改革高等代數(shù)本王文卿

面向數(shù)學(xué)專業(yè)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)

改革高等代數(shù)教學(xué)方法與考評(píng)方式

上海大學(xué)數(shù)學(xué)系王卿文2011年11月13日Email:wqw@交流要點(diǎn)以創(chuàng)設(shè)問題情境來激發(fā)學(xué)生對(duì)高等代數(shù)學(xué)習(xí)的興趣

以展示數(shù)學(xué)思維過程來促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展

以重視數(shù)學(xué)思想的傳授來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新動(dòng)機(jī)和培養(yǎng)創(chuàng)新精神

以發(fā)散思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)再“創(chuàng)造”來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

以研究性、探索性和開放性課題為課外作業(yè)來鍛煉學(xué)生的自學(xué)和科研能力

以靈活多樣的考評(píng)方式來加大學(xué)生掌握高等代數(shù)精髓的動(dòng)力

背景大學(xué)的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。大學(xué)的創(chuàng)新教育目標(biāo)定位于創(chuàng)新人才的全面發(fā)展及其創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)和提高上。數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中需要培養(yǎng)八種數(shù)學(xué)能力和五種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

背景

八種數(shù)學(xué)能力：分析的能力歸納的能力抽象的能力空間想象的能力演繹推理的能力準(zhǔn)確計(jì)算的能力運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件的能力學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識(shí)的能力

背景五種數(shù)學(xué)素養(yǎng)：主動(dòng)尋求并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神合理地提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)對(duì)各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)。背景高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的最重要的基礎(chǔ)課之一，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)起著關(guān)鍵性的作用。高等代數(shù)的內(nèi)容不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí)，而且較多地體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的高度抽象、嚴(yán)密的邏輯推理和科學(xué)計(jì)算；高等代數(shù)的理論和方法是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在科學(xué)研究和各行各業(yè)中有廣泛的應(yīng)用。

背景高等代數(shù)的基本內(nèi)容是以矩陣為工具，研究向量空間。高等代數(shù)最大的難點(diǎn)就是高度抽象。高等代數(shù)是學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)到抽象公理化的數(shù)學(xué)的一個(gè)重要過渡，一個(gè)必須通過的難關(guān)。既讓學(xué)生學(xué)起來感覺容易又在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)是高等代數(shù)課程教學(xué)工作中所要解決的核心問題。解決這一問題的關(guān)鍵就是教師要高屋建瓴，將復(fù)雜的內(nèi)容，抓住實(shí)質(zhì)，講得明白易懂，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容感興趣，理解關(guān)鍵的內(nèi)容、核心的思想，并通過嚴(yán)格的訓(xùn)練使其真正學(xué)到手。高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐

一、以創(chuàng)設(shè)問題情境來激發(fā)學(xué)生對(duì)高等代數(shù)學(xué)習(xí)的興趣

數(shù)學(xué)問題情境就是含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的情境，同時(shí)也是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景。

一個(gè)好的問題情境應(yīng)具有數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和數(shù)學(xué)自身的魅力，從而能激發(fā)學(xué)生從事數(shù)學(xué)創(chuàng)新的動(dòng)機(jī)。數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)，其素材可以源于生活，源于數(shù)學(xué)自身，還可以源于其它相關(guān)學(xué)科。通過給學(xué)生呈現(xiàn)刺激性的數(shù)學(xué)材料信息，激發(fā)學(xué)生好奇心和發(fā)現(xiàn)欲，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)和提出問題，進(jìn)而分析問題和解決問題。高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐1校正衛(wèi)星的運(yùn)行位置3計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的圖形變換分塊矩陣矩陣乘法運(yùn)算

2多波段圖像處理實(shí)對(duì)稱矩陣

4傳染病和物種群展發(fā)趨勢(shì)特征值特征向量

5信息編碼和解碼逆矩陣

6行星軌道計(jì)算線性方程組的求解

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境實(shí)例高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐

二、以展示數(shù)學(xué)思維過程來促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展

教科書是經(jīng)過邏輯加工的、完成了的數(shù)學(xué)形式，是一個(gè)嚴(yán)格的演繹體系，看不到思維過程，只看到完整的結(jié)論和順理成章的嚴(yán)格證明。我們?cè)诟叩却鷶?shù)的教學(xué)中，努力向?qū)W生展示圍繞這些問題進(jìn)行分析和思考，從分析問題的過程中尋找解決問題的方法，盡可能地把數(shù)學(xué)原理、定理和方法的發(fā)現(xiàn)過程傳授給學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和思考；甚至在課堂教學(xué)中，展示嘗試錯(cuò)誤思維的過程，充分暴露教師的思維過程，以此來指導(dǎo)、調(diào)節(jié)、影響學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)規(guī)律去發(fā)展自我。高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐展示數(shù)學(xué)思維過程的實(shí)例----矩陣的對(duì)角化問題提出問題

科學(xué)的根本任務(wù)是化繁為簡，矩陣的簡單形式是對(duì)角形。相似變換是一類重要的變換，我們通過相似變換如何將一個(gè)方陣化為對(duì)角形（即對(duì)角化）。高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐上述問題的數(shù)學(xué)表示

進(jìn)一步分析并解決問題高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐定義新概念

得出新結(jié)論，產(chǎn)生新問題高等代數(shù)教學(xué)方法和考評(píng)方式的改革與實(shí)踐

三、以重視數(shù)學(xué)思想的傳授來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新動(dòng)機(jī)和培養(yǎng)創(chuàng)新精神

培養(yǎng)創(chuàng)新精神，必須激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新動(dòng)機(jī)。創(chuàng)新首先是思想的突破。我們的做法如下：備課時(shí)牢牢抓住教材體系中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并以此作為教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想。教學(xué)時(shí)敏銳地發(fā)現(xiàn)并抓住學(xué)生的思想火花加以提升，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，通過激發(fā)學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的創(chuàng)新動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)更多的學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)中，將教學(xué)內(nèi)容自始至終突出矩陣分塊思想、標(biāo)準(zhǔn)單位向量思想、初等變換思想、升階與降階思想、矩陣特征值思想、矩陣的各種等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形（矩陣分解）思想、線性子空間思想、同構(gòu)轉(zhuǎn)化思想以及將奇異陣轉(zhuǎn)化為非奇異陣等核心思想。高等召代數(shù)塞教學(xué)向方法敘和考沈評(píng)方糧式的貝改革銀與實(shí)酬踐初等猾變換驚思想初等蜜變換望是高哪等代典數(shù)中紙分析攏問題蛇、解土決問顧題的賓一種蹈非常堡重要肅的思斷想方灰法，奪它貫浸穿于周高等咐代數(shù)側(cè)理論費(fèi)的始扶終，箱應(yīng)用夸初等衫變換酒證明珍命題搏過程誘容易惡被接霞受，物同時(shí)址也是續(xù)解決雀高等霸代數(shù)竿相關(guān)遙計(jì)算耍問題童最直馳接、奇便利杏、有們效的淹方法踏。我們檢可利稍用初兩等變魔換計(jì)膛算行萌列式蜓的值罪、求沒多項(xiàng)逮式的譽(yù)最大囑公因咽式、巖求逆識(shí)陣、例解矩誤陣方仿程、阻求解桐線性赴方程忽組、可判定誓向量復(fù)組的篩線性刑相關(guān)惡性、焦求向坦量組屠的極柳大無役關(guān)組議與秩晌、化裁二次串型為靜標(biāo)準(zhǔn)辭形、堵求特豆征子悶空間糖、生批成子擔(dān)空間湯、正削交補(bǔ)墊空間涉等的衡基、賣求線引性變出換的宮值域墻與核妖等等粒。這種耐思想怎方法奸的實(shí)材質(zhì)是冠將問彎題化林繁為旗簡，育化抽畜象為盒具體策，并足且保辮持事景物的穗某些狂本質(zhì)酸特征勤不變洪。因拾此，券伴隨嶼著教好學(xué)內(nèi)扶容的穩(wěn)深入違與延船展，士將其刃思想摔內(nèi)涵揭及時(shí)閥地加裳以展抗現(xiàn)、效豐富浮，不冒僅可麗以使醒學(xué)生藍(lán)把握箏知識(shí)便學(xué)習(xí)步的脈工絡(luò)，爸還可繪以體碧會(huì)到香不同極事物偏的內(nèi)爬在關(guān)吳系。高等川代數(shù)往教學(xué)舟方法另和考尋評(píng)方降式的運(yùn)改革而與實(shí)租踐四、擺以發(fā)私散思物維，悟?qū)崿F(xiàn)齡數(shù)學(xué)笨再“匹創(chuàng)造攏”來臭培養(yǎng)罩學(xué)生頭的創(chuàng)炸新能顯力。在課們堂教票學(xué)中驕，在晝學(xué)生車認(rèn)真續(xù)思考由的基總礎(chǔ)上搬，適支時(shí)地愛給學(xué)陜生以兼巧妙輝地啟抄發(fā)、中點(diǎn)撥遵，讓悉他們腦自己糞對(duì)數(shù)紀(jì)學(xué)知景識(shí)做噸出更鏈高層狗次的該概括表，得膝出一和般性蹈的結(jié)戶論，摔產(chǎn)生界認(rèn)識(shí)鄭上的卸飛躍魄，實(shí)挨現(xiàn)數(shù)噴學(xué)“茂再創(chuàng)峰造”槽。高等釋代數(shù)癥教學(xué)偶方法伐和考溫評(píng)方僻式的減改革芝與實(shí)狠踐教師面創(chuàng)造議合適銳的條留件，洽提供通具體碑的例父子，幼讓學(xué)砍生在無實(shí)踐術(shù)的過蘇程中委，“葡再創(chuàng)贊造”肥出各納種運(yùn)銷算法餐則，區(qū)或是串發(fā)現(xiàn)蘭有關(guān)雜的各浙種概筒念、罪定律禮；學(xué)祝生在題學(xué)習(xí)鍛數(shù)學(xué)愈的過豬程中盼，都歉可以勝根據(jù)僅自己再的體投驗(yàn)，吼用自儀己的旱思維視方式腦，重閑新創(chuàng)汁造有逐關(guān)的覽數(shù)學(xué)刪知識(shí)紡。教師街通過肢適當(dāng)濟(jì)的啟滲發(fā)，紹引導(dǎo)貸學(xué)生念加強(qiáng)舞反思皂，使蠻學(xué)生司的創(chuàng)展造活視動(dòng)由痰不自唯覺或堤盲目炮的狀民態(tài)，辱發(fā)展主為有姥意識(shí)今、有哲目的迫的創(chuàng)望造活棚動(dòng)。在整儀個(gè)過叨程中建，學(xué)騙生應(yīng)佩該始幅終積睡極參底與這樣個(gè)活友動(dòng)，豈感覺盞到創(chuàng)吊造的飽需要伶，才趙有可按能進(jìn)欠行“蚊再創(chuàng)億造”敏。教媽師應(yīng)稀為學(xué)爹生提含供廣姜闊的鍋天地粉，聽扔任各痰種不幻玉同思紛維、右不同起方法醬自由變發(fā)展蜘。高等蒙代數(shù)杏教學(xué)蘭方法焦和考娛評(píng)方組式的丈改革扣與實(shí)在踐實(shí)例--樓--線性魂空間躁的定粒義講燦解就線性空間中的這兩種運(yùn)算是否還有什么想法？教師詢問：學(xué)生問：能否定義向量的乘法？從數(shù)域上的全體

矩陣、全體多項(xiàng)式、一閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)等具體的例子中，抽象其共性：集合中有加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，并且滿足八條性質(zhì)，最后得出了線性空間的定義和性質(zhì)。教師：高等肉代數(shù)史教學(xué)摔方法混和考澡評(píng)方遼式的思改革該與實(shí)允踐矩陣空間中有乘法運(yùn)算，乘法運(yùn)算與加法運(yùn)算的關(guān)系是什么？一數(shù)與兩個(gè)矩陣的乘積作數(shù)乘時(shí)可能出現(xiàn)的情況是什么？教師引導(dǎo)學(xué)生：學(xué)生經(jīng)過觀察考慮得出結(jié)論：矩陣的乘法和加法滿足分配律，一數(shù)與兩個(gè)矩陣的乘積作數(shù)乘時(shí)，這個(gè)數(shù)可以自由出現(xiàn)在矩陣的左右位置。請(qǐng)把矩陣改成一般線性空間的向量，寫出上述結(jié)論。教師點(diǎn)撥：學(xué)生很容易完成。這時(shí)，我們告訴學(xué)生：你發(fā)明了“代數(shù)”的定義高等艙代數(shù)疫教學(xué)勉方法攀和考潑評(píng)方曾式的效改革雹與實(shí)籌踐五、穴以研斑究性墾、探沉索性割和開貧放性增課題羅為課阿外作請(qǐng)業(yè)來真鍛煉凝學(xué)生環(huán)的自壩學(xué)和陷科研團(tuán)能力。研究刑性、諒探索或性和適開放毛性課郵題的寫課外件作業(yè)覺主要覽包括注如下獎(jiǎng)幾個(gè)霞部分軟：探索偶性的處專題必討論噴。如線鞭性相熱關(guān)性稍、等絲式價(jià)關(guān)其系等羊?qū)ｎ}徹探索褲與課濾堂討伙論，令以此謝來調(diào)炸動(dòng)學(xué)倆生的侵主動(dòng)敗性；總結(jié)槽性的嫂專題摧報(bào)告騎。每章萍課程竊結(jié)束鹿時(shí)布誤置專嚇題總小結(jié)，鍵拓展盤的大半作業(yè)躺，以嚷此來杏訓(xùn)練叫學(xué)生撐的查巴閱資濟(jì)料和器歸納換總結(jié)顛的能脈力；高等息代數(shù)拉教學(xué)坊方法賄和考觀評(píng)方夏式的部改革界與實(shí)扇踐攻關(guān)酒性的推難題丙求解蝕。每次影作業(yè)彈有一攻道“幫攻關(guān)吵題”就，目斧的是案讓學(xué)些生享眉受理甘解和舟應(yīng)用跟數(shù)學(xué)桌思想怒和方桂法的后樂趣秀，提制高創(chuàng)帶新能每力；在短卡學(xué)期慰開設(shè)端高等且代數(shù)籠有關(guān)青的最索新研塌究成系果的佩主題唇講座宅和相拆關(guān)的辛數(shù)學(xué)圍軟件甩課程堪。如MA園TL疏AB軟件兆，以滋線性囑代數(shù)毀作為拍學(xué)習(xí)MA另TL備AB的切沖入點(diǎn)例，不版僅能墨很好柿地學(xué)碎習(xí)MA贊TL擺AB軟件知，而補(bǔ)且能亭進(jìn)一胸步鞏餡固線鑄性代景數(shù)的啄基本崖知識(shí)撞和基貼本方牌法。挑選菌優(yōu)秀鬼本科掏生提講前進(jìn)陪入教喜師的遷研究斧小組炸，開亂展適礙當(dāng)?shù)狞S科學(xué)國研究終。在我洽的研攝究小套組中暴，有屈的本哪科生蜓還發(fā)撒表了SC館I論文攜。高等黨代數(shù)提教學(xué)鄙方法斥和考例評(píng)方險(xiǎn)式的姨改革艦與實(shí)蒼踐六、銹以靈傷活多蜻樣的色考評(píng)雅方式家來加邪大學(xué)雖生掌輩握高張等代響數(shù)精局髓的毫動(dòng)力磨?？荚u(píng)朱目的諸是督確促和遷檢查適學(xué)生后是否亦真正弟掌握乘了所掌學(xué)的封核心豆知識(shí)趟及其砍應(yīng)用臨能力狡。經(jīng)惕過多稈年的磁實(shí)踐嫩，我鞏們形商成了派如下勢(shì)的四配種考述評(píng)方闊式及拳其有櫻機(jī)結(jié)至合：傳統(tǒng)敞的考濤試；水平恭考試酸，考范試成賊績分扁優(yōu)、