數(shù)值期末復(fù)習(xí)總結(jié)

1期末復(fù)習(xí)總結(jié)數(shù)值分析2第一章數(shù)值計(jì)算的誤差計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算中的誤差來(lái)源及種類

---模型誤差、參數(shù)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差。1.模型誤差（也稱描述誤差）模型誤差是在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，由于忽略了一些次要因素而產(chǎn)生的誤差，它是數(shù)學(xué)建模階段要考慮的誤差，不是計(jì)算方法可以解決的。2.參數(shù)誤差（也稱觀測(cè)誤差）測(cè)量已知參數(shù)時(shí)，數(shù)據(jù)帶來(lái)的誤差，它也不是計(jì)算方法能解決的問(wèn)題。

數(shù)值計(jì)算中的誤差3.截?cái)嗾`差（也稱方法誤差）截?cái)嗾`差是對(duì)參與計(jì)算的數(shù)學(xué)公式做簡(jiǎn)化可行處理后所產(chǎn)生的誤差（用有限過(guò)程代替無(wú)限過(guò)程或用容易計(jì)算的方法代替不容易計(jì)算的方法），是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容。4.舍入誤差（也稱計(jì)算誤差）舍入誤差是由于計(jì)算機(jī)只能表示有限位數(shù)字，因而只能取有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算所得的誤差，它也是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容。5絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差x—精確值

x*—近似值則稱*為絕對(duì)誤差限/誤差限

若存在一個(gè)正數(shù)*，使得工程上通常記為：x=x*

*|e*|=|x*-

x|*

絕對(duì)誤差可能取正，也可能取負(fù)

絕對(duì)誤差

越小越具有參考價(jià)值但絕對(duì)誤差

卻不能很好地表示近似值的精確程度6相對(duì)誤差相對(duì)誤差：

x*-

x

er*=

x（精確）

若存在正數(shù)r*，使得

|er*|r*，

則稱r*為相對(duì)誤差限由于真值難以求出，通常也使用下面的定義作為相對(duì)誤差

x*-

x

er*=

x*（近似）

近似值的精確程度取決于相對(duì)誤差的大小實(shí)際計(jì)算中我們所能得到的是誤差限或相對(duì)誤差限7有效數(shù)字有效數(shù)字：若近似值x*的誤差限是某一位的半個(gè)單位（即截取按四舍五入規(guī)則）

，且該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n

位，則稱x*有n

位有效數(shù)字x*

=

a1.a2···an10m

(a10)且有|x

-

x*|0.510m-n則x*有n

位有效數(shù)字設(shè)x*為x

的近似值，若

x*

可表示為等價(jià)描述8有效數(shù)字（與相對(duì)誤差限的關(guān)系）定理：設(shè)近似值x*可表示為

x*

=

a1.a2···al10m(a10)，若x*具有n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限滿足1r*

2a1

10-(n-1)反之，若x*的相對(duì)誤差限滿足

則x*至少有n

位有效數(shù)字。1r*

2(a1+1)10-(n-1)有效位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小問(wèn)題的敏感性與數(shù)值穩(wěn)定性

對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，所使用的數(shù)據(jù)集記作D，所得的解集為S，于是問(wèn)題簡(jiǎn)記為S＝f(D)。然而在實(shí)際中，使用的數(shù)據(jù)為D*且有一定誤差，從而所得解集S*＝f(D*)也將不會(huì)精確地為S(不考慮輸入誤差及公式誤差)。一個(gè)重要的問(wèn)題是：當(dāng)數(shù)據(jù)集D*很接近精確值D時(shí)，其解集是否也一定很接近精確解S呢？這就是“解對(duì)數(shù)據(jù)的敏感性”問(wèn)題。

定義：對(duì)問(wèn)題f(*)，如數(shù)據(jù)集非常接近精確值D時(shí)，相應(yīng)解集S*＝f(D*)也非常接近精確解S＝f(D)，則稱問(wèn)題f(*)是良態(tài)的，或解對(duì)數(shù)據(jù)不敏感；否則，稱f(*)是病態(tài)的，或解對(duì)數(shù)據(jù)敏感。

描述問(wèn)題的敏感性，常采用“條件數(shù)”這一概念。對(duì)不同的問(wèn)題，條件數(shù)的具體定義及計(jì)算也不盡一樣。作為實(shí)例，后面將討論求解線性方程組問(wèn)題。需要指出，這種變化并不是由舍入誤差引起，也不是計(jì)算公式造成，而是由問(wèn)題本身對(duì)系數(shù)的敏感性決定的。求高階多項(xiàng)式的零點(diǎn)問(wèn)題往往是病態(tài)的。

對(duì)于良態(tài)問(wèn)題，原則上講可以求得滿足精度要求的解。但輸入誤差不可避免，因而還應(yīng)保證所使用的算法不會(huì)擴(kuò)展誤差在計(jì)算結(jié)果中的影響，否則計(jì)算結(jié)果仍不可信。

定義：對(duì)于一個(gè)由多階段運(yùn)算組成的算法，若每經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的運(yùn)算，原有的初值誤差或舍入誤差的影響不增長(zhǎng)，則稱這個(gè)算法是數(shù)值穩(wěn)定的。

數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題某些原則

---１．使用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算方法；２．小心處理病態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；３．注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)；４．避免兩個(gè)相近的數(shù)相減，避免絕對(duì)值太小的數(shù)作除數(shù)；５．防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)．6.簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以節(jié)省計(jì)算量（秦九韶算法）7.減少有效數(shù)字的損失計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)，絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)會(huì)溢出停機(jī)，而且當(dāng)絕對(duì)值很小的除數(shù)稍有一點(diǎn)誤差時(shí)，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大，例如12第二章

插值法計(jì)算方法13插值基本概念已知函數(shù)y=f(x)

在[a,b]

上有定義，且已經(jīng)測(cè)得在點(diǎn)

a

x0

<x1

<···

<xn

b處的函數(shù)值為

y0

=f(x0)，…，yn

=f(xn)什么是插值如果存在一個(gè)簡(jiǎn)單易算的函數(shù)P(x)，使得

P(xi)=f(xi)，i=1,2,...,n則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)P(x)

的方法就稱為插值法插值節(jié)點(diǎn)無(wú)需遞增排列，但必須確?；ゲ幌嗤?！插值條件14基函數(shù)插值法基函數(shù)法通過(guò)基函數(shù)來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法就稱為基函數(shù)插值法Ln(x)

={次數(shù)不超過(guò)n

的多項(xiàng)式的全體}記n+1維線性空間設(shè)l0(x),l1(x),...,ln(x)

構(gòu)成Ln(x)的一組基，則插值多項(xiàng)式P(x)=f0l0(x)+f1l1(x)

+···+fnln(x)尋找合適的基函數(shù)確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)基函數(shù)法基本步驟15Lagrange插值Lagrange插值基函數(shù)設(shè)lk(x)是n次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿足則稱lk(x)

為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

上的拉格朗日插值基函數(shù)單項(xiàng)式基函數(shù)利用線性無(wú)關(guān)的單項(xiàng)式族：構(gòu)造n

次多項(xiàng)式：16線性中與拋?zhàn)兾锞€巡壽插值兩種噸特殊巾情形n=1線性旬插值認(rèn)多項(xiàng)植式（設(shè)一次樓插值用多項(xiàng)唱式）n=2拋物線插值多項(xiàng)式（二次插值多項(xiàng)式）17La田gr臉an著ge插值l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

構(gòu)成Ln(x)的一組基函數(shù)性質(zhì)注意l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，但與函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)lk(x)的表術(shù)達(dá)式由構(gòu)造法可得18誤差斗估計(jì)如何息估計(jì)炕誤差插值余項(xiàng)定理設(shè)f(x)

Cn[a,b](

n

階連續(xù)可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)

內(nèi)存在，則對(duì)x[a,b]，有其中x(a,b)

且與x

有關(guān),19插值符余項(xiàng)余項(xiàng)肆公式研只有合當(dāng)f(x)的高炸階導(dǎo)芬數(shù)存觀在時(shí)自才能口使用幾點(diǎn)蟻說(shuō)明計(jì)算葡插值紗點(diǎn)x上的州近似幅值時(shí)怖，應(yīng)戀選取漸與x相近甩插值瘋節(jié)點(diǎn)如果，則

x

與x

有關(guān)，通常無(wú)法確定,實(shí)際使用中通常是估計(jì)其上界20Ne搭wt吵on畫插莖值為什佩么Ne纖wt扮on插值La閱gr坡an釀ge插值訪簡(jiǎn)單臣易用粥，但慎若要喜增加而一個(gè)票節(jié)點(diǎn)兩時(shí)，值全部爭(zhēng)基函炊數(shù)lk(x)都需立重新麗計(jì)算晶，不遲太方譯便。設(shè)計(jì)警一個(gè)蠟可以犬逐次沿生成曠插值散多項(xiàng)時(shí)式的溫算法摸，即n次插羽值多雷項(xiàng)式隆可以仍通過(guò)n-1次插魯值多氣項(xiàng)式峰生成——Ne圖wt精on插值貫法解決草辦法21新的察基函慢數(shù)設(shè)插拖值節(jié)幸點(diǎn)為x0,辟…走,xn，考表慮插音值基薯函數(shù)欲組當(dāng)增辯加一牲個(gè)節(jié)累點(diǎn)xn+1時(shí)，擊只需刻加上低基函確數(shù)22Ne銳wt牛on轉(zhuǎn)插紹值此時(shí)f(x)的n次插匆值多數(shù)項(xiàng)式弟為問(wèn)題如何狠從pn-1(x)得到pn(x)?怎樣偏確定黨參數(shù)a0,間…繞,an?需要希用到差商（均懷差）23差商什么布是差薯商設(shè)函態(tài)數(shù)f(x)，節(jié)米點(diǎn)x0,壇…凍,xnf(x)關(guān)于暗點(diǎn)xi,xj的一階逆差商f(x)關(guān)于請(qǐng)點(diǎn)xi,xj,xk的二階改差商k階差截商差商亂的一浮般定核義24差商奔的性推質(zhì)k階差揚(yáng)商與k階導(dǎo)傅數(shù)之嗚間的濁關(guān)系豬：若f(x)在批[a,b]上鄭具鑼有k階導(dǎo)給數(shù)，筐則至與少存摔在一塵點(diǎn)(a,b)，使得25差商遙的計(jì)驢算如何校巧妙茅地計(jì)號(hào)算差后商差商潮表xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……?[x0,x1,…,xn]26差商盛舉例例：已知y=(x)的函義數(shù)值區(qū)表，試計(jì)舒算其派各階殃差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：差商憶表如甜下xi?(xi)一階差商二階差商三階差商-2-112531721-2743-1-1ex柔24雁.mex兔23遠(yuǎn).m27Ne巨wt悟on控插數(shù)值公式Ne統(tǒng)wt勢(shì)on插值浸公式由差眼商的雄定義棒可得12…敗…n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)28Ne負(fù)wt襲on呆插因值公式f(x)=Nn(x)+Rn(x)Nn(x)是n次多認(rèn)項(xiàng)式Nn(xi)=f(xi)，i=球0,欲1筒,白2,累…墨,n重要竿性質(zhì)Nn(x)是f(x)的n次插盛值多怖項(xiàng)式其中29Ne淡wt斤on/財(cái)La潛gr刺an貢geNe堤wt場(chǎng)on插值棋多項(xiàng)榮式與La繭gr撐an簽ge插值頂多項(xiàng)瘋式f(x)在x0,x1,基…饅,xn上的n次插杠值多貿(mào)項(xiàng)式踢是唯添一的歪！Nn(x)Ln(x)余項(xiàng)昂也相酒同將x看作諒節(jié)點(diǎn)30插值疲舉例例：已知圣函數(shù)y=戒lnx的函間數(shù)值催如下解：取節(jié)熱點(diǎn)0.支5,秒0群.6魔,練0.映4作差村商表試分鄰別用牛頓線性吐插值含和拋吼物線冶插值于計(jì)算ln糊0頭.5機(jī)4的近私似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xi?(xi)一階差商二階差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)名=-0嘆.6葵93餅1牛+1.瘦82恭30(x-0蓮.5腦)N1(0皂.5師4)甘=-0膚.6士20音2N2(x)管=-0豬.6五93餡1饒+1.腳82完30(x-0旗.5熄)-2.碧04怎50(x-0啊.5橡)(x-0襲.6集)N2(0團(tuán).5侮4)枕=-0鋤.6戒15瀉3ex姓25廊.m插值典節(jié)點(diǎn)非無(wú)需刮遞增蔬排列汗，但姻必須裁確保慢互不趣相同顧！31第三防章函數(shù)貌逼近老與曲食線擬具合計(jì)算卷方法32函數(shù)擔(dān)逼近三個(gè)去問(wèn)題問(wèn)題急一已知陷一個(gè)椒函數(shù)扮的數(shù)場(chǎng)值表xx1x2……xnyy1y2……yn能否卡找到扔一個(gè)簡(jiǎn)單揮易算的p(x)，使得p(xi)=yi。問(wèn)題疲二函數(shù)f(x)的表瘡達(dá)式挪非常世復(fù)雜掛，能域否找惱到一盈個(gè)簡(jiǎn)單緩易算的p(x)，使得p(x)是f(x)的一純個(gè)合理它的逼海近。問(wèn)題憲三問(wèn)題保一的首表中泄的數(shù)元值帶現(xiàn)有誤掃差，姿能否散找到查一個(gè)簡(jiǎn)單通易算的p(x)，可以近似倡地表熊示這符些數(shù)贈(zèng)據(jù)。插值數(shù)值逼近33賦范總線性材空間賦范垂線性燈空間C[a,b]線性容空間C[a,b]，f(x)C[a,b]1-范數(shù)：2-范數(shù)韻：-范數(shù)帖：34逼近欣標(biāo)準(zhǔn)度量p(x)與f(x)的近拜似程泊度的今常用申兩種產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)使

盡可能地小。使

盡可能地小。一致逼近平方逼近35函數(shù)豬逼近記Hn為所溫有次淚數(shù)不睜超過(guò)n的多嶺項(xiàng)式鹿組成俗的集鐵合，兇給定移函數(shù)f(x)C[a,b]，若P*(x)Hn使得則稱P*(x)為f(x)在C[a,b]上的最佳住逼近巾多項(xiàng)憑式最佳庸逼近最佳鏡一致洪逼近36函數(shù)刪逼近最小螺二乘符擬合尋找P*(x)，使齊得下陷面的版離散2-范數(shù)屋最小給定f(x)C[a,b]的數(shù)層據(jù)表xx0x1…xnyy0y1…yn最佳茂平方杯逼近37正交司多項(xiàng)掀式定義設(shè)n(x)是首項(xiàng)鉆系數(shù)共不為0的n次多悟項(xiàng)式，若則稱鑄為[a,b]上帶欺權(quán)(x)正交性質(zhì)1設(shè)指是聾正交過(guò)多項(xiàng)宵式族烘，Hn為所涌有次挽數(shù)不駱超過(guò)n的多座項(xiàng)式礙組成訊的線銜性空帽間，懂則構(gòu)成Hn的一戰(zhàn)組基稱n(x)為n次正奇交多勁項(xiàng)式38最佳焦平方機(jī)逼近設(shè)f(x)C[a,b]，0(x),1(x),,n(x)C[a,b]線性沈無(wú)關(guān)棉，令求S*(x)粉，使得S*(x)稱為f(x)在中的最佳拐平方專逼近斤函數(shù)其中39最佳煤平方毒逼近如何茅求S*(x)？對(duì)任意S(x)

，可設(shè)

S(x)=a00+a11+···+

ann(x)則求S*(x)等價(jià)于求下面的多元函數(shù)的最小值點(diǎn)k=0,1,…,n40最佳煉平方載逼近即k=0,1,…,n法方靠程G41求鍋在[0,嘗1]上的盞一次仗最佳的平方舒逼近門多項(xiàng)疊式舉例例：(教材68頁(yè)，爬例6)解：

S*(x)=0.934+0.426x42最佳哄平方聰逼近宴多項(xiàng)臨式f(x)C[a,b]在Hn中的關(guān)最佳差平方絞逼近柳，記龍為n次最生佳平步方逼燒近多側(cè)項(xiàng)式取Hn的一內(nèi)組基專：1,x,x2,,xn，則引法方徐程為HHi響lb服er飲t矩陣H嚴(yán)重絕病態(tài)招只預(yù)適合擦求低泛次最劣佳逼蘭近43正交阻函數(shù)剝作逼號(hào)近若0,1,,n正交姜，則遵法方掩程的奧解為所以k=細(xì)0,惑1啄,臘…,n誤差Be垂ss捎el不等援式44曲線律擬合能否權(quán)找到脫一個(gè)園簡(jiǎn)單洽易算局的p(x)，使減得f(x)p(x)已知f(x)在某撐些點(diǎn)寺的函總數(shù)值井：xx0x1…xm

f(x)y0y1…ym但是

m

通常很大

yi

本身是測(cè)量值，不準(zhǔn)確，即yi

f(xi)

這時(shí)不要求p(xi)=yi,而只要

p(xi)yi總體上盡可能小

45使臭最福小使鞋最悶小曲線旨擬合p(xi)yi總體醋上盡羊可能嚼小使晴最小常見(jiàn)粒做法太復(fù)雜不可導(dǎo)，求解困難最小二乘法：目前最好的多項(xiàng)式曲線擬合算法46最小轉(zhuǎn)二乘曲線搭擬合屆的最陵小二咳乘問(wèn)誦題這個(gè)碑問(wèn)題鬧實(shí)質(zhì)夕上是圈最佳魔平方斑逼近般問(wèn)題禁的離散凳形式。態(tài)可以跑將求祖連續(xù)喜函數(shù)調(diào)的最呢佳平辛方逼替近函禍數(shù)的累方法陪直接敏用于裳求解帽該問(wèn)嘆題。已知屋函數(shù)告值表澆(xi,yi)，在函巨數(shù)空訊間中求S*(x)，使妻得其中i是點(diǎn)xi處的延權(quán)。47最小偉二乘牽求解對(duì)任肥意S(x)短甲=辯sp煩an慈{0,1,,n}，可設(shè)S(x)毀=a00+a11+·籮·俯·+ann(x)則求S*(x)等價(jià)蒜于求禾下面席的多鼓元函蠶數(shù)的城最小樂(lè)值點(diǎn)k=0,1,…,n最小值點(diǎn)48最小釀二乘竹求解(k=殖0,渡1驅(qū),東…擴(kuò),n)這里并的內(nèi)念積是離散微帶權(quán)蓋內(nèi)積，即，法方富程G法方程49最小晚二乘不求解設(shè)法方程的解為：a0*,a1*,,an*,則

S*(x)=a0*

0+a1*

1+···+

an*

n(x)結(jié)論S*(x)是

f(x)在中的最小二乘解50舉例最小或二乘具問(wèn)題惰中，償如何努選擇數(shù)學(xué)巴模型很重漁要，該即如輪何選覺(jué)取函咳數(shù)空寬間胸=節(jié)sp屈an混{0,1,,n}，通竭常需醫(yī)要根籌據(jù)物殼理意趨義，疊或所昆給數(shù)柿據(jù)的寇分布寇情況桑來(lái)選警取合閘適的賺數(shù)學(xué)監(jiān)模型狼。51多項(xiàng)勻式擬份合＝Hn=焦sp她an端{(lán)1踐,x,阿..收.,xn},即i=xi,則相弟應(yīng)的嘉法方串程為此時(shí)為f(x)的n次最孔小二槐乘擬合哲多項(xiàng)騾式多項(xiàng)濤式最近小二傻乘曲匹線擬作合52舉例例：求下氣面數(shù)天據(jù)表窗的二敘次最嗚小二釣乘擬途合多謀項(xiàng)式得法方程xi00.250.500.751.00f(xi)1.00001.28401.64872.11702.7183解：設(shè)二次擬合多項(xiàng)式為解得所以此組數(shù)據(jù)的二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為(1還)若題返目中萄沒(méi)有諒給出規(guī)各點(diǎn)弄的權(quán)迫值i，默認(rèn)眨為i=廊1(2萄)眾該方戚法不饅適合n較大術(shù)時(shí)的唯情形大（暴病態(tài)發(fā)問(wèn)題義）53第四此章數(shù)值星積分炭與數(shù)涉值微舒分計(jì)算倆方法54數(shù)值百積分微積分基本公式：(3)

f(x)

表達(dá)式未知，只有通過(guò)測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來(lái)的數(shù)據(jù)表但是在許多實(shí)際計(jì)算問(wèn)題中(2)

F(x)

難求！甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。如(1)

F(x)

表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算較困難。如55幾個(gè)垮簡(jiǎn)單躺公式矩形公式梯形公式拋物線公式基本監(jiān)思想燙：56一般企形式數(shù)值堡積分慨公式沾的一斃般形忘式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)機(jī)械求積方法將定悔積分脊計(jì)算襪轉(zhuǎn)化倡成被缸積函池?cái)?shù)的函數(shù)而值的計(jì)御算無(wú)需宗求原朱函數(shù)易于梨計(jì)算兔機(jī)實(shí)豪現(xiàn)一般至地，芝用f(x)在[a,b]上的慈一些龍離散徐點(diǎn)ax0<x1<··著·<xnb上的款函數(shù)泄值的稍加權(quán)饅平均惑作為f()的近定似值凱，可黎得57代數(shù)近精度定義：如祝果對(duì)弄于所愉有次酒數(shù)不后超過(guò)m的多喊項(xiàng)式f(x)，公昂式精確忽成立燙，但烈對(duì)某蹤蝶個(gè)次予數(shù)為m+1的多妥項(xiàng)式慎不精楚確成哨立，攝則稱難該求沸積公窄式具撐有m次代丸數(shù)精雨度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精確成立;但對(duì)f(x)=xm+1不精確成立。即：(k=0,1,…,m)代數(shù)精度的驗(yàn)證方法58舉例例：試確硬定系段數(shù)Ai，使得冶下面杏的求質(zhì)積公復(fù)式具餃有盡徐可能糧高的伙代數(shù)依精度狹，并娛求出咸此求茫積公吉式的裹代數(shù)月精度六。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗(yàn)借證該子公式連對(duì)f(x)＝x3也精否確成紐奉立，唇但對(duì)f(x)＝x4不精旱確成呆立，賄所以踏此求變積公煙式具坦有3次代跳數(shù)精幼度。59插值駐型求核積公更式設(shè)求零積節(jié)俗點(diǎn)為駐：ax0<x1<··頂·<xnb若f(xi)已知都，則偽可做n次多老項(xiàng)式渠插值雹：其中插值韻型求汁積公全式誤差：其中60Ne侍wt次on皆-C劣ot烈es公式基于遼等分極點(diǎn)的銀插值槽型求呼積公蝦式積分逢區(qū)間責(zé)：[a,b]求積士節(jié)點(diǎn)擺：xi=a+ih求積催公式欲：Co絹te艙s系數(shù)Ne別wt獄on宮-C驚ot摟es求積即公式61Ne澇wt填on舞-C騙ot扒es公式n=姓1:代數(shù)總精度=1梯形望公式n=蓋2:代數(shù)退精度=3拋物毛線公緒式Si居mp汁so錯(cuò)n公式n=匙4:科特模斯綿(Co破te襖s)公式代數(shù)鄰精度=562N-餐C公式釣余項(xiàng)梯形扣公式(n賊=1厚)的余香項(xiàng)Si糕mp東so羊n公式(n猛=2士)的余組項(xiàng)Co乒te逗s公式(n耍=4硬)的余肉項(xiàng)63復(fù)合零求積對(duì)公式提高忽積分執(zhí)計(jì)算偏精度踢的常壤用兩設(shè)種方塑法用復(fù)合精公式用非等夏距節(jié)葵點(diǎn)將積會(huì)分區(qū)默間分鑼割成惡多個(gè)尾小區(qū)下間在每此個(gè)小偉區(qū)間鵝上使狂用低垂次牛哲頓－載科特膀斯求聰積公音式復(fù)合化求積破公式64復(fù)合覺(jué)梯形喘公式將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]，其膀中(i儉=0,旬1色,抵…,n)復(fù)合腥梯形疤公式余項(xiàng)65復(fù)合Si改mp莊so殿n公式復(fù)合Si碎mp鑄so霧n公式余項(xiàng)性質(zhì)：復(fù)麥合梯扎形公殼式和田復(fù)合Si民mp債so俗n公式勸都是倦收斂激的，選也都榆是穩(wěn)斃定的檢。66舉例解：例：設(shè)賭，利榮用下蝕表中屋的數(shù)堪據(jù)分友別用允復(fù)合嫂梯形某公式漠和復(fù)些合si檢mp截so油n公式都計(jì)算誰(shuí)定積躁分完，并素估計(jì)殖誤差筋。xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.84167舉例誤差軟估計(jì)68第五怠章解線矮性方沃程組腳的直茄接方沫法計(jì)算失方法69Ga析us沒(méi)s消去唉法例：潛直接話法解鋸線性浩方程維組解：70Ga放us柳s消去奴法高斯槽消去并法的怎主要顆思路?。簩⑾党頂?shù)矩象陣A化為訪上三仙角矩赤陣，顏然后臺(tái)回代靈求解理?？紤]n階線性方程組：矩陣形式=71計(jì)算LU分解利用挺矩陣凈乘法瓶直接塑計(jì)算LU分解LU=A比較悔等式色兩邊踏的第一繁行得：u1j=潮a1j比較謠等式浴兩邊飼的第一仿列得：比較品等式襖兩邊揚(yáng)的第二鹽行得：比較蛋等式剃兩邊倆的第二卵列得：(j仁=1,義…,n)(i趴=2,迷…,n)(j隱=2,醒…,n)(i喝=3,填…,n)U

的第一行L

的第一列U

的第二行L

的第二列72計(jì)算LU分解第k步：鴉此時(shí)U的前k-1行和L的前k-1列已狡經(jīng)求器出比較紐奉等式商兩邊撒的第k行得：闊（u,炒a,欣l第一炮個(gè)字樹(shù)母是k，后籠面兩宇個(gè)k，兩頌個(gè)i，兩犧個(gè)j，左炕側(cè)字漁母在職右側(cè)陡都是ij）比較竊等式眠兩邊教的第k列得：直到乘第n步，舒便可離求出么矩陣L和U的所業(yè)有元嘗素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)（u,葬a,自l第二凍個(gè)字純母是k，后唱面兩鐮個(gè)k，兩債個(gè)i，兩紛個(gè)j，左蹄側(cè)字推母在計(jì)右側(cè)赤字母梁都是ij）73LU分解本算法算法守：(LU分解)fo旋rk對(duì)=蕉1尤tonen俘dj桌=抵k,煩…,ni自=絞k+1鋒,懷…,nMa昏tl寇ab程序壘參見(jiàn)因：ex篇51翠.m運(yùn)算澆量：(n3-n)/建3為了旨節(jié)省曠存儲(chǔ)漢空間令，通趟常用A的絕把對(duì)下轉(zhuǎn)三角丟部分債來(lái)存棋放L(對(duì)角曾線元野素?zé)o避需存某儲(chǔ))倡，用A的上秒三角筆部分嗓來(lái)存候放U74例棕求下糠列矩辯陣的LU分解解:設(shè)LU分解抵算法75LU分解漲算法76LU分解滿算法77Ax=b(i=n,…,1

)(i=1,…,n)兩次公回代消過(guò)程事求出稀方程墾組的盜解：運(yùn)算搜量:n2加LU分解總運(yùn)算量：

LU分解防求解王線性岸方程股組78對(duì)稱些正定牢矩陣的三亂角分酒解－扶－Ch破ol管es嗽ky分解定理惡：設(shè)A是對(duì)旺稱矩狗陣，飄若A的所田有順資序主您子式墓都不的為0，則A可唯劇一分崇解為其中L為單及位下塌三角芳陣，D為對(duì)議角矩印陣A=LD忽LT定理稻：（Ch刻ol允es處ky分解青）若A對(duì)稱歇正定愉，則A可唯釣一分污解為其中L為下儲(chǔ)三角搬實(shí)矩巴陣，棗且對(duì)自角元拔素都熔大于0A=LLT對(duì)稱帆正定室矩陣神的Ch麥ol狂es歸ky分解79計(jì)算Ch園ol雞es門ky分解Ch偷ol閃es拐ky分解柏的計(jì)羨算直接星比較聰?shù)仁教O兩邊移的元下素計(jì)算列公式80Ch齊ol悲es光ky院分械解算法fo訴rj=笑1抗tonen兵di緞=全j+1洋,網(wǎng)…,n算法喂：(Ch廈ol扒es欣ky分解)運(yùn)算較量:n3/6+n2/2攪+n/381Ch捎ol弓es朗ky因分見(jiàn)解算法例對(duì)矩陣作Cholesky分解解82Ch海ol杠es丙ky蝕分狂解算法83向量修范數(shù)常見(jiàn)不的向千量范蝴數(shù)③匙無(wú)窮環(huán)范數(shù)熊（最思大范恥數(shù)）②2-范數(shù)①1-范數(shù)84范數(shù)庭性質(zhì)范數(shù)壓的性殖質(zhì)(1渡)連續(xù)黎性設(shè)f是Rn上的捷任意財(cái)一個(gè)答范數(shù)爽，則f關(guān)于x的每跨個(gè)分醋量是激連續(xù)籠的(2筋)等價(jià)絹性設(shè)||·||s和||陵·棉|桂|t是Rn上的駁任意耗兩個(gè)而范數(shù)降，則段存在犬常數(shù)c1和c2，使京得對(duì)銹任意告的xRn有證明紙：板話書(shū)85范數(shù)液性質(zhì)(3可)Ca墻uc薦hy星-S動(dòng)ch疼wa禮rz不等邁式(4醋)向量借序列講的收頌斂性矩陣條的譜租：(A)={A的所曲有特州征值}矩陣梯的譜凝半徑尤：86矩陣椒范數(shù)常見(jiàn)尊的矩雷陣范張數(shù)(1豈)F-范數(shù)(F握ro恩be勝ni快ou蒼s范數(shù))(2膊)算子待范數(shù)(從屬扒范數(shù)塊、誘捎導(dǎo)范別數(shù))其中||·||是Rn上的狹任意砌一個(gè)魔范數(shù)87算子尸范數(shù)常見(jiàn)應(yīng)的算苦子范緒數(shù)③賄無(wú)窮杠范數(shù)娘（行寶范數(shù)鑼）②2-范數(shù)豎（譜險(xiǎn)范數(shù)頸）①1-范數(shù)騙（列栽范數(shù)魂）證明中：③列②適板蚊書(shū)，污①丘為練劍習(xí)例：設(shè)計(jì)算88矩陣闊范數(shù)巧性質(zhì)矩陣潔范數(shù)皆的性頸質(zhì)(1般)連續(xù)椅性：設(shè)f是Rnn上的北任一堡矩陣窩范數(shù)濟(jì)，則f關(guān)于A的每韻個(gè)分程量是猾連續(xù)噴的(2咸)等價(jià)晃性：設(shè)||·||s和||具·猶|娃|t是Rnn上的婦任意團(tuán)兩個(gè)釘矩陣?yán)U范數(shù)織，則陶存在洲常數(shù)c1和c2，使眉得對(duì)社任意照的ARnn有(3梨)若A是對(duì)好稱矩甲陣，愛(ài)則89定理養(yǎng)：設(shè)||·||是Rn上的嘩任一鈴向量性范數(shù)慣，其巾對(duì)應(yīng)乖的算份子范拜數(shù)也委記為||輸·否|床|，則昏有算子折范數(shù)詳性質(zhì)算子蛾范數(shù)儉的性揀質(zhì)定理緒：設(shè)||·||是任兄一算心子范累數(shù)，券則定理儲(chǔ)：對(duì)任亞意>0,總存荷在一銜算子千范數(shù)||·||，使蓋得||勝·銜|擦|(A)厘+90穩(wěn)定們性理辭論分潮析理論補(bǔ)分析低：設(shè)又(1嗽)由支于右駱端項(xiàng)傍的擾湊動(dòng)而弓引起貓的解林的變哥化(2某)由沸于系膛數(shù)矩眠陣的謙擾動(dòng)曉而引合起的砌解的聞變化設(shè)Ax=b的條件亮數(shù)矩陣A的條件援?dāng)?shù)91穩(wěn)定文性理詞論分里析定理繭：考慮勇線性威方程碑組Ax=b，設(shè)b是精趕確的濟(jì)，A有微小的變鹿化A，此膠時(shí)的腰解為x+x，則證明撈：當(dāng)A充分昏小時(shí)龜，不者等式剩右端飾約為設(shè)結(jié)論92矩陣冊(cè)條件全數(shù)條件飛數(shù)與許范數(shù)震有關(guān)加，常扮用的熄有無(wú)窮群范數(shù)和2-范數(shù)Co筍nd窩(A)2稱為譜條同件數(shù)，當(dāng)A對(duì)稱淚時(shí)有93舉例例：計(jì)算Co白nd迎(A)和Co彈nd厚(A)2解：Co黃nd王(A)=|內(nèi)|A-1||||A||4寺104Co霧nd根(A)2=ma稠x/mi慣n4柳104A對(duì)稱鞏，且94第六籌章線性法方程蕩組的挪迭代搬解法計(jì)算肚方法95矩陣撞分裂溉迭代矩法矩陣摘分裂糠迭代檢法基切本思準(zhǔn)想Ax=bk=0,1,2,…給定一個(gè)初始向量x(0)，可得迭代格式其中

B=M-1N

稱為迭代矩陣

A=M-NMx=Nx

+

bM非奇異A

的一個(gè)矩陣分裂96收斂趣性分鋤析定理：對(duì)任音意初頑始向音量x(0各)，上栽述迭話代格柄式收各斂的庭充要認(rèn)條件召是證明響：板圓書(shū)定理：若存在算子范數(shù)||·

||，使得||B||<1，對(duì)任意的初始向量x(0)，上述迭代格式收斂。例：考慮迭代法x(k+1)=Bx(k)+f

的收斂性，其中基本來(lái)收斂金定理充分遣條件97Ja音co倍bi迭代考慮辮線性懲方程鐵組Ax=b其中A=(aij)nn非奇經(jīng)異，騰且對(duì)犧角線吃元素釘全不機(jī)為0。將A

分裂成A=D-L-

U，

其中98Ja吊co埋bi迭代k=教0,1,媽2啄,天…令M=D，N=L+U，可增得雅可問(wèn)比(J躍ac升ob獲i)迭代充方法Ja啦co諷bi迭代迭代矩陣記為：分量形式：i=1,2,…,

n，k=0,1,2,…99Ga土us朵s-忍Se俯id龍el迭代在計(jì)算時(shí)，如果用代替，則可能會(huì)得到更好的收斂效果。10胖0Ga摸us熟s-器Se字id花el迭代寫成以矩陣丙形式:此迭脾代方應(yīng)法稱累為高斯-塞德?lián)]爾(Gau扎ss滋-Sei喬de素l)迭代秩法k=餅0,1,寬2白,館…可得迭代矩陣記為：10多1SO嶼R迭代為了租得到折更好媽的收追斂效撓果，薄可在歪修正溝項(xiàng)前此乘以績(jī)一個(gè)松弛膏因子，于藥是可摸得迭冰代格坐式在G-盆S迭代歸中10迷2SO變R迭代寫成奏矩陣蒙形式:可得——SO撒R氣(Suc男ce打ss喜iv擺eOve悄r-Rel掩ax四at幟io沸n)迭代扭方法迭代矩陣記為：SO抵R的優(yōu)摘點(diǎn)：通啟過(guò)選億取合刑適的，可確獲得化更快猴的收娘斂速鑰度SO伏R的缺矩點(diǎn)：最優(yōu)赤參數(shù)叼充的選取蒸比較麗困難10圣3Ja躁co籃bi迭代癥收斂史的充要條件(J)<育1G-澇S迭代拘收斂雜的充要條件(G)<累1SO慶R迭代播收斂胞的充要條件(L)<單1收斂記性收斂啟性定購(gòu)理Ja港co饒bi迭代爬收斂乎的充分條件||J|悼|<1G-放S迭代壤收斂利的充分條件||撕G||輩<福1SO跑R迭代歉收斂壯的充分條件||L||囑<腹110內(nèi)4Ja秧co礦bi、G-書(shū)S收斂女性定理：若A嚴(yán)格鎖對(duì)角份占優(yōu)或不可茄約弱粘對(duì)角呀占優(yōu)，則A非奇瘦異定理：若A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu)，則Jacobi迭代和G-S迭代均收斂定理：若A對(duì)稱，且對(duì)角線元素均大于0，則Jacobi迭代收斂的充要條件是A與2D-A均正定；G-S迭代收斂的充要條件是A正定。10阻5SO葛R收斂拴性定理：若SO驗(yàn)R迭代槳收斂柏，則0專<<逗2。SO暴R收斂幣的必旨要條庫(kù)件定理：若A

對(duì)稱正定，且0<<2，則SOR迭代收斂。SOR收斂的充分條件定理：若A

嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可弱約對(duì)角占優(yōu)，且0<1，則SOR迭代收斂。10菌6舉例例：設(shè)志，圈給出Ja因co盈bi和G-厭S收斂妥的充蠢要條語(yǔ)件解：A對(duì)稱，且對(duì)角線元素均大于0，故(1)Jacobi收斂的充要條件是A和2D-A均正定(2)G-S收斂的充要條件是A正定A

正定2D-A

正定Jacobi收斂的充要條件是：-0.5<a<0.5G-S收斂的充要條件是：-0.5<a<110吊7舉例解法怠二：Ja片co擇bi的迭蜘代矩御陣為設(shè)是J的特血征值征，則撓由de居t(I-J)野=靈0可得(遷-a)2(鄙+2a)省=冬0Ja倘co血bi收斂漸的充石要條示件是(J)<劑1||款<1，即-0布.5岡<a<0首.510秤8收斂立速度定義：迭代息格式x(k+1割)=Bx(k)+f的平芝均收胖?jǐn)克偻攵葹闈u進(jìn)脂收斂竊速度雅為(B)越小茫，收框斂越記快10堪9第七刪章非線掉性方西程(組)的數(shù)餓值解茅法計(jì)算擋方法11距0不動(dòng)炒點(diǎn)迭色代基本摧思想構(gòu)造f(x)秒=掌0的一還個(gè)等蜘價(jià)方龜程：

(x)

的不動(dòng)點(diǎn)f(x)=0x=(x)等價(jià)變換f(x)

的零點(diǎn)11雁1不動(dòng)暮點(diǎn)迭首代具體襪過(guò)程任取舊一個(gè)充迭代翼初始艱值x0，計(jì)傳算得到吊一個(gè)奪迭代圈序列榜：x0，x1，x2，.扯.迎.，xn，.濃.傅.k=既0,判1鳥(niǎo),辦2,冷.辨..她.綿..幾何逼含義杜：求曲含線y=(x)與直廟線y=x的交距點(diǎn)11最2連續(xù)蘭性分雅析設(shè)(x)連續(xù)專，若遲收斂李，即災(zāi)，菌則即收斂利性分太析性質(zhì)：若，則不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂，且x*是f(x)=0的解；否則迭代法發(fā)散。11體3解的勻存在擦唯一碗性定理：設(shè)(x)C[a,b]且滿渠足證明榮：板博書(shū)對(duì)任坦意的x[a,b]有(x)[a,b]存在命常數(shù)0<L<1，使敗得任旱意的x,父y[a,b]有則(x)在[a,b]上存墨在唯一版的不相動(dòng)點(diǎn)x*解的束存在參唯一輪性11獻(xiàn)4收斂弱性分驗(yàn)析定理：設(shè)(x)C[a,b]且滿子足證明制：板象書(shū)對(duì)任汽意的x[a,b]有(x)[a,b]存在奇常數(shù)0<L<1，使壇得任該意的x,黨y[a,b]有則對(duì)逮任意辦初始嘉值x0[a,b]，不裂動(dòng)點(diǎn)引迭代xk+1=(xk)收斂艱，且不動(dòng)費(fèi)點(diǎn)迭破代的著收斂他性11塊5收斂廈性分殖析不動(dòng)潤(rùn)點(diǎn)迭撞代的捕收斂沈性若(x)C1[a,b]且對(duì)肆任意x[a,b]有|’(x)|L<1則上母述定億理中漢的結(jié)饅論成形立。收斂渡性結(jié)忍論表腹明：收斂吼性與史初始富值的蠢選取蜻無(wú)關(guān)全局收斂11傻6舉例例：求f(x)健=x3–x–全1=株0在區(qū)碌間[1誦,墾2]中的甚根(1)(2)ex瓣71腦.m11賄7局部夫收斂定義：設(shè)x*是(x)的不知?jiǎng)狱c(diǎn)瞇，若臘存在x*的某敞個(gè)-鄰域U(x*)=[x*-,x*+]，對(duì)漂任意x0U(x*)，不骨動(dòng)點(diǎn)它迭代xk+1=(xk)產(chǎn)生扯的點(diǎn)銷列都枕收斂鞋到x*，則昆稱該仁迭代局部溪收斂浮。定理：設(shè)x*是(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若’(x)

在x*的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且

|’(x*)|<1則不動(dòng)點(diǎn)迭代xk+1=(xk)

局部收斂證明：板書(shū)局部挑收斂11猴8收斂參速度定義母：設(shè)迭臨代xk+1=(xk)收斂鹿到(x)的不僑動(dòng)點(diǎn)x*，記ek=宵xkx*，若其中足常數(shù)C>屑0，則悉稱該露迭代搏為p階收遭斂。當(dāng)r=1時(shí)稱罵為線性但收斂，此產(chǎn)時(shí)C<證1當(dāng)r=2時(shí)稱嫌為二次燈收斂，或平方陶收斂當(dāng)r>1時(shí)稱敞為超線箱性收撿斂二分鞋法是底線性恭收斂要的若’(x*)桂殃0，則不動(dòng)菌點(diǎn)迭傾代xk+1=(xk)線性關(guān)收斂11好9收斂瘡速度定理蠟：設(shè)x*是(x)的不沿動(dòng)點(diǎn)，若(p)(x)在x*的某寇鄰域圾內(nèi)連朱續(xù)，蒜且則迭碎代xk