新教材人教A版必修第二冊第8章863第1課時二面角及平面與平面垂直的判定定理學(xué)案

.3第1課時二面角及平面與平面垂直的判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解二面角的有關(guān)概念，會作二面角的平面角，能求簡潔二面角平面角的大?。?難點、易錯點)2．了解面面垂直的定義，把握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會用定理證明垂直關(guān)系．(重點)3．熟識線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化．(重點)1．通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理，提升直觀想象、規(guī)律推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、規(guī)律推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．在生產(chǎn)實踐中，有很多問題也涉及到兩個平面所成的角．如：修筑水壩時，為了使水壩結(jié)實耐久，必需使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋环派淙嗽斓厍蛐l(wèi)星時，也要依據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成肯定的角度．問題：我們常說“把門開大些〞，是指哪個角開大一些，我們應(yīng)當(dāng)怎么刻畫二面角的大??？學(xué)問點1二面角1．定義：從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形．2．相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱，(2)兩個半平面叫做二面角的面．3．畫法：4．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q．5．二面角的平面角：假設(shè)有(1)O∈l；(2)OA?α，OB?β；(3)OA⊥l，OB⊥l，那么二面角α-l-β的平面角是∠AOB．6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°．1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點在棱上的位置有關(guān)？[提示]無關(guān)．如圖，依據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)．1．如下圖的二面角可記為()A．α-β-lB．M-l-NC．l-M-ND．l-β-αB[依據(jù)二面角的記法規(guī)那么可知B正確．]2．如下圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，那么二面角B-PA-C的大小等于________．90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小為90°．]學(xué)問點2平面與平面垂直1．定義：一般地，兩個平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直．2．畫法：3．記作：α⊥β．4．判定定理：文字語言假如一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直圖形語言符號語言l⊥α，l?β?α⊥β2．兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個平面嗎？[提示]不肯定，只有在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線才垂直于另一個平面．3．直線a，b與平面α，β，γ，以下能使α⊥β成立的條件是()A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥βD[由a∥α，知α內(nèi)必有直線l與a平行又a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β．]4．如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么圖中相互垂直的平面有()A．1對 B．2對C．3對 D．5對D[∵四邊形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB．又易證AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．]類型1二面角的計算問題【例1】如圖，三棱錐A-BCD的各棱長均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．[解]如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，那么AM⊥CD，BM⊥CD．由二面角的定義可知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角．設(shè)點H是△BCD的重心，那么AH⊥平面BCD，且點H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，那么cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即二面角的余弦值為eq\f(1,3)．求二面角大小的方法和步驟是什么？[提示]1．確定二面角的平面角的方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特別點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．2．求二面角大小的步驟(1)找出這個平面角；(2)證明這個角是二面角的平面角；(3)作出這個角所在的三角形，解這個三角形，求出角的大?。甧q\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝eq\f(1,2)AD，求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大?。甗解]由于AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以BD⊥AC．又由于BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD．由于AD?平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°．即平面ABD與平面BCD所成的二面角為30°．類型2平面與平面垂直的判定【例2】(對接教材P158例8)如下圖，在四周體ABCS中，∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求證：平面ABC⊥平面SBC．[證明](1)法一：(利用定義證明)由于∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，那么有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，那么△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點D，如下圖，連接AD，SD，那么AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，由于SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a．在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，由于SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．法二：(利用判定定理)由于SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．由于△SBC為等腰直角三角形，所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，所以AD⊥平面SBC．又由于AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)查找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直；(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，那么另一個也垂直于此平面．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如下圖，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD．[證明]連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE．由于O為AC中點，E為PA的中點，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC．由于PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．又由于EO?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．1．經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有()A．0個 B．1個C．很多個 D．1個或很多個D[設(shè)P為平面α外一點，O為平面α內(nèi)一點．當(dāng)PO⊥α?xí)r，過直線PO有很多多個平面與平面α垂直；當(dāng)PO與α不垂直時，過直線PO有且只有1個平面與平面α垂直．]2．如下圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，那么二面角B-PA-C的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°A[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的大小為90°]3．(多項選擇題)l⊥平面α，直線m?平面β，那么以下命題正確的有()A．α∥β?l⊥m B．α⊥β?l∥mC．l∥m?α⊥β D．l⊥m?α∥βAC[∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故A正確；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故C正確．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A145°[依據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，依據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°．]5．如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C