǔ)解系單位化，從而所得的正交變換為且有f=

第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五三二次型化標(biāo)準(zhǔn)形問題的進一步分析及初等變換法在上例中，我們給出了二次型化標(biāo)準(zhǔn)形問題的正交變換法。但上例的求解過程表明，這種方法也并不簡單。比如試用正交變換法化如下的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形解：二次型的矩陣為它的特征多項式為該多項式無有理根。第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五由于當(dāng)A的特征多項式?jīng)]有有理根，從而只能是無理根。此時該多項式的的因式分解沒有一般的方法可循，這構(gòu)成一個實際的困難，即無法確定特征值。

問題：我們目標(biāo)是什么？終極目標(biāo)是求特征值嗎？將二次型化為簡單的標(biāo)準(zhǔn)形式，目標(biāo)并不在于求特征根，因此求特征值與特征向量或許沒有必要。我們再來看定理定理：對任意的n元實二次型f=xTAx，其中A=AT為f的矩陣，則存在可逆正交變換x=Uy，可化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

做多了第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五在用配方法證明二次型可經(jīng)可逆的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)論中，我們只使用了二次型如下的的一般記法并沒有涉及到矩陣知識。但如前所述，二次型與對稱矩陣存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)論在對稱矩陣上必有所反應(yīng)。即對稱矩陣應(yīng)有相應(yīng)的性質(zhì)對此作出解釋。＝第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五由定理，若A為對稱矩陣，知必存在可逆的矩陣C，使得

CTAC為對角矩陣。因可逆的矩陣可表示為初等矩陣的乘積，從而存在初等矩陣,使得代入上式則有：即存在初等矩陣使得上式為對角矩陣。又若P為初等矩陣，則PTAP

相當(dāng)于先對A作了一個列初等變換，又作了一個行初等變換，并且是成對的。因此上式又表明，只需對A作一系列成對的初等變換，就可以變成對角形，我們只需記錄下全部的列變換或全部的行變換，就得到了矩陣C或CT。第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期五初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(A,E)