數(shù)值課件第九章

第9章常微分方程初值問題數(shù)值解法

本章著重考察一階方程的初值問題（1.1）（1.2）只要函數(shù)適當(dāng)光滑——譬如關(guān)于滿足利普希茨(Lipschitz）條件（1.3）理論上就可以保證初值問題（1.1），（1.2）的解存在并且唯一.1所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散節(jié)點(diǎn)上的近似值.相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距稱為步長.如不特別說明，總是假定為定數(shù)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)為.首先，要對方程（1.1）離散化，建立求數(shù)值解的遞推公式.一類是計(jì)算時(shí)只用到前一點(diǎn)的值，稱為單步法.另一類是用到前面點(diǎn)的值，稱為步法.其次，要研究公式的局部截?cái)嗾`差和階，數(shù)值解與精確解的誤差估計(jì)及收斂性，還有遞推公式的計(jì)算穩(wěn)定性等問題.29.1簡單的數(shù)值方法一歐拉法與后退的歐拉法（1.1）（1.2）如果對方程（1.1）從到積分，得（1.4）右端積分用左矩形公式近似，再以代替代替得到歐拉公式（1.5）3圖8-1若初值已知，則依公式（1.5）可逐步算出歐拉法又稱折線法，幾何意義如下圖4

解歐拉公式的具體形式為取步長，計(jì)算結(jié)果見表9-1.

例1求解初值問題精確解：5如果在（1.4）中右端積分用右矩形公式近似，則得另一個(gè)公式（1.6）稱為后退的歐拉法.后退的歐拉公式與歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別，后者是關(guān)于的一個(gè)直接的計(jì)算公式，這類公式稱作是顯式的；（1.4）然而公式（1.6）的右端含有未知的，它實(shí)際上是關(guān)于的一個(gè)函數(shù)方程，這類公式稱作是隱式的.6隱式方程（1.6）通常用迭代法求解.先用歐拉公式給出迭代初值，用它代入（1.6）式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計(jì)算得然后再用代入（1.5）式，又有7如此反復(fù)進(jìn)行，得（1.7）由于對滿足利普希茨條件（1.3）.由（1.7）減（1.6）得由此可知，只要迭代法（1.7）就收斂到解.8二梯形方法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式，在等式（1.4）右端積分中若用梯形求積公式近似，并用代替代替，則得（1.8）稱為梯形方法.梯形方法是隱式單步法，可用迭代法求解.同后退的歐拉方法一樣，仍用歐拉方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為（1.4）9（1.9）為了分析迭代過程的收斂性，將（1.8）式與（1.9）式相減，得于是有式中為關(guān)于的利普希茨常數(shù).10如果選取充分小，使得則當(dāng)時(shí)有，這說明迭代過程（1.9）是收斂的.11三單步法的局部截?cái)嗾`差與階初值問題(1.1)，(1.2)的單步法可用一般形式表示為（1.10）其中多元函數(shù)與有關(guān)，當(dāng)含有時(shí)，方法是隱式的，若不含則為顯式方法，所以顯式單步法可表示為（1.11）稱為增量函數(shù)，例如對歐拉法（1.5）有12對一般顯式單步法則可如下定義.

定義1設(shè)是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，稱（1.12）為顯式單步法（1.11）的局部截?cái)嗾`差.之所以稱為局部的，是假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差.當(dāng)時(shí)，計(jì)算一步，則有所以，局部截?cái)嗾`差可理解為用方法（1.11）計(jì)算一步的誤差.13根據(jù)定義，顯然歐拉法的局部截?cái)嗾`差這里稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).顯然.14

定義2設(shè)是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法(1.11)的局部截?cái)嗾`差滿足（1.13）則稱方法（1.11）具有階精度.以上定義對隱式單步法（1.10）也是適用的.15對后權(quán)退歐躲拉法槍（1.脫6）其竭局部憶截?cái)嘣赫`差耳為這里，是1階方法，局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為.16對梯香形法少（1.晝8）有所以梯形方法（2.7）是二階的，其局部誤差主項(xiàng)為.17四改進(jìn)驕的歐窮拉公推式梯形方法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在應(yīng)用迭代公式（1.9）進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù)的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計(jì)算量很大，而且往往難以預(yù)測.為了蜻控制堡計(jì)算喬量，田通常屠只迭憐代一砌兩次裁就轉(zhuǎn)蹤蝶入下續(xù)一步抽的計(jì)算捷，這譜就簡墓化了催算法.具體地，先用歐拉公式求得一個(gè)初步的近似值,稱之為預(yù)測值，預(yù)測值的精度可能很差，再用梯形公式（1.8）將它校正一次，即按（1.9）式迭代一次得，這個(gè)結(jié)果稱校正值，而這樣建立的預(yù)測-校正系統(tǒng)通常稱為改進(jìn)的歐拉公式：18預(yù)測校正（1.畜14）或表濁示為類下列炸平均痰化形述式19例2用改由進(jìn)的疏歐拉桶方法油求解赴初值噴問題解改進(jìn)湊的歐皮拉公愈式為仍取，計(jì)算結(jié)果見表9-2.同例1中歐拉法的計(jì)算結(jié)果比較，改進(jìn)歐拉法明顯改善了精度.20219.詳3龍格-庫塔紀(jì)方法9.瓜3.詳1顯式惰龍格-庫塔丘法的除一般涼形式上節(jié)頁給出漢了顯使式單堤步法求的表杯達(dá)式其局蜓部截犁斷誤博差為(前提憶：)對歐拉法，即方法為階，若用改進(jìn)歐拉法，它可表為（3.軍1）22此時(shí)鋒增量周函數(shù)（3.勢2）它比歐拉法的，增加了計(jì)算一個(gè)右函數(shù)的值，可望.若要使得到的公式階數(shù)更大，就必須包含更多的值.從方叉程（1.圍1）等敲價(jià)的揀積分顧形式維（1.免4），申即（3.襖3）若要剩使公惠式階緒數(shù)提賺高，殖就必吸須使薄右端杯積分讓的數(shù)閃值求予積公邀式23精度仙提高催，必背然要疲增加緣瑞求積雁節(jié)點(diǎn)殊，為輪此可嚴(yán)將（3.暗3）的湖右端用求瓜積公澇式表誓示為點(diǎn)數(shù)越多，精度越高，上式右端相當(dāng)于增量函數(shù)，為得到便于計(jì)算的顯式方法，可類似于改進(jìn)歐拉法（3.1），（3.2），將公式表示為（3.厲4）其中（3.種5）24這里均為常數(shù).(3.4)和(3.5)稱為級顯式龍格-庫塔（Runge-Kutta）法，簡稱R-K方法.當(dāng)時(shí)，就是歐拉法，此時(shí)方法的階為.當(dāng)時(shí)，改進(jìn)歐拉法(3.1)，(3.2)也是其中的一種，下面將證明階.要使公式(3.4),(3.5)具有更高的階,就要增加點(diǎn)數(shù).下面只就推導(dǎo)R-K方法.259.皮3.凳2二階缺顯式R-腹K方法對的R-K方法，由（3.4），（3.5）可得到如下的計(jì)算公式（3.返6）這里均為待定常數(shù)，希望適當(dāng)選取這些系數(shù)，使公式階數(shù)盡量高.根據(jù)丸局部軋截?cái)啾钦`差類定義拼，（3.災(zāi)6）的冰局部警截?cái)嘞恼`差否為（3.工7）26這里.為得到的階，要將上式各項(xiàng)在處做泰勒展開，由于是二元函數(shù)，故要用到二元泰勒展開，各項(xiàng)展開式為其中（3.輩8）27將以軟上結(jié)餐果代晌入（3.郊7）則輝有要使公式（3.6）具有階，必須使28（3.幻玉9）即（3.剃9）的戴解是椅不唯陸一的.令，則得這樣得到的公式稱為二階R-K方法，如取，則這就頓是改粗進(jìn)歐皇拉法紫（3.鋒1）.29若取，則.得計(jì)算公式（3.庭10）稱為中點(diǎn)益公式，相肝當(dāng)于臉數(shù)值員積分如的中撐矩形塊公式.（3.態(tài)10）也叼可表尊示為30的R-K公式(3.6)的局部誤差不可能提高到.把多展開一項(xiàng)，從（3.8）的看到展開式中的項(xiàng)是不能通過選擇參數(shù)消掉的.實(shí)際上要使的項(xiàng)為零，需增加3個(gè)方程，要確定4個(gè)參數(shù)，這是不可能的.故的顯式R-K方法的階只能是，而不能得到三階公式.319.共3.胃3三階半與四破階顯法式R-打K方法要得到三階顯式R-K方法，必須.此時(shí)（3.4），（3.5）的公式表示為（3.蛾11）其中及均為待定參數(shù)，公式（3.11）的局部截?cái)嗾`差為只要將按二元函數(shù)泰勒展開，使，可32得待史定參納數(shù)滿奔足方箭程（3.濁12）這是8個(gè)未喉知數(shù)6個(gè)方扔程的哲方程徹組，輩解也珍不是有唯一孟的.可以濾得到很噸多公亮式.33滿足鏟條件索（3.吸12）的京公式姐（3.決11）統(tǒng)私稱為繁三階R-悟K公式.一個(gè)茂常見芝的公相式為此公煩式稱釀為庫塔三階禿方法.繼續(xù)袖上述帆過程岡，經(jīng)鑼過較宅復(fù)雜棕的數(shù)勞學(xué)演隊(duì)算，飲可以乒導(dǎo)出暢各種四石階龍加格-庫塔插公式學(xué)，下快列經(jīng)貓典公島式是婚其中偉常用螺的一紋個(gè)：34四階株龍格-庫塔妄方法賀的每筐一步膛需要企計(jì)算疲四次職函數(shù)覽值劣，袋可以撕證明桶其局捷部截嶼斷誤穿差為35

例3設(shè)取步長，從直到用四階龍格-庫塔方法求解初值問題解這里績，經(jīng)柄典的題四階污龍格-庫塔弱公式團(tuán)（3.陰13）具航有形式3637比較潑例3和例2的計(jì)躍算結(jié)矩果，顯然甚以龍殺格-庫塔懷方法印的精柳度為高.雖然四階龍格-庫塔方法的計(jì)算量（每一步要4次計(jì)算函數(shù)）比改進(jìn)的歐拉方法（它是一種二階龍格-庫塔方法，每一步只要2次計(jì)算函數(shù)）大一倍，但由于這里放大了步長，表9-3和表9-2所耗費(fèi)的計(jì)算量幾乎相同.龍格-庫塔允方法江的推非導(dǎo)基采于泰叨勒展季開方倍法，掀因而姜它要求所府求的蹄解具征有較丙好的頑光滑按性質(zhì).反之政，如料果解韻的光赴滑性粉差，漆那么巨，使伯用四劫階龍唱格-庫塔方法純求得數(shù)的數(shù)哄值解色，其瞎精度犧可能激反而良不如摸改進(jìn)居的歐恰拉方哄法.389.財(cái)3.雄4變步輪長的乓龍格-庫塔這方法單從棚每一辨步看爭，步訂長越把小，征截?cái)嗫痴`差雜就越襪小，墻但隨蹲著步長噸的縮甚小，灰在一棕定求村解范禁圍內(nèi)灶所要怪完成滾的步史數(shù)就苗增加叼了.步數(shù)走的增革加不殊但引山起計(jì)志算量膠的增挨大，話而且犯可能哀導(dǎo)致割舍入誤歡差的糕嚴(yán)重巨積累.因此宋同積宵分的頑數(shù)值竭計(jì)算冒一樣墨，微減分方汗程的狹數(shù)值營解法示也有個(gè)累選擇事步長平的問噸題.在選瓦擇步濃長時(shí)府，需躬要考按慮兩即個(gè)問過題：1°怎樣么衡量開和檢純驗(yàn)計(jì)渾算結(jié)緞果的歌精度顏？2°如何青依據(jù)銷所獲島得的莖精度艷處理帆步長辭？考察庸經(jīng)典饒的四宵階龍緩格-庫塔冤公式轉(zhuǎn)（3.御13）.39從節(jié)點(diǎn)