統(tǒng)計學正態(tài)分布

統(tǒng)計學正態(tài)分布目前一頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點正態(tài)分布目前二頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點樣本有幾個特別重要的數(shù)字特征，這些數(shù)字是描述樣本頻率分布特征的，稱之為樣本特征數(shù)而在生物統(tǒng)計學中，樣本特征數(shù)使用頻繁的有以下幾個1.算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)（）。目前三頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點32.樣本方差:樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)。3.樣本標準差:樣本方差的算術(shù)平方根做。目前四頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。方差和標準差是測算離散趨勢最重要、最常用的指標。目前五頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點5正態(tài)分布的概念如果把數(shù)值變量資料編制頻數(shù)表后繪制頻數(shù)分布圖（又稱直方圖，它用矩形面積表示數(shù)值變量資料的頻數(shù)分布，每條直條的寬表示組距，直條的面積表示頻數(shù)（或頻率）大小，直條與直條之間不留空隙。），若頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間為最多，左右兩側(cè)基本對稱，越靠近中間頻數(shù)越多，離中間越遠，頻數(shù)越少，形成一個中間頻數(shù)多，兩側(cè)頻數(shù)逐漸減少且基本對稱的分布，那我們一般認為該數(shù)值變量服從或近似服從數(shù)學上的正態(tài)分布。目前六頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點當n∞，直方條面積(頻率)各自的概率然后組距０時，直方條的寬度０，直方條垂直線，各個直方條頂點間的連線構(gòu)成一條光滑的曲線，即：概率密度曲線，而曲線下(直方條)的總面積始終為１，在區(qū)間[a,b]的概率＝對應曲線段下的面積(直方條面積)。目前七頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點正態(tài)分布的概念目前八頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點正態(tài)曲線的定義：函數(shù)稱f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線式中:л=3.1416e=2.71828x----表示變量μ---表示理論平均數(shù)δ---表示總體標準差δ2—表示總體方差這個公式表示x變量區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率目前九頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點如果變量X的概率密度函數(shù)服從上述函數(shù)，則稱該變量服從正態(tài)分布。記做目前十頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點10

在σ不變的情況下函數(shù)曲線形狀不變，若μ變大時，曲線位置向右移；若變小時，曲線位置向左移，故稱μ為位置參數(shù)。目前十一頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點11在μ不變的情況下函數(shù)曲線位置不變，若σ變大時，曲線形狀變的越來越“胖”和“矮”；若σ變小時，曲線形狀變的越來越“瘦”和“高”，故稱σ為形態(tài)參數(shù)或變異度參數(shù)。目前十二頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點12012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.（3）曲線在x=μ處達到峰值(最高點)（4）曲線與x軸之間的面積為1（5）當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近.(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.目前十三頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點13而整個正態(tài)分布則應該是各區(qū)間密度函數(shù)的累計積分.

一種連續(xù)的分布不可能求某項(某點)的概率,而只能求某個區(qū)間的概率.任意兩點x1，x2且(x1x2)，X在(x1,x2)范圍內(nèi)取值的概率P,即正態(tài)分布曲線在(x1,x2)下面積目前十四頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點14標準正態(tài)分布正態(tài)分布由μ和σ所決定，不同的μ、σ值就決定了不同的正態(tài)分布密度函數(shù)，因此在實際計算中很不方便的。需將一般的N(μ，σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布。我們稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布(standardnormaldistribution)就是由正態(tài)分布密度函數(shù)得到標準正態(tài)分布密度函數(shù)：目前十五頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點15

由于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)比較復雜，積分的計算也比較麻煩，最好的解決辦法：將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，然后根據(jù)標準正態(tài)分布表直接查出概率值。

對于服從任意正態(tài)分布N（μ,σ2）的隨機變量，欲求其在某個區(qū)間的取值概率，需先將它標準化為標準正態(tài)分布N（0,1）的隨機變量，然后查表即可。目前十六頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點16正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布可以將x作一變換，令u稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差，服從標準正態(tài)分布的隨機變量這個變換稱為標準化或u變換,由于x是隨機變量，因此u也是隨機變量，所得到的隨機變量U也服從正態(tài)分布，因此，由任意正態(tài)分布隨機變量標準化得到的隨機變量的標準正態(tài)分布常稱為u分布。目前十七頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點17變換后的正態(tài)分布密度函數(shù)為：標準正態(tài)分布均具有μ=0，σ2=1的特性如果隨機變量u服從標準正態(tài)分布，可記為：u～N（0，1）目前十八頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點18標準正態(tài)函數(shù)012-1-2xy-33μ=0σ=1目前十九頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點19事實上,上面的計算已經(jīng)制成了表格,只要知道了平均數(shù)和標準差即可查出相應的區(qū)間概率.目前二十頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點20特殊區(qū)間的概率:若X~N,則對于任何實數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。m-am+ax=μ特別地有目前二十一頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。由于這些概率值很小（一般不超過5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。目前二十二頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點T分布

幾個重要概念從一個正態(tài)總體中抽取的樣本統(tǒng)計量的分布樣本平均數(shù)和樣本方差S2是描述樣本特征的兩個最重要的統(tǒng)計量如果原總體的平均數(shù)為μ，標準差為σ，那么樣本平均數(shù)抽樣總體：平均數(shù)為：標準差為：為樣本平均數(shù)抽樣總體的標準誤差簡稱為標準誤，標準誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小，反映樣本平均數(shù)與新總體平均數(shù)之間的離散程度。

目前二十三頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點23經(jīng)計算得出兩個重要結(jié)論抽樣的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù),即抽樣的抽樣平均數(shù)的標準差等于總體標準差除以樣本單位數(shù)的平方根。即目前二十四頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點244.t-分布（不要求）設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機變量x，正態(tài)分布的標準化公式為：

對于總體方差σ2已知的總體，根據(jù)公式可以知道樣本平均數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，公式為：附：服從標準正態(tài)分布目前二十五頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點25假如σ2未知，而且樣本容量又比較?。╪≤30）時：

標準化公式可變換為：它不再服從標準正態(tài)分布T分布類似于正態(tài)分布，也是一種對稱分布，它只有一個參數(shù)，就是自由度所謂自由度是指獨立觀測值的個數(shù)，應為計算標準差時所使用的n個觀測值，受到平均數(shù)x的約束，這就等于有一個觀測值不能獨立取值，因此自由度為df=n-1服從具有n-1自由度t-分布目前二十六頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點26T分布的密度函數(shù)為：T分布的計算已列成表格,應用時可根據(jù)需要由t值,自由度查概率;也可以由概率,自由度查t值.目前二十七頁\總數(shù)二十九頁\編于十七點27t分布的雙側(cè)分位點假定X~t(n)，給定：0＜＜1，如果一個數(shù)c滿足：P{|X|＞c}=，/2

oxtn(x)t/2(n)–t/2(n)/2則稱這個數(shù)c是自由度n的t分布的雙側(cè)分位點(數(shù))，記成

t/2(n)。對稱分布的雙側(cè)分位點就是上側(cè)/2分