人教A版選擇性必修第二冊第5章53532第1課時(shí)函數(shù)的極值學(xué)案

.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的極值學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解極大值、微小值的概念．(難點(diǎn))2．了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值．(重點(diǎn))1．通過極值點(diǎn)與極值概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助函數(shù)極值的求法，提升同學(xué)的規(guī)律推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近上下各不同〞．說的是廬山的上下起伏，錯(cuò)落有致，在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖不肯定是群山的最高處，但它卻是其四周的最高點(diǎn)．由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點(diǎn)〞與“谷點(diǎn)〞．這就是我們這節(jié)課爭論的函數(shù)的極值．學(xué)問點(diǎn)1極值點(diǎn)與極值(1)微小值點(diǎn)與微小值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a四周其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a四周的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值．(2)極大值點(diǎn)與極大值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b四周其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b四周的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、微小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值、微小值統(tǒng)稱為極值．1．函數(shù)的極值是唯一的嗎？[提示]函數(shù)的極值不是唯一的，有的函數(shù)沒有極值，或只有極大值沒有微小值，或只有微小值沒有極大值，或既有極大值又有微小值且在定義域上的極大(小)值可以不止一個(gè)．2．函數(shù)的極大值肯定比微小值大嗎？[提示]極大值與微小值之間無確定的大小關(guān)系．在某一點(diǎn)的微小值也可能大于另一點(diǎn)的極大值，即極大值不肯定比微小值大，微小值也不肯定比極大值?。?．思索辨析(正確的畫“√〞，錯(cuò)誤的畫“×〞)(1)極大值肯定比微小值大．()(2)每一個(gè)函數(shù)都至少有一個(gè)極大值或微小值．()(3)假設(shè)f′(x0)＝0，那么x0肯定是極值點(diǎn)．()(4)單調(diào)函數(shù)不存在極值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)極大值不肯定比微小值大，∴(1)錯(cuò)誤；(2)有的函數(shù)可能沒有極值．∴(2)錯(cuò)；(3)假設(shè)f′(x0)＝0，且導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)零點(diǎn)，x0才是極值點(diǎn)，故(3)錯(cuò)誤；(4)正確．2．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如下圖，那么函數(shù)f(x)()A．無極大值點(diǎn)，有四個(gè)微小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)微小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)微小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無微小值點(diǎn)C[設(shè)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，那么f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得微小值．]學(xué)問點(diǎn)2求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)假如在x0四周的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)假如在x0四周的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是微小值．3．導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)肯定是極值點(diǎn)嗎？[提示]不肯定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．所以，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，要推斷x＝x0是否為f(x)的極值點(diǎn)，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否相反．3．(多項(xiàng)選擇題)以下四個(gè)函數(shù)中，在x＝0處取得極值的函數(shù)是()A．y＝x3 B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2xBC[對于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3單調(diào)遞增，無極值；對于B，y′＝2x，x＞0時(shí)y′＞0，x＜0時(shí)y′＜0，∴x＝0為極值點(diǎn)；對于C，依據(jù)圖象，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴C符合；對于D，y＝2x單調(diào)遞增，無極值．應(yīng)選BC．]類型1不含參數(shù)的函數(shù)求極值【例1】求以下函數(shù)的極值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2．[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化狀況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘微小值↗∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有微小值，且f(3)＝－22．(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化狀況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無極值↗極大值108↘微小值0↗∴x＝0不是y的極值點(diǎn)；x＝3是y的極大值點(diǎn)，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的微小值點(diǎn)，y微小值＝f(5)＝0．一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟(1)求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個(gè))；(3)用方程f′(x)＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成假設(shè)干個(gè)開區(qū)間，可將x，f′(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化狀況列在同一個(gè)表格中；(4)由f′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，推斷f(x)在f′(x)＝0的各個(gè)根處的極值狀況：假如左正右負(fù)，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得極大值；假如左負(fù)右正，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得微小值；假如導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號(hào)，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求以下函數(shù)的極值．(1)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x)．[解](1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．f′(x)＝eq\f(2(x2＋1)－4x2,(x2＋1)2)＝－eq\f(2(x－1)(x＋1),(x2＋1)2)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1．當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化狀況如表所示：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘微小值↗極大值↘由表格可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有微小值，且微小值為f(－1)＝－3；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)＝－1．(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)．令f′(x)＝0，解得x＝e．當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化狀況如表所示：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗極大值↘因此，x＝e是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(e)＝eq\f(1,e)，沒有微小值．類型2含參數(shù)的函數(shù)求極值【例2】函數(shù)f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的極值．利用求函數(shù)極值的方法求解，在含參數(shù)的值比擬大小時(shí)，可以分類爭論.[解]∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝eq\f(a,2)，x2＝eq\f(a,3)．①當(dāng)a＞0時(shí)，eq\f(a,3)＜eq\f(a,2)，那么隨著x的變化，f′(x)，f(x)的變化狀況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))eq\f(a,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,2)))eq\f(a,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘微小值↗∴當(dāng)x＝eq\f(a,3)時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝eq\f(a3,27)；當(dāng)x＝eq\f(a,2)時(shí)，函數(shù)f(x)取得微小值，為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝0．②當(dāng)a＜0時(shí)，eq\f(a,2)＜eq\f(a,3)，那么隨著x的變化，f′(x)，f(x)的變化狀況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))eq\f(a,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,3)))eq\f(a,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘微小值↗∴當(dāng)x＝eq\f(a,2)時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝0；當(dāng)x＝eq\f(a,3)時(shí)，函數(shù)f(x)取得微小值，為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝eq\f(a3,27)．綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝eq\f(a,3)處取得極大值eq\f(a3,27)，在x＝eq\f(a,2)處取得微小值0；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝eq\f(a,2)處取得極大值0，在x＝eq\f(a,3)處取得微小值eq\f(a3,27)．1．推斷一個(gè)函數(shù)是否有極值的方法推斷一個(gè)函數(shù)是否有極值，不僅要求解f′(x)＝0，還要依據(jù)函數(shù)的極值定義，函數(shù)在某點(diǎn)處假設(shè)存在極值，那么應(yīng)在該點(diǎn)的左右鄰域是單調(diào)的，并且單調(diào)性相反；假設(shè)單調(diào)性相同，那么不是極值點(diǎn)．2．分類爭論求極值求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時(shí)，有時(shí)需要用分類爭論的思想才能解決問題．爭論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對f′(x)的零點(diǎn)有影響，假設(shè)有影響，那么需要分類爭論；二是看f′(x)在其零點(diǎn)四周的符號(hào)確實(shí)定是否與參數(shù)有關(guān)，假設(shè)有關(guān)，那么需要分類爭論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．假設(shè)函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函數(shù)f(x)的極值．[解]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)．(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)無極值．(2)當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝a．當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞a時(shí)，f′(x)＞0．∴f(x)在x＝a處取得微小值，且f(a)＝a－alna，無極大值．綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得微小值a－alna，無極大值．類型3由極值求參數(shù)的值或取值范圍【例3】(1)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，那么a＝()A．4或－3 B．4或－11C．4 D．－3(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex．①假設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為0，求a；②假設(shè)f(x)在x＝1處取得微小值，求a的取值范圍．1依據(jù)條件可知f′1＝0且f1＝10.可以求解；2①由f′2＝0解得a值；第②問f′1a值.(1)C[∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(1)＝3＋2a＋b＝0，,f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－3，,a＋b＋a2＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11，))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝3))時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意．∴a＝4．應(yīng)選C．](2)[解]①由于f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，那么f′(2)＝(2a－1)e2，由題設(shè)知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝eq\f(1,2)．②由①得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex，假設(shè)a>1，那么當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0．所以f(x)在x＝1處取得最小值．假設(shè)a≤1，那么當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0，所以1不是f(x)的微小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是(1，＋∞)．函數(shù)極值狀況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而爭論函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)留意兩點(diǎn)：1常依據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；2由于導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗(yàn)證根的合理性.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，求a，b的值．[解]∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b且函數(shù)f(x)在x＝－1處有極值0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(－1)＝0，,f(－1)＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.))當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，f′(x)＝0，此時(shí)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去．當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)．故f(x)在x＝－1處取得微小值．∴a＝2，b＝9．類型4極值問題的綜合應(yīng)用【例4】函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a(a為實(shí)數(shù))，假設(shè)方程f(x)＝0有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．求出函數(shù)的極值，要使fx＝0有三個(gè)不同實(shí)根，那么應(yīng)有極大值大于0，微小值小于0，由此可得a的取值范圍.[解]令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－1<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0．所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)有極大值f(－1)＝2＋a；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有微小值f(1)＝－2＋a．由于方程f(x)＝0有三個(gè)不同實(shí)根，所以y＝f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖．由應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋a>0，,－2＋a<0，))解得－2<a<2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2，2)．1．(變條件)本例中，假設(shè)方程f(x)＝0恰有兩個(gè)根，那么實(shí)數(shù)a的值如何求解？[解]由例題知，函數(shù)的極大值f(－1)＝2＋a，微小值f(1)＝－2＋a，假設(shè)f(x)＝0恰有兩個(gè)根，那么有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2．2．(變條件)本例中，假設(shè)方程f(x)＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍．[解]由例題可知，要使方程f(x)＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．解決函數(shù)零點(diǎn)的留意點(diǎn)(1)爭論函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的狀況，可以通過導(dǎo)數(shù)爭論函數(shù)的單調(diào)性、極大值、微小值、變化趨勢等，依據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清楚、直觀的整體呈現(xiàn)．(2)解決由函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的存在狀況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(f(x),x)－4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[解](1)由于f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3}，所以設(shè)f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0．所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，故a＝1．故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3．(2)由(1)知g(x)＝eq\f(x2－2x－3,x)－4lnx＝x－eq\f(3,x)－4lnx－2，所以g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，g′(x)＝1＋eq\f(3,x2)－eq\f(4,x)＝eq\f((x－1)(x－3),x2)，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3．當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的取值變化狀況如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增當(dāng)0＜x≤3時(shí)，g(x)≤g(1)＝－4＜0，當(dāng)x＞3時(shí)，g(e5)＝e5－eq\f(3,e5)－20－2＞25－1－22＝9＞0．又由于g(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn)．1．函數(shù)y＝f(x)，x∈R有唯一的極值點(diǎn)，且x＝1是f(x)的微小值點(diǎn)，那么()A．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≤0B．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0C．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0D．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≤0C[由微小值點(diǎn)的定義，知微小值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值是左負(fù)右正，又函數(shù)f(x)，x∈R有唯一的極值點(diǎn)，所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0．應(yīng)選C．]2．設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝xf′(x)的圖象的一局部如下圖，那么()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，微小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，微小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，微小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，微小值為f(－3)D[當(dāng)x＜－3時(shí)，y＝xf′(x)＞0，即f′(x)＜0；當(dāng)－3＜x＜3時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x＞3時(shí)，f′(x)＜0．所以f(x)的極大值是f(3)，f(x)的微小值是f(－3)．應(yīng)選D．]3．設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，那么()A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝1為f(x)的微小值點(diǎn)C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝－1為f(x)的微小值點(diǎn)D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．當(dāng)x＜－1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞－1時(shí)，f′(x)＞0．故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得微小值．]4．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的極大值為________．－1[f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，∵x∈R，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，e]上單調(diào)遞減，∴x＝1處取得極大值，即f(x)極大值＝f(1)＝－1．]5．函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有微小值，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數(shù)f(x)既有極大值又有微小值，∴方程f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]回憶本節(jié)學(xué)問，自我完成以下問題：(1)函數(shù)極值的求解依據(jù)與步驟是什么？[提示]一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟是：①求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′(x)；②解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個(gè))；③用方程f′(x)＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成假設(shè)干個(gè)開區(qū)間，可將x，f′(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化狀況列在同一個(gè)表格中；④由f′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，推斷f(x)在f′(x)＝0的各個(gè)根處的極值狀況：假如左正右負(fù)，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得極大值；假如左負(fù)右正，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得微小值；假如導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號(hào)，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)．(2)假如函數(shù)f(x)在[a，b]連續(xù)不斷且有極值的話，它的極值點(diǎn)有規(guī)律嗎？[提示]假如函數(shù)f(x)在[a，b]上有極值的話，那么它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的．相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)微小值點(diǎn)．同樣，相鄰兩個(gè)微小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)．一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f(x)在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、微小值點(diǎn)是交替消失的．(3)函數(shù)的零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍有哪些常用的方法？[提示]常用的方法有三種：①直接法，直接依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通