鄂西南三校合作體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

鄂西南三校合作體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線(xiàn)l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，且，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A. B.C. D.3．在矩形中，，在該矩形內(nèi)任取一點(diǎn)M，則事件“”發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.4．正三棱柱各棱長(zhǎng)均為為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.15．若兩條平行線(xiàn)與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或116．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個(gè)面積為200平方米的矩形場(chǎng)地.用來(lái)展示校友的書(shū)畫(huà)作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長(zhǎng)最小需要（）米A.20 B.40C. D.7．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.9．若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.10．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.11．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱(chēng)“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C.2 D.12．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)，滿(mǎn)足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________15．直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.16．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段MQ的垂直平分線(xiàn)交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線(xiàn)C（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線(xiàn)和，分別交曲線(xiàn)C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值18．（12分）已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上是否存在點(diǎn)使，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于M、N兩點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）求弦長(zhǎng)；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知拋物線(xiàn)C：x2＝2py的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N（t，1）在拋物線(xiàn)C上，且|NF|＝.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.22．（10分）已知圓：，定點(diǎn)，Q為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在半徑CQ上，且，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E.（1）求曲線(xiàn)E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)E于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H與AB垂直的直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.2、C【解析】分析得出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線(xiàn)與所成的角.【詳解】由題意可知，，因?yàn)椋?，則，，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，，，因此，異面直線(xiàn)與所成的角為.故選：C.3、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉(zhuǎn)化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，.所以事件“”發(fā)生的概率為.故選：D4、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距公式求得正確答案.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C5、A【解析】利用平行線(xiàn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l平行線(xiàn)與之間的距離是2，所以，或，故選：A6、B【解析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長(zhǎng)為因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即圍欄總長(zhǎng)最小需要米.故選：B.7、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進(jìn)而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因?yàn)椋瑒t，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的定義和并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因?yàn)閏osA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C9、A【解析】根據(jù)（為弦長(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線(xiàn)，因?yàn)椋橄议L(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線(xiàn)的距離、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系.10、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)是故選：B11、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義及直角三角形斜邊的中線(xiàn)定理，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線(xiàn)的定義，得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A.12、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而直接利用兩角和的余弦展開(kāi)求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本不等式性質(zhì)可得的最小值，由恒成立可得即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)，滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)因?yàn)楹愠闪?，所以，解?故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案填：.【點(diǎn)睛】熟練掌握基本不等式的性質(zhì)和正確轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.14、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1則f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e15、【解析】由直線(xiàn)的方程求出直線(xiàn)的斜率以及，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率以及線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由直線(xiàn)可得，所以直線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率為，令可得；令可得；即，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，整理得.故答案為：.16、4【解析】設(shè)，寫(xiě)出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線(xiàn)方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線(xiàn)C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．18、（1）拋物線(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）存在，且【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo).（2）設(shè)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】將代入得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】存在，理由如下：直線(xiàn)的方程為，或，即.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，設(shè)，，即，所以.即存在點(diǎn)使.19、（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程求解；（2）由直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解；（3）結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積運(yùn)算證明；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程是；【小問(wèn)2詳解】由，得，設(shè)，則，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，，所以，?20、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意，得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，再由以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為由得：由得：設(shè)，則，，∴因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，.滿(mǎn)足條件故.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解，屬于?？碱}型.21、（1）x2＝2y；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)直線(xiàn)l的直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)N（t，1）在拋物線(xiàn)C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線(xiàn)C的方程為x2＝2y；【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得x2﹣2kx﹣2＝0.則x1x2＝﹣2，∴.故k1k2為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵.22、（1）（2）或【解析】(1)結(jié)合已知條件可得到點(diǎn)P在線(xiàn)段QF的垂直平分線(xiàn)上，然后利用橢圓定義即可求解；(2)結(jié)合已知條件設(shè)出直線(xiàn)