圖與網(wǎng)絡(luò)模型圖論數(shù)學(xué)建模

圖與網(wǎng)絡(luò)模型瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1736年發(fā)表了一篇題為“依據(jù)幾何位置的解決方法”的論文，有效地解決了哥尼哥尼斯堡“七橋問題”，這是有史以來的第一篇圖論論文，歐拉被公認為圖論的創(chuàng)始人。18世紀的哥尼斯堡城中流過一條河。河上游七座橋連接著河的兩岸和河中的兩個小島。當時那里的人們熱衷于這樣的游戲：一個游者怎樣才能一次連續(xù)走過這七座橋而每座橋只走一次，回到原出發(fā)點。沒有人想出這種走法，又無法說明走法不存在，這就是著名的“七橋”難題。歐拉將這個問題歸結(jié)圖論的問題。他用A,B,C,D四點表示河的兩岸和小島，用兩點間的連線表示橋。七橋問題變?yōu)椋簭腁,B,C,D任意點出發(fā)，能否通過每條邊一次且僅一次，再回到原點？歐拉證明了這樣的走法不存在，并給出了這類問題的一般結(jié)論。

1857年，英國數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)明了一種游戲，他用一個實心正12面體象征地球，正12面體的20個定點分別表示世界上20座名城，要求游戲者從任一城市出發(fā)，尋找一條可經(jīng)由每個城市一次切僅一次再回到原出發(fā)點的路，這就是“環(huán)球旅行”問題。如圖5-3所示。他與七橋問題不同，前者要在圖中找一條經(jīng)過每邊且僅一次的路統(tǒng)稱歐拉回路，而后者是要在圖中找一條經(jīng)過每個點一次且僅一次的路，能成為哈密爾頓回路。哈密頓根據(jù)這個問題的特點，給出了一種解法如圖5-4所示。在這一時間，還有許多諸如迷宮問題、博弈問題以及棋盤上馬的行走路線之類的游戲難題，吸引了許多學(xué)者。這些看起來似乎無足輕重的游戲卻引出了許多有實用意義的新問題，開辟了新學(xué)科。

運籌學(xué)中的“中國郵路問題”：一個郵遞員從郵局出發(fā)要走遍他所負責的每一條街道去送信，蚊蠅如何選怎適當?shù)穆肪€可是所走的總路程最短。這個問題就與歐拉回路有密切的關(guān)系。而著名的“貨郎擔問題”則是一個帶權(quán)的哈密爾頓回路。而著名的“貨郎擔問題”則是一個帶權(quán)的哈密爾頓回路問題。圖論的第一本專著是匈牙利數(shù)學(xué)家OKoing寫的“有限圖與無限圖的理論”，發(fā)表于1936年。從1736年歐拉的第一篇論文到這本專著，前后經(jīng)歷了200年之久，總的來講這一時期圖論的發(fā)展是緩慢的。直到20世紀中期，電子計算機的發(fā)展以及離散數(shù)學(xué)問題具有越來越重要的地位，使得作為提供離散數(shù)學(xué)模型的圖論得以迅速發(fā)展，成為運籌學(xué)中十分活躍的重要分支。目前圖論被廣泛地應(yīng)用于管理科學(xué)、計算機科學(xué)、信息論、控制論、物理、化學(xué)、生物、心理學(xué)等各個領(lǐng)域，并取得了豐碩的成果。

第一節(jié)圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識

一、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念

1.圖及其分類

自然界和人類社會中，大量的實物以及事物之間的關(guān)系，?？梢杂脠D形來描述。例如，為了反映5個隊參加的球類比賽請況，可以用點表示球隊，用點間連線表示兩個隊已經(jīng)比賽過，如圖5-5所示。又例如工作分配問題，我們可以用點表示工人與需要完成的工作，點間連線表示每個人可以勝任那些工作，如圖5-6所示。

這樣的例子很多，物質(zhì)結(jié)構(gòu)、電路網(wǎng)絡(luò)、城市規(guī)劃、交通運輸、物資調(diào)配等也都可以用點和線連接起來的圖進行模擬。

由上面的例子可以看出，這里所研究的圖與平面幾何中的圖不同，這里只關(guān)心圖中有多少個點，點與點之間又無連線，至于連線的方式

是直線還是曲線，點與點的相對位置如何，都是無關(guān)緊要的?？傊@里所講的圖是反映對象之間關(guān)系的一種工具。圖的理論和方法，就是從形形色色的具體的圖以及與他們相關(guān)的實際問題中，抽象出共同性的東西，找出其歸律、性質(zhì)、方法，在應(yīng)用到解決實際問題中去定義1.一個圖是由點集V={}和V中元素的無序?qū)Φ囊粋€集合E={}所構(gòu)成的二元組，記為G=(V,E),V中元素叫做頂點，E中的元素叫做邊。當V,E為有限集合時，G成為有限圖，否則，成為無限圖。本章只討論有限圖。

例5.1在圖5-7中：V={v1，v2，v3，v4，v5}E={e1，e2，e3，e4,e5}.其中：e1=（v1，v2）e2=（v1，v2）e3=（v1,v3）e4=（v2，v3）e5=（v2，v3）e6=（v3,v4）兩個點u，v屬于V，如果邊（u，v）屬于E，則稱u，v兩點相鄰。u，v成為邊（u，v）的端點。兩邊ei,ej屬于E，如果他們有一個公共端點u，則稱ei,ej相鄰。邊ei,ej成為點u的關(guān)連邊。用m（G）=|E|表示圖G中的邊數(shù)，用年（G）=|V|表示圖G的定點個數(shù)。在不引起混淆情況下簡記為m,n。對于任一條邊（vi,vj）屬于E，如果邊（vi,vj）端點無序，則他是無向邊，此時圖G成為無向圖。圖5-7時無向圖。如果邊（vi,vj）的端點有序，即他表示以vi為試點，vj為終點的有向邊（或稱?。?，這時圖G稱為有向圖。一條邊的兩個端點如果相同，稱此邊為環(huán)。如圖5-7中的e1。兩個點之間多余一條邊的，稱為多重邊。如圖5-7中的e4，e5。定義2不含環(huán)和多重邊的圖稱為簡單圖，含有多重邊的圖成為多重圖。以后我們討論的圖，如不加特別說明，都是簡單圖。有向圖中兩點之間有不同方向的兩條邊，不是多重邊。如圖5-8種的（a)，（b）為簡單圖，（C），(d)為多重圖。定義3每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖稱為完全圖。有n個頂點的五項完全圖及做Kn。有向圖完全圖則是指每一對頂點間有且僅有一條有向邊的簡單圖。定義4圖G=（V，E）的點集V可以分為兩個非空子集X，Y，即，，使得E中每條邊的兩個端點必有一個端點屬于X，另一個端點屬于Y，則稱G為二部圖（偶圖），又是記作G=（X，Y，E）。例如圖5-9種的（a）是明顯的二部圖，點集X:{v1，v2，v5}。（b）也是二部圖，但是不象（a）那樣明顯，改畫為（c）時也可以看清楚。

2.頂點的次定義5以點v為端點的邊數(shù)叫做點v的次，記作deg(v)，簡記d(v)。如圖5—7中點v的次d(v)=4，因為邊e1要計算兩次。點v的次d(v3)=4，點v4的次d(v4)=1。次為1的點稱為懸掛點，連接懸掛點的邊成為懸掛邊。如圖5—7中v4,v6。次為0的點稱為孤立點。如圖5—7中點v5。次為奇數(shù)的點稱為奇點。次為偶數(shù)的點稱為偶點。定理1任何圖形中，頂點次數(shù)的和等于邊數(shù)的二倍。證明由于每條邊必須與兩個頂點關(guān)聯(lián)，在計算點的次時，每條邊都被計算了兩次，所以頂點數(shù)的總和是邊數(shù)的兩倍。定理2任何圖形中，次為奇數(shù)的頂點必為偶數(shù)個。證明設(shè)V1和V2分別為圖G中奇點與偶點的集合(V1V2=V)。由定理1知由于2m為偶數(shù)，而為若干偶數(shù)之和也是偶數(shù)。所以也比為偶數(shù)，即|V1|是偶數(shù)。定義6有向圖中，以vi為始點的邊數(shù)成為點的vi的初次，用d+（vi）表示，以vi為終點的邊數(shù)為點vi的仁次，用d--（vi）表示。vi點的初次與人次之和就是該點的次，容易證明由此向圖中，所有頂點的入次之和等于所有頂點的初次之和。

3.子圖定義7圖G=（V，E），若E1是E的子集，V1是V的子集，且E1中的邊僅與V1中的頂點相關(guān)聯(lián)，則稱G1=（V1，E1）是G的一個子圖。特別的，若V1=V，則G1成為G的生成子（支撐子圖）。如圖5-10中（b）為（a）的子圖，（e）為（a）生成子圖。子圖在描述圖的性質(zhì)和局部結(jié)構(gòu)中有重要作用。4.網(wǎng)絡(luò)在實際問題中，往往只用圖來描述所研究對象之間的關(guān)系還不行，與圖聯(lián)系在一起的，通常還有與點或邊有關(guān)的某些參數(shù)指標，我們稱之為“權(quán)”，權(quán)可以代表如距離、費用、通過能力（容量）等等。這種點或邊帶有某種數(shù)量指標的圖成為網(wǎng)絡(luò)。與無向圖和有向圖相對應(yīng)，網(wǎng)絡(luò)又分為無向網(wǎng)絡(luò)和有向網(wǎng)絡(luò)，圖5-11（a），（b）是常見的網(wǎng)絡(luò)例子。（a）給出了物資供應(yīng)站vs與用戶（v1，v2，v7）之間的公路網(wǎng)絡(luò)圖，的權(quán)表示個點間的距離，從優(yōu)化角度出發(fā)存在一個尋求到各點的最短路問題。（b）是個從的管道運輸網(wǎng)絡(luò)，邊上的權(quán)表示物流的最大容量，我們要求從德客運的最大流方案。這些網(wǎng)絡(luò)模型將在各節(jié)中討論。

二、連通圖定義8無向圖G=（V，E），若圖G中某些與變得交替序列可以排成的形式，且,則稱這個點便序列為聯(lián)接的一條鏈，鏈長為K。點邊列中只有重復(fù)的點而無重復(fù)邊者為簡單鏈。點邊列中沒有重復(fù)的邊者為初等鏈。圖5-12中，定義9無向圖G中，連結(jié)的一條鏈，當是同一個點時，稱此鏈為圈。圈中只有重復(fù)點而無重復(fù)邊者為簡單圈，即無重復(fù)點也無重復(fù)邊者為初等全。圖5-12中為一個圈。對于有向圖可以類似于無向圖定義鏈和圈，初等鏈、圈、簡單鏈、圈，此時不考慮邊的方向。而當鏈上的邊方向相同時，稱為道路。圖5-13中，對于無向圖來說，道路與鏈、回路與圈意義相同。定義10一個員圖中予任意蓮兩點逆間至恒少有殃一條德鏈相櫻連，熊則稱倡此圖招為連哥通圖霸。任產(chǎn)何一夫個不躺連通農(nóng)圖都喚可以宏分為祝若干車個連醒通子臂圖，遍每一藥個稱誰為原素圖的忠一個難分圖丸。三、圖的掉矩陣委表示用矩拖陣表湖示圖柜對研截究圖元的性爸質(zhì)及桌應(yīng)用熔常常估是比貧較方煌便的疫，圖礙的矩閘陣表榨示方像法有育權(quán)矩寬陣、青鄰接跨矩陣倘、關(guān)色聯(lián)矩睛陣、而回路婦矩陣像、割始集矩斤陣等紫，這掠里只面介紹薄其中斃兩種與常用們矩陣仙。定義11網(wǎng)絡(luò)G=（V，E），倡其邊蓬，練其中?。簞t稱素矩陣A為網(wǎng)西絡(luò)G的權(quán)糊矩陣箭。例5.娛2圖5-記14所示拜的圖寄，其館矩陣月為定義12對于鍬圖G=（V，E），廊構(gòu)造肆一個榨矩陣A=，其滅中：則稱劃矩陣A為圖G的鄰贊接矩著陣。例5.扇3對圖5-就15所示核的圖餓可以摧構(gòu)造壞鄰接太矩陣A如下未：當G為無寧向圖叮時，暈鄰接機矩陣重為對秤稱矩勝陣。四、歐拉渠回路賊與中鞋國郵夜路的妨問題。1、歐抵拉回議路與葉道路定義13連通紅圖G中，展若存掏在一敞條道貿(mào)路，扎經(jīng)過陷每邊泄一次刷且僅飲一次祖，則歡稱這宣條路巨為歐物拉道住路。漏若存申在一怨條回沫路，潮經(jīng)過師每邊田一次曾且僅幼一次諷，則倚稱這積條回斤路為歐拉幟回路霸（歐雹拉環(huán)賭游）。含有揮歐拉化回路易的連伸通圖盞稱為歐拉摸圖（E圖）駐。在蹈引言除中提闊到哥挪尼斯士堡七趙橋問神題就廚是要圖在圖雷中尋限找一買條歐際拉回沒路。定理3無向償連通致圖G是歐嗎拉圖親，當導(dǎo)且僅梁當G中無割奇點。證明(必要取性)因為G是歐瞇拉圖意，則辦存在倉一條插回路扮，經(jīng)納過G中所氧有的羊邊，炕在這貸條回呆路上穩(wěn)，定禁點可阿能重批復(fù)出替現(xiàn)，礙但邊蔬不重今復(fù)。鞠對于垃圖中感的任料意頂長點，替只要蘆在回節(jié)路中膛出現(xiàn)純一次冊，必恭關(guān)聯(lián)根兩條弦邊，粱即這傲條回督路沿森一條蜘邊進薯入這眠點，持再沿逗另一筑邊離程開這輪點。剖所以挨點雖年然可涉以在石回路號中出畜現(xiàn)，笑但de邁g(諸vi)必為懶偶數(shù)掠。所瞎以G中沒瓦有基崗點。(充分嘉性)由于G中沒追有基憂點，播從任抬意點歷出發(fā)蹲，如遺從點底出發(fā)滔，經(jīng)澇關(guān)聯(lián)穩(wěn)邊如提此進紛行下雷去，資每邊倒僅取前一次勺。由吐于G圖中外點數(shù)熱有限址，所劫以這暈條路濱不能伯無休贏止地竹走下乖去，類必可蠻走回V，得斬到一樓條回郊路C。(1梅)若回痰路C1經(jīng)過G的所螺有邊陜，則C1就是潔歐拉咳回路蹄。(2福)從G中去男掉C1后得部到子鄉(xiāng)豐圖，頭則中棗每個兆定點嚴的次愉數(shù)仍侄為偶泛數(shù)。旗因為G圖時防連同礦圖，銜所以C1與點至少多有一旋個定紛點重貸合，咽在中瀉從出泉發(fā)，槽重復(fù)向前面C1的方雙法，針得到蠶回路C2。推論1無向約連通噸圖G為歐板拉圖曾，當棋且僅獄當G的邊陰集可睬劃分櫻為若濟干個奴初等掙回路拍。推論2無向遺連通偷圖G有歐搖拉道樓路，嚴當且堂僅當G中恰側(cè)有兩詳個奇巴點。根據(jù)籍定理猶來檢謊查哥劑尼斯掌堡七浙橋問罩題，燙從圖5-符2中可水以看頂?shù)絛e睡g(極A)=丘3,喬de源g(迅B)在=3鞏,d斑eg性(C純)=棄5,舍de丘g(滅D)財=3有四門個基南點，僻所以暖不是竄歐拉字圖。膚即給沾出了靈哥尼裙斯堡際七橋醫(yī)問題禾的否景定回辨答。與七畝橋問丘題類傭似的哥還有一筆資畫問飾題。給師出一帽個圖獻形，通要求皆判定緒是否驅(qū)可以族一筆閉畫出改。一喬種是巖經(jīng)過總每邊降一次終且僅滑一次仔到另糞一點練停止更。另姻一種態(tài)是經(jīng)純每邊謠一次朵且僅迅一次史回到似原開削始點貿(mào)。這撕兩種沫情況訊可分澆別用趣關(guān)于相歐拉鴿道路鄭和歐反拉回攜路的脆判定肉條件敏加以翻解決珍。定理3的證惑明方傘法實妄際上鉆給出慰了構(gòu)農(nóng)造歐絞拉回華路的險一種尚算法媽，從清圖G中任姥一點糖出發(fā)敬，找市一個賺初等蓮回路秘，再拉從圖英中去梅掉，掛在剩察余的蛙圖中磚再找任出等訪回路助，～患，一蹈直做降到圖圈中所妥有的破邊都律被包鍵含在傍這些芳初等瘦回路肥中，咱再把宮這些風回路綁連續(xù)淋起來立既得輪這個豆圖這張個圖零的歐掛拉回棋路。關(guān)于囑無向叼圖的綢定理3，可秩以直糾接推扶廣到進有向捧圖。定理4連通檔有向稍圖G是歐遙拉圖臉，當貞且僅義當它非沒個筑頂點塌的初斃次等喂于入徐次。連通逝有向文圖G有歐壘拉道湊路，耀當且掃僅當討這個估圖中尖除去蓮兩個輪頂點怒外，扇其余學(xué)每一矩個頂落點的晚初次雖等于動入次摧，且釋這兩燙個頂芳點中捉，一吐個頂楊點的劣入次僚比初街次多1，令互一個姜頂點忠的入鳥次比狗初次小少于1。2、中國既郵路幼問題一個卸郵遞螺員，觸負責兆某一籌地區(qū)修的信鏟件投刺遞。叫他每衡天要獅從郵安局出拔發(fā)，累走遍加該地叨區(qū)所戚有街浸道再培返回陽郵局兵，問予應(yīng)如汽何安板排送鎮(zhèn)信的梢路線拒可以雜使所扮走的扁總路祥程最箏短？跟這個晌問題捏是我雜國管攀梅谷征同志倉在19霸62年首豎先提毒出的傘。因搞此國帥際上諷統(tǒng)稱與為中蜘國郵善路問損題。環(huán)用圖盲論的繞語言奴描述亞：給檔定一蹤蝶個連昨通圖G，每霉遍有口非負睡權(quán)L（e），克要求橡一條鞏回路份過每步邊至攀少一騙次，姑且滿傲足總衫勸最崗小。如果G中有街奇點缸，要虎求連翁續(xù)走問過每姨邊至越少一倉次，放必然錘有些田便不綠止一壺次走輔過，快這相茶當于路在圖G中對燦某些座怎加倉一些豆重復(fù)五邊，頑時所辨得到準的新協(xié)圖嬌沒有錄奇點誰且滿予足總遲路程惹最短躺。由承于總蔬路程榜的長淘短完些全取陰決于凡所增眾加的飛重復(fù)憤邊的改長度位，所欠以中炊國郵趕路問足題也畝可以弊轉(zhuǎn)為搭如下走問題創(chuàng)：在連誦通圖G=（V，E）中策，求良一個長邊集的邊吸均變視為二慮重邊稈得到征圖陽，灰使其則滿足G*無奇蜂點，厘且最小憲。定理5已知揀圖弱無填奇點席，則乓最鋤小的細從份丟必要餅條件稀為：(1割)每條咱邊最霸多重雄復(fù)一下次。(2綁)對圖G中每墊個初燭等圈池來講寺，重包復(fù)邊誦的長酬度和輩不超覽過圈淋長的左一半咱。證明(必要瞇性)假如頓中找有某炮條邊似重復(fù)鏡次數(shù)n（n>非2），閉而外是歐護拉圖秒，那蛋么把夢這條鮮邊上時的重菊復(fù)邊勤去掉縫兩條償，則面與此演便關(guān)搶聯(lián)的僵兩個屬頂點架的次獸都減2，仍有為偶侄點故駛?cè)詾樗翚W拉煙圖，涼所以壯重復(fù)宋邊次虛數(shù)最非多為棕一次皺即可廁。其次謀，把促土的梨一個蛇初等飽圈上里原來掌重復(fù)竄的邊栗都不您重復(fù)俱，而尺原來憤不重屋復(fù)的米重復(fù)鏡一次佛，則立圈上廉沒個飛頂點欄的次斬改變0或2，也摸不改朵變歐設(shè)拉圖車的性許質(zhì)。歌因此放，如屈果圖G中存藍在某治個圈城，其肚重復(fù)兆邊的租長度泰超過劃圈長斑的一急半，乎我們沫就可猴以使富從復(fù)寇邊的供長度勺減少陰，這待與注最便小矛疑盾。(充分述性)只需革證明壘凡滿床足定矛理中旬條件通（1），念（2）的租重復(fù)射邊集疏，其漿總長屋度均賓相等陰即可革。設(shè)作邊谷集漆，盡則購中的吊邊或跪?qū)儆趧蚧驅(qū)傧抻诼裕v者必康居且槽僅據(jù)蝴其一雅。觀裁察由晝邊集炎中邊壇和與厭之相僑關(guān)聯(lián)驢的點門組成狂的圖相，批可能莊不連么通，掙但其杠每個丙分圖雁必為甚歐拉婆圖（咱因為間圖G的每起個頂景點v與狹中相吸關(guān)聯(lián)匹的重襖復(fù)邊高的數(shù)儀目與V與E2相關(guān)服聯(lián)的唐變數(shù)男的奇冒偶性丑相同汪，都品取決辮于v原來溝的次究數(shù)為運奇或劃為偶窮，重報復(fù)變削數(shù)也外必為避奇或切偶，什所以胳圖梳的點邁必為右歐點談），叢所以蹤蝶每個薄分圖戒可分僵為若嗚干個慨初等繩圈。住根據(jù)橫定理歇條件看，對陪每個釀初等蓋圈上幅均有于的歌重復(fù)嚷變長守不超敬過周材長的歲一半雹和耀的重童復(fù)邊藝長不盼超過目周長憂的一安半，輕故只終能相旗等。佩則在察中是屬于E1的邊顆總長授等于疫屬于重的慎邊總新長，貝于是決有定理箭給出球了中輛國郵歲路問浮題的鹽一種巷算法克，成真為“奇武偶點神圖上腿作業(yè)弊法”破，下面適舉例霜說明孔這個揪算法魔。例5.露4求解墾圖5-裂16所示私網(wǎng)絡(luò)暮的中妙國郵裂路問歪題。第一譽步：確定雜初始貪可行幻玉方案。先檢淘查途翅中是庭否有板奇點車，如緞無奇斷點則對已是仍歐拉披圖，白利用Fl失eu陪ry算法概找出領(lǐng)歐拉鳳回路切即可膠。如蝕有奇援點，房誠由前償知奇肚點個強數(shù)比奶為偶春數(shù)個屬，所焦以可束以兩貞兩配禽對。柱每隊巖點間絡(luò)選擇戶一條憂路，著使這是條路浮上均政為二盡重邊貸。圖5-鳥16中有纖十個才奇點秤將行，源配對櫻，連腿接哪的滅路有閣好幾蛇條，爺任取茶一條飄，如惜，老類似少地，萌對得到斤圖5-杰17，已欲是歐莫拉圖晶。對展應(yīng)這編個可榮行方拒案，呆從復(fù)汽邊的斃總長期為：第二餡步：調(diào)整此可行慕方案沾，是跌重復(fù)授邊最旦多為捆一次。去掉縱各架兩條質(zhì)，得裳到圖5-守18，重錦復(fù)邊揚總長矩度下揪降為昆：第三筐步：檢查華圖中污每個正初等圓圈是盞否滿佳足定奪理條言件（2）。盞如不擔滿足楚則進擺行調(diào)汪整，船直至幣滿足會為止。檢查智圖5-輪18，發(fā)廟現(xiàn)圈河總午長度企的長正為24，而沖重復(fù)尿邊的提長為14碗,大于扶該圈房誠總長驅(qū)度的允一半映，可場以做楚一次殃調(diào)整社，以得到清圖5-柔19，重任復(fù)邊且總長衫度下愿降為微；在檢荷查圖5-貪19，圈蟲總長蹲度為24，而葉重復(fù)覺邊長熔為13。再燈次調(diào)木整得季圖5-覺20棟,重復(fù)夫邊總有長度挖為15。檢查腿圖5-裕20，條另件（1），強（2）均絹滿足崗，得國到最鋸優(yōu)方妨案。慚途中股任意寶歐拉抖回路自即為朵最優(yōu)案郵遞謝路線帖。這種紐奉方法冬雖然塑比較盛容易現(xiàn)，但揀要檢堆查每剩個初兼等圈質(zhì)，當G的點滅數(shù)獲斧邊數(shù)長較多煎時，書運算狗量極針大。Ed方mo概ds和Jo腸hn阿so何n與19豪73年給內(nèi)出了條一種童比較市有效糟的算勿法，逗即化勤為最胞短路豬即最非優(yōu)匹筆配問魄題求優(yōu)解。第二張節(jié)樹一、或樹的罷概念文和性執(zhí)質(zhì)樹是相圖論酬種結(jié)氣構(gòu)最且簡單位但又瓶十分炊重要鍋的圖旺，在劉自然殊科學(xué)貓和社惜會的秤許多落領(lǐng)域航都有以廣泛態(tài)的應(yīng)梳用。例5.但5乒乓摔球單魚打比購賽抽文簽后笨，可嗽用圖聰來表扔示項顆羽情含況，竟如圖5-季21。例5.章6某企五業(yè)的牢組織享結(jié)構(gòu)招可用愈圖5-騎22所示預(yù)。定義14連通盟且不陸含圈右的物層象圖浙稱為響樹，攻樹中糾次為1的點節(jié)稱為晝樹葉谷，次速大于1的點經(jīng)稱為計支點怕。下面擾研究怖樹的讀性質(zhì)嫂。樹爭的性評質(zhì)的橋用下磚面定淹理標倡出。定理6圖T=翠(V，E)觸,︱V︱=n忠,︱E︱=m亂,則下剛列關(guān)澆于書倘的說奧法是橫等價蜻的。（1）T是一坊個樹白。（2）T無圈酬，且m=逢n-明1。（3）T連通少，且m=廣n-長1。（4）T無圈場，但洋每加鬼一新軌邊即妙唯一顫一個烈圈。（5）T連通年，但楊每舍堆去一陷邊就肅不連榨通。（6）T中任藥意兩叛點，堡有唯帶一鏈雕相連飲。證明:限(1察)壺→(勞2)由于T是樹頃，由靈定義竹知T是連督通的縱并且散沒有夢圈。相只需斤證明T中的嫌邊數(shù)m等于晃頂點陵個數(shù)1，即m=板n-嚷1.用歸泥納法桃。當n=秘2時，喂由于T是樹揉，所盼以兩首點間談顯然媽有且晃僅有壓一條侍邊，頌滿足m=晶n-自1.歸納禾假設(shè)n=毛k-濱1匙命糟題成亞立，紡即有k-田1個頂識點是T有k-搶2條邊烈。當n=砌k時，危因為T連通袖無圈預(yù)，k個頂翼點中進至少鴿有一隸個點崇次為1。設(shè)啦此點厘為1。設(shè)肺此點繼為u，即u為懸娃掛點飛，設(shè)疤連接u點的疏懸掛開邊為糞（v，u）。勞從T中去泡掉（v，u）邊推及u點不掃會影竿響T的連賢通性杯，得順圖，航為樹強只有k-針1個頂遵點，授所以棋有k-筆2條邊串，再邀把（v，u），u加上位去，響得知享當T有k個頂揀點時庫有k-錦1條邊彩。(2菊)騙→(歐3)只需智證明T是連扒通圖塑。反證半法。突設(shè)T不連裹通，銅可以享分為l個連食通圖個頂宅點，撫。因江為第i個分街圖是惱樹，敢所以介條珠邊，L個分晨圖共姨有邊刺數(shù)為與已懂知矛拾盾。胳所以T為連撐通圖窮。(3圾)侍→(言4)若T中有叢圈，斜設(shè)為C?？纱湟匀Q掉C中一五條邊伏，并開不影遞響T的連床通性碼。如暴果剩桿余途才中仍傍有圖璃，可御如前霞那樣犧繼續(xù)南拿去舍一條洋邊··勻··然··。像著這樣漲去掉P條邊鏡后得匯到一帶個沒席有權(quán)爹的連雙通圖救，顯采然有n-爹1-斜p條邊帖。但末既然醋是樹輕，定棟點個許數(shù)又遞與T相同嗽為n個，繭所以失中應(yīng)益有n-距1條邊鑼。矛奶盾，靈即T中無表圈。設(shè)T中u，v兩點些間無叉邊直聾接相欲連，塵由于T是連浙通圖己，所承以經(jīng)虛由其雕他點群必有恐一條少鏈連釘結(jié)u，v，且淡此聯(lián)豆是連盯結(jié)著平兩點更的唯清一鏈圓，則T+（u,滔v）后關(guān)，出篩現(xiàn)唯它一一資個圈秘。(4爭)陪→(獲5)先證配明T連通幼。若T不連鋤通，璃由定狹義至匙少存滋在兩魄點u，v之間戲無路祝可通孫。那沾么加悟上一蘋邊（u，v）也蘿不會男形成申圈，忙與已纏知矛兄盾。在證襯每舍厘去一展邊遍斜布連互通。株若T中有獻一邊稼（u，v），視舍去(u,劫v)后圖T-（u，v）仍他然連汁通，渾與（4）中鈔樹妹醋家一句新邊悔壁出默現(xiàn)唯睬一圈臺相矛擺盾。(5畫)→(6娘),否(6均)→(1棉)，均俯顯然盯，故筒定理獵證畢集。定理6中每然一個毅命題其均可壩作為晌書的監(jiān)定義漁，他酬們對泰判斷教和構(gòu)幕造樹棵將極氣為方武便。二、旦圖的含生成究樹定義15若圖G的生何成子級圖是截一棵周樹，手則稱菠該樹謎為G的生月成樹臺?；蛸N簡稱松為圖G的樹協(xié)。如圖5-刺23中（b）為到（a）圖推的生裂成樹統(tǒng)，邊為樹嘩枝，佛為弦血。定理7圖G=（V，E）有罷生成客樹的貝充分陰必要裕條件狐為G是連梳通圖奸。證明必要蓬性顯乏然。充分垂性任取膝，這規(guī)時生甚成樹T的邊桿集合銷為空掀集。漠因為G是連北通圖桑，點瘦集滴之綁間必將有變促相連餃，設(shè)爺為這倦樣的距邊，則得重復(fù)卷上述共步驟決，對足于仍能左找到于邊答滿足爽其一回端在量點集,另一享端景在溜點集拒有稍一端原在Vi之外抬，所云以中的也邊不晶構(gòu)成熔圈。戴當i=肚n時得清到即圖T=（V）,有n-邁1條邊江且無尿圈，神由定逝理6知，懇這是檢一棵推樹，喜且為滋圖G的一效棵生日成樹養(yǎng)。定理7證明減是構(gòu)喊造型猜的證癢明，趕給除宣了尋正求的錘生成敬樹的籍方法脊。這旬種方楊法就漠是在漲以給伴出的我圖G中，由每步摸選出完一條彎邊使黑它與患已選煎邊為毯構(gòu)成哈圈，訴直到臭選夠n-傍1條邊計為止夸。這首種方流法可夸為“避蔥圈法化”，嘩或“布加邊疊法”偵。按照芽邊的移懸法鞭不同鼠，找顯圖中敘生成暑樹的挨方法廳可分遣為兩劑種：（1）深退探法擠。步驟啊如下?。海鹩脴朔侍柗ㄓ?、在鉛點集V中任長取一設(shè)點v，給v已標邁號0。2、若嗽某點u已得蛾標號i，檢耕查一宿端點榜為u的各析邊，蹄另一贈端點者是否敞均已希標號食。若有巴（u，w）邊脂之w未標模號，咐則給w以標搭號為i-革1的r點，腿以r代u，重領(lǐng)復(fù)2。直物到全啞部點鮮得到釘標號弄為止握。下圖5-揮24的（a）為鴿標號招過程做，粗釣線邊苗即為襯生成時樹，逢圖5-喊24（b）即矛是生膜成樹特，也既顯示都了標中號過輔程。（2）廣令探法擾。步驟箭如下興：1、在圈點集V中任瀉取一犁點給v，給v以標沿號0。2、令狹所有烘標號堅為i的點糖集為宿中的役邊端消點是滴否均梁以標余號。扭對所濕有為歌標號接之點嗎均標光以i+隸1，記炊下這緒些邊采。3、對破標號i+掃1的點荷重復(fù)濱步驟2,直到柜全部蚊點得朽到標水號為輸止.如圖5-慕25（a）中紐奉粗線蒸邊就惜是用目廣探腳法生蘿成的倉樹，備也可魄表示騎為圖5-絹25（b）。顯然帶，圖引的生搬成樹創(chuàng)不唯返一。相對貴于避衫圈法荷，還凍有一馬種求鈴生成寨樹的板方法額。這堤種方填法是捐在圖G中任域一曲奴一個零圈，朝從圈游上任絡(luò)意舍拉棄一向條邊葉，將診這個異圈破芬掉。月重復(fù)脅這個賊步驟敘直到銷圖G中沒熊有圈刪為止嚇。例5.毛7一個弟鄉(xiāng)有9個自配然村莫，其霞間道民路如罷圖5-疤26（a）所者示，板要以農(nóng)村無為中價心建唯有線礙廣播陵網(wǎng)絡(luò)芒，如賭要求去沿道快路架全設(shè)廣永播線庭，應(yīng)義如何此架設(shè)牧？解窮本問戀題用剩上述學(xué)破解賤法，興任取窯一圈蝦從中跨去掉震邊半，再痰選圈棒，去扎掉邊贈，音以同盡樣方鉗法進渾行，抽直到汁無圈達。圖5-嫩26（b）就滋是一峽種方擔案.三、最小藏生成崇樹問夏題定義16連通哲圖G=（V，E），滋每條沸邊上肺有非及負權(quán)姑?？谝豢敏[生成暗樹所適有樹比枝上熟權(quán)的碌總合孫，成沸為這促個生柄成樹予的權(quán)奶。具漫有最賽小權(quán)茄的生張成樹亭成為摟最小粱生成靜樹，凝簡稱墻最小竟樹。許多介網(wǎng)絡(luò)叼問題篇都可沖以歸孕結(jié)為捉最小危樹問內(nèi)題。夢例如煌，設(shè)詞計長滴度最籌小的喊公路舌網(wǎng)把馬若干其城市哲聯(lián)系虜起來縱：設(shè)穴計用該料最裂省的涼電話諒線網(wǎng)慌把有無關(guān)單粗位聯(lián)衫系起俗來等寺等。下面印介紹訂最小施樹的泰兩種圖算法爸。算法1（Kr沫us概ka疤l）算食法這個吹方法園類似舉于生診成樹喂的“各避圈釘法”表，基沾本步捕驟如餐下：每步輪從未窩選的仰邊中筆選取言邊e，使竹它與吸已選芽邊不扶構(gòu)成修圈，敞且e是位愁選邊決中的半最小致權(quán)邊輪，直喉到選跪夠n-水1條邊殿為止梅。例5.干8仍用感上節(jié)籍例7，若專已知濤各條擋道路熔長度捏如圖5-竿27（a）所收示，把各邊邀上的宗數(shù)字適表示鉤距離腳，問遞如何登拉線善才能濫使用抱線最姓短?；诌@就倘是一覽個最會小生陜成樹宗問題椅，用Kr挎us破ka畜l算法辛。先將券（a）中甚邊按糞大小遼順序搖由小弱至大床排列泥：然后草按照僻邊的偏排列霞順序繼，取祥定由于司下一童個未杰選中華的最鑰小權(quán)華邊返構(gòu)成凝圈，給所以危排除昂。選贊。得資到（b）就貧是圖G的一平顆最鬼小樹債，它齊的權(quán)融是13。定理8用Kr舒us鬧ka戴l算法攏得到遮的子回圖是一喘棵生移最小產(chǎn)樹證明雷由算午法所手構(gòu)造什的子秒圖幼無回隸路且n個點瓦有n-幼1條邊只，則體由定命理6知案是圖G的生務(wù)成樹狗。下面撕證明化生成史樹族一古定是包最小扯樹。若今不是跌最小迫樹，蓄而T≠，T為最庸小樹牛。把T中的譽邊也沒按權(quán)朝由小巾到大蛛排列棵然泡后與斷中的述邊相修比較葉，若即吧也是稀樹。因為T是最疾小樹努，所氏以權(quán)化即探有：由Kr芝us府ka抹l算法辣知授，沒狗有權(quán)小的位即選邊防中最笑小權(quán)劫邊，倦所以鐘權(quán)只能隔有權(quán)(f媽)。所紋以也碼是最器小樹鍋且與細的敏公公織邊比T多一懸條，暑以古取攪代T,繼續(xù)悶討論ei工+1與e′燙i+披1是否劑相同紋，同巨前進翻行，敲易證T*是最門小樹擋。算法2（破騰圈法簡）基本垃步驟噴：（1）從捧圖G中任炊選一純棵樹陸。（2）加扛上一嬌條弦談中拼立即村生成朋一個雞圈。析去掉匯此圈夸中最屢大權(quán)盜邊，晝得到坡新樹暴，軋重復(fù)坡（2）在勁檢查留剩余你的弦碑，直箭到全紹部弦滾檢查催完畢昨為止盛。仍用握例8，先擊求出抱圖G的一伸棵生巡壽成樹深如圖5-吹28的（a），頌加以與弦,去掉息最大夸權(quán)邊擾：再騾加上誓弦,得圈,去掉捧最大湖權(quán)邊利直敲到全市部弦掀均以炮試過碗，圖5-符28（b）即經(jīng)為所雀求。算法2的根卷據(jù)為曾下述規(guī)定理定理9圖G的生壟成樹T為最移小樹抄，當泄且僅凡當對顏任一檢弦e來說哭，e是T+細e中與扔之對舌應(yīng)的煉圈。常中的辭最大錘權(quán)邊期。證闖明從憂略。四、根樹擊及其放應(yīng)用前面幟幾節(jié)搶我們它討論猜的樹土都是拼無向鋪樹，阿本屆例討論遭有向掙樹。脾。有史向樹異的根娛樹在迅計算限機科康學(xué)、倘決策稼論中艦有重配要應(yīng)夕用。定義17若一床個有妥向圖慰在不辜考慮斜邊的踐方向臨時是數(shù)一棵澆樹，比則這暑個有貓向圖卸為有向鏡樹。定義18有向花樹T，恰泊有一稈個結(jié)嘴點入哀次為0，其欲余各拿點入狗次均編為1，則漁稱T為根憑樹（堤又稱膏外向哭樹）至。根樹壓中入吐次為0的點釋稱為爽根。效根樹惹中出書次為0的點死稱為焦葉,其他愉頂點紡稱為士分枝迷點.由根襲到某澆一頂使點Vi的道僵路長護度（賭設(shè)每枝邊長每度為1），牙稱為Vi點的呈層次例。如圖5-縣29所示穩(wěn)的數(shù)化十根偷樹，祥其中為分盟枝點庫，其窄余各鼻點為戒葉，蹈頂點知的層揉次為1，頂候點帝的層胞次為3等等籠。根樹侮有廣杠泛的婦應(yīng)用碗，如倘用來倚表示貢一個牧系統(tǒng)謠的傳谷遞關(guān)甩系，價指揮塔系統(tǒng)敲的上贏、下仗級關(guān)宿系，源機關(guān)瓦中各基領(lǐng)導(dǎo)凈與被蜜領(lǐng)導(dǎo)伯關(guān)系墨以及槍社會侄中一付個家巾族胳宴臂之噴間的熊關(guān)系橋等等傾。在原計算壩機科盼學(xué)中挎應(yīng)用忌根樹強時，素還常律借用培家族脈中的艙各種健稱呼截，如粱圖5-奶29中，特稱的兒境子，塊而仍互為剩兄弟鴿等等汪。定義19在根勵樹中伶，若遲某個瓶頂點拾的次怨小于厘或等喜于m，稱閣這棵魂樹為m叉樹世。若蛙沒個臨頂點餃的出災(zāi)次恰昨好等疲于m或零逆，則蒸稱這遮棵樹柴為完澤全m叉樹沸。當m=乓2時，瞧稱為細二叉宣樹、僅完全籃二叉克樹。例如掠圖5-鳴30中（a）為彈完全祖二叉則樹、艙（b）為眉四叉漫樹。在實醬際問貢題中氣常討滿論葉薦子上緊的距潮離（吊層次起）為，這滔樣二煩叉樹T的總棟權(quán)數(shù)滿足畏總權(quán)車最小皮的二浩叉樹渣成為設(shè)最有躺二叉贊樹。氧霍夫甘曼（D疲A績Hu版ff瞎ma劑n）給閥出了盈一個刪求最還有二蹤蝶叉樹貓的算犁法，統(tǒng)所以避又稱霍夫扯曼樹。算法炸步驟蜘為：（1）將s個葉牢子節(jié)樓點按龜權(quán)由更大排買列，勁不失噸一般盼性，展設(shè)（2）將布二個臉具有蘇最小筑權(quán)的逼葉子潑合并想成一康個分艘枝點羨，其咽權(quán)為額，皆將新糟的分搜枝點吳作為惹一個貿(mào)葉子蜜。令疏若s=邀1停止找，否益則轉(zhuǎn)梯（1）。例5.熱9簡s白=6，其壯權(quán)分襖別為4，3，3，2，2，1，求最液有二散叉樹。解夾該樹邁構(gòu)造讀過程橫見圖5-賢31?？傝b權(quán)為1×給4+產(chǎn)2×最4+尺2×米3+允3×橡2+伶3×館2+稈4×注2=任38可以搜證明混此算幼法得突到的吉數(shù)位寒最優(yōu)聰二叉釀樹，明直觀歸意義量：葉何子的弟距離絨是依驅(qū)權(quán)的銷遞減振而增芒加，膏所以頓總權(quán)瓣最小辦。最優(yōu)諸二叉梯樹有圈廣泛餃的應(yīng)封用。例5.凝10最優(yōu)招檢索柄問題敞。使罰用計揭算機拔進行阻圖書營分類黃。現(xiàn)榜在五膀類圖礙書共10襖0萬冊服，其徐中有A類50萬冊俘，有B類20萬冊伶，C類5萬冊拐，D類10萬冊枯，E類15萬冊柏。問蔬如何嫌安排類分檢褲過程歲，可滔是總辰的運蝕算（無比較籌）次趴數(shù)最奧??？解體構(gòu)造珠一棵預(yù)具有5個葉珠子的亮最優(yōu)緒二叉職樹，系其葉剖子的霸權(quán)分蹦別為50，20，5，10，15，見索圖5-血32（a）所雀示，跑按（b）進趣行分毅類。蛋總權(quán)汗為：分揀肚過程叔是先混把A類50萬冊票從總褲數(shù)中乞檢出服來，喜其次速將B類20萬冊單分檢朋出來蛙，然皮后再妙將E類15萬冊躲分檢撲出來伏，最佳后再贊將D，C分檢弱。例5.振11某廠足購進統(tǒng)一批火原件看。欲擱進行阻檢驗感后按在質(zhì)量哀分為樂六等簽。已形知一勿等品訊的概口率為0.朱45，二蘭等品隊的概椒率為0.磚25，三仇等品0.阻12，四欄等品0.盞08，五候等品0.剝05，等略外品0.掛05。假轟設(shè)分顯等測懇試一論次只安能分傳辯出堆一種雪等級島，而秧每次倆測試樸的時闖間皆廈為t。問泥如何續(xù)安排段測試千過程春，是味期望畜的時爸間達揀到最抄短？解貍構(gòu)耐造一英棵具筑有6個葉制子的音最優(yōu)卵二叉遮樹的總慚權(quán)。港經(jīng)計穗算得課堂蹈練習細：在通棚訊中痕，已生知字體母A,企B,上C,柿D,勿E,覽F出現(xiàn)里的頻執(zhí)率如撲下：A:專30柱%,社B:叉25仗%,嚇C:磨20乘%,炮D:壞10厭%,E:身10淚%,腳F:慶5%求傳羊送他擱們的猶最優(yōu)挺前綴棒碼。（1）首眨先構(gòu)糞造Hu嘩ff洽ma生n樹（2）然竟后再兄構(gòu)造孟最優(yōu)漲前綴股碼第三促節(jié)加最短成路問厲題最短菠路問飄題是搖網(wǎng)絡(luò)刃理論類中應(yīng)礦用最套廣的堂問題搞之一連。許犁多優(yōu)句化問漿題可祝以使若這個遮模型避，如且設(shè)備離更新晃、管廣道鋪臣設(shè)、柔線路賭安排霉、廠敏區(qū)布玻局等侵。圖隨論方獅法比首較有束效。最短零路問認題的旅一般萌提法救如下端：設(shè)G=（V，E）為議連通引圖，慮圖中訊各邊為圖屋中任墾意兩籌點，排求一啞條道鞠路貞，使頂他是淚從的所排有道再路中扒總權(quán)駝最小漁的道有路。迎即：最小.有些斗最短門問題戰(zhàn)也可帝以使誰球網(wǎng)蹲絡(luò)中晉某指縮慧定點托到其拉余所季有結(jié)孫點的囑最短堪路，勻過求勁網(wǎng)絡(luò)港中任為意兩偷點間顛的最喪短路并。下覺面我族們介燙紹三革種算攝法，膀可分廳別用窗于求蘇解這魔幾種斃最短費路問亡題。一、Di鋸jk撓st傭ra算法本算初法由Di策jk子st頌ra于19終59年提宗出，質(zhì)可用略于求貞解指暑定兩織點燦間系的最姥短路匯，或拌從指宜定點酸到渣其余著各點栗的最邁短路少，目柄前被百認為穿是求緊無負盼權(quán)網(wǎng)株絡(luò)最圓短路唇問題沿的最船好方孔法。具算法慘的基租本思蜜想基題于以扯下原匠理：炸若序料列中是從篇的最委短路渴，則冤序列敢必沃為從襲的棵最短壇路?；净挪襟E宴：azbcde4251081263解：0次迭娃代（飄初始丘化）L(途a)=杜0,掃L(災(zāi)b)因=L(云c)=L(旱d)=L(份e)=L(電e)=術(shù),S局0=坦;一次停迭代匯：取u1枝=a慌,S嚷1=高{a頁}L(曲a)懲+w貫(a供,b)=變0+夕4=掛4<L(速b)L(學(xué)a)購+w豬(a縫,c)=架0+森2=跨2<L(覺c)L(雙a)捏+w朋(a吐,d)=翅0+稈=L(佛a)傲+w色(a械,e)=L(邁a)廟+w佳(a藏,z)=企0+際=夕;L(盯b)=負4,慘L(穿c)督=2快,L突(d釣)=L(缺e)=L(蠻z)=二次怒迭代油：取u2鍋=c籠,瞧S僵2=景{a,坡c}L(初c)專+w倡(c伯,b)=丙2+愈1=銀3<L(肅b)L(先c)奮+w竟(c解,d)=印2+惰8=便10蔑<L(底d)L(懲c)扭+w耀(c驢,e)=糞2+晉10掏=1諷2<L(棟e)L(閃c)劍+w扇(c窯,z)=鐘2+璃=L(梳b)=香3,某L(返d)獄=1毅0,補L(削e)陵=1持2,迅L(癢z)禽=三次舞迭代筆：取u3哲=b婦,龍S刻3=按{a,芽c,孩b}L(繪b)靜+w萍(b靠,d)=窯3+掃5=必8<L(粱d)L(搶b)壟+w帽(b著,e)=松3+尺=L(呢b)針+w托(b腎,z)=柏3+灑=L(親d)=足8,L(吳e)=律12踏,L(戴z)=四次肆迭代貼：取u4也=d旺,囑S哈4=世{a,嫩c,銜b,燙d}L(撇d)烤+w蔬(d嫩,e)=門8+備2=缸10繭<L(葬e)L(場d)鞋+w碑(d娛,z)=勻8+鉤6=參14營<L(繁z)L(偏e)=貫10邪,L(孔z)=悅14被;五次股迭代姓：取u5階=e掃,晴S概5=申{a,盼c,辰b,顫d,腿e}L(闊e)怒+w譜(e祥,z)=釣10江+3咸=1他3<L(神z)L(潛z)=靜13結(jié)束久：u6戶=z代,偷S半6=乳{a,斤c,售b,疑d,帥e,吼z}從a到z的最郊短路棒的長鑄度為13創(chuàng),最短仙路經(jīng)竭為{a,啞c,剛b,算d,濕e,然z}同樣芹可以絞利用Di太jk梯st綿ra算法悅計算有向赤網(wǎng)絡(luò)中最鈴短有近向路踐的長武度，篩基本膽步驟加如下燃：求出顏點1到其腦余各兆頂點澇的最兇短有絹向路仁的長倦度？321455318274Di疲jk袖st經(jīng)ra算法:課堂隱練習1：利治用Di悄jk概st園ra算法賴，算物出圖階中，v1到v5的最辣短路劃的長災(zāi)度？v1V2V3V4V5431027815選址釘問題：已如知某至地區(qū)五的交援通網(wǎng)淹絡(luò)如更圖5-炸39所示牢，其饅中點齊代表屈居民菜區(qū)，悠邊表事示公攜路，循為小總區(qū)間漫公路先距離毯，問渾區(qū)中嶼心醫(yī)酸院建賀在哪針個小槍區(qū)，姑可使尺距離肺醫(yī)院聞最遠恭的小軟區(qū)居破民就燒診時躍所走昂的路淋程最摧近?V1V3V4V6V7V2V5602030251520183015解：孔實際碧是要摔求出柴圖的梨中心蒸，可抬以化市為一肯系列誼求最庫短路此問題斬。先換求出v1到其脹他各遠頂點附的最凈短路脖長dj,令D(臉v1濱)=搜ma世x{犁d1繼,d廁2,杠…,帝d7勻},表示糧若醫(yī)旦院建開在v1漿,則離槐醫(yī)院摔最遠壓的小趕區(qū)距跨離為D(份v1堡),再依號次計鬼算v2慚,v停3,浙…,聯(lián)v7到其雙余各銅點的參最短延路，襯類似批求出D(杏v2滋),跳D(命v3滴),致…D嬌(v念7)適,D(燒vi籃)(因i=1壤,2嫩,…輪,7栽)中最蜻小者族即為粉所求暢，計竭算結(jié)斜果見巷表5-膨3。由于D(同v6面)=旺48最小吳，所羞以醫(yī)雕院健巡壽在v6，此禁時離友醫(yī)院危最遠域的小堆區(qū)v5距離題為48。由于D(州v6簡)=蓋48最小哈，所沿以醫(yī)揚院健失在v6，此刻時離皂醫(yī)院溝最遠詞的小羞區(qū)v5距離螞為48。v1v2v3v4v5v6v7D(vi)V1030506393456093V2300203363153063V3502002050254050V4633320030183363V5936350300486393V6451525184801548v7603040336315063Fl爐oy謙d算法某些香問題憑中，肚要求臂網(wǎng)絡(luò)堆上任圖意兩收點間布的最駐短路兔，如禾例15就是學(xué)這樣木。這旺類問擴題可蠻以用Di廢jk炮st賽ra算法所一次搜改變絨起點率的辦毀法計揪算，鑼但比拜較繁定瑣。勻這里盒介紹爆的Fl頭oy辱d方法斯（19活62）可香直接跨求出鋼網(wǎng)絡(luò)握中任憑意兩豈點間鵝的最部短路從。為計夜算方緊便，許令網(wǎng)衰絡(luò)的術(shù)權(quán)矩橡陣為的距灘離。其中算法我基本貞步驟朽為：首先磁介紹吳兩種勿矩陣賢的運明算：求圖壯中任維意兩費點間放的最挑短有飾向路湖的長卵度？V1V6V2V3V5V4127213316課堂昂練習2：利裕用Fl熟oy亂d算法摔，算深出圖坡中任住意兩音點之耳間的四最短解有向薦路的穗長度?1236455334567212最大塞匹配約問題鑄：考慮淘工作利分配撫問題字。有n個工淚人，m件工剩作，接每個毅工人明能力牙不同桑，各召能勝越任其繳中某恐幾項是工作旨。假王設(shè)每草件工忽作只積需要獄一人鞋做，勇每人想只做意一件簡工作潮，怎密樣分例配才恐能盡差量的附工作邁有人蜓做，裳更多區(qū)的人謙有工垂作？這個畢問題管可以那用圖姓的語助言描殖述，輔如圖5-普47。其新中x1哭,x耽2,汪…,xn表示盡工人,y襖1,賣y2疑,…戒,ym表示粱工作太，邊啄（xi務(wù),y按j)表示評第i個人姐能勝補任第j項工妹作，急這樣節(jié)就得喚到了移一個念二部柔圖G，用壘點集X表示{x總1,室x2錢,…xn}，點翁集Y表示{y李1,幣y2浸,…鍋,ym}飛,二部柳圖G=詳(X尿,Y程,E鵝)。上胡述的躺工作閉分配浸問題芽就是兇要在辭圖G中找垃一個矛邊集E的子儲集，景使得遭集中末任何蔑兩條蔬邊沒痰有公令共端啦點，材最好蛋的方認案就牛是要爛使此炒邊集咸的邊共數(shù)盡孤可能壺多，喘這就莖是匹配曾問題。定義23二部鐵圖G=鬼(X塘,Y識,E黃)，M是邊揉集E的子槳集，吧若M中的旅任意似兩條球邊都野沒有趟公共浸端點查，則溝稱M為圖G的一倍個匹它配（帽也稱溝對集贈）。M中任殺意一雖條邊眨的端宜點v稱為私（關(guān)潛于M的）廉飽和裕點，G中其奸他定威點稱奶為非服飽和笑點。若不獻存在害另一舊條匹亂配捉，則謀稱M為最涂大匹書配。下面噴給出Di想jk仿st欣ra算法差基本羨步驟堵，采上用標己號法筋。可遼用兩水種標裕號：T標號衛(wèi)與P標號姓，T標號揀為試荷探性從標號逢，P為永有久性烏標號飽，給勞點煉一個P標號舅時，踏表示畝從握點的初最短臉路權(quán)挨，券點的因標號喜不再乏改變常。給別點潑一個T標號遮時，遺表示肚從娃點的康估計羞最短追路權(quán)跑的上股界，錫是一益種臨陪時標拌號，孤凡沒黃有得趴到P標號術(shù)的點叛都有T標號螞。算騾法每護一步央都把香某一缺點的1步就做可以旗得到咱從始囑點到練終點起的最始短路馳。步驟藝：（1）給襪。（2）若們點謎為剛傾得到P標號校的點險，考倚慮這稻樣的渡點屬于E，且描的T標號灑進行升如散下的濾更改秀：（3）比溫較所梯有具礎(chǔ)有T標號近的點全，把傲最小視者改隔為P標號高為P標號抗，即:當存挺在兩她個以厚上最付小者聲時，烘可同煎時改喜變?yōu)镻標號藍。若更全部港均為P標號浪則停捎止。仰否則磨用轉(zhuǎn)回邀（2）。例5.等12用Di列jk滿st姥ra算法革求圖5-屑34中點的斤最短卷路。解（1）首常先給,給其頁余所獎有點T標號.（2）由蜘于馬邊吸屬于E，且席為T標號超，所價以修勁改這型兩個棟點的彈標號寨：（3）比誓較所見有T標號饑，累最舌小，罷所以班令絡(luò)。（4）歉為四剛得遠到P標號豪的點色，考議察邊的端橫點乖。（5）比宣較所洗有T標號需，神最身小，喘所以鏡令（6）考輝慮點叉，鈔有（7）全喬部T標號潔中，（8）考使察向，（9）全堡部T標號橡中，（10）考謝察跡，（11）全蒜部T標號戚中，影。（12）考辯察（13）全蓬部T標號乖中，赤。（14）考距察望，（15）因四只有網(wǎng)一個T標號缺，計測算結(jié)享束。全部仿計算芹結(jié)果籃見圖5-尊35，，同時揉得到法點腰到其駛余各竟點的宮最短碧路。需要饒?zhí)嵝阉棺x者縫注意東的是摟，這輛個算蛙法只誤適用池于全辰部權(quán)堡為非蘆負情闖況，末如果乖某邊章上權(quán)奪為負先的，富算法宮實效頸。這損從一吉個簡足單例被子就蒸可以舉看到旦，圖5-偏36中，掏我們?nèi)Π碊i早jk斬st瓶ra算法綢得的最衛(wèi)短路準長顯守然是甩錯誤膨的，悅從凳只有3二、悲逐次右逼近搖算法本算漠法可摧用于史網(wǎng)絡(luò)鑰中有登大負訴權(quán)的膽邊時卷，求兼某指橫定點攜到肌網(wǎng)絡(luò)異中任匙意點映的最粥短路返。算慕法的柜基本邪思路僚是基檢于以碎下事農(nóng)實：武如果的最概短路竊總沿遇著該請路從船然后晝再沿肯邊盤的這經(jīng)條路懇必然屑也是的最咳短路蝴長，妖則必輛有下戀列方蓬程:用迭吹代方釣法解崗這個才方程腎。開蜘始時辯令即用住的宣直接順距離兔作初惰始解慈，若。從靠第二肝步起殲，是選用迭襖代公倉式求尺，當繞進行蜘到第t步，煤若出啟現(xiàn)則停墾止，塔點倍到各伶點的瘦最短濱路長累。例5.號13求圖5-駱37中般點到袋各點口的最盛短路濁。解闖初始壤條件拌：第一粥輪迭眉代：類似遲可得槳：可以株看出催最伍短路史長。負全部肆計算樂過程敏可用喚表5-貪1表示喇。迭代產(chǎn)進行梳到第絲式六步通時，政發(fā)現(xiàn)周則停柜止。賺表中篩最后鉗一列好數(shù)字糞分別單表示杏點牛到各薯點的摟最短夢路長掙。如果也需要斬知道伴點落到各權(quán)點的稿最短鴿路徑己，可霜以采勝取“放反向?qū)ё粉櫲肌钡匿J辦法刻。如涉需要組求出獵點午的最都短路羊徑，油已知而協(xié)在表肌中尋氧求滿足郵等式毯的。再考挽察貢，由逢于考察考察蕩。由于芝遞推劇公式社中的街，笛實際搜意義慢為從啟點念、至銜多含精有k-添1個中末間點蒼的最仍短路劑權(quán)，淚所以拘在含帆有n各點犧的圖錫中，址如果陰不含爸有宗系權(quán)小掃于零違的回屢路，居求從廈點肆到任宅一點克的最呈短路死權(quán)，竊用上阿述算鍵法最罰多經(jīng)殲過n-面1次迭陳代必置定收燦斂。愈顯然頑如果序圖中藍含有異宗權(quán)闖小于鞠零的雨回路蹲，最主短路據(jù)權(quán)沒拴有下籠界。最短京路問耳題在煩圖論映應(yīng)用榮中處任于很膏重要井的地梨位，恰下面煮舉兩辮個例羽子。例5.祝14設(shè)備袍更新腔問題鞏。某族工廠紅使用宅一臺首設(shè)備疑，每梅年年炎初工價廠都爛要作酬出決懲定，括如果炭繼續(xù)連使用豬舊的珠，要倦付維搬修費烈；若素購買槍一臺迅新設(shè)烈備，擦要付亂購買鏡費。聚試制跌定一綢個5年的辜更新挺計劃惑，使自總支丹出最定少。若已盞知設(shè)柱備在支各年喊的購躲買費棍，即丙不同盯機器坡役齡往時得仍殘值扔與維秧修費萬，如嫌表5-戴2所示臘。解屈把這麥個問擠題化比為最筆短路蜓問題犯。用點譯年年凍初購號進一查臺新喝設(shè)備信，需范設(shè)一連個點辦，誘表示圍第五野年年叛底。邊謊表示活第i年初爬購進會的設(shè)怨備一瀉直使秀用到辱第j年年墳初（趨即第j-慘1年年絡(luò)底）帖。邊礦上的椅數(shù)字炒表示援第i年初扒購進孟設(shè)備帝，一擇直使擾用到濾第j年初勸所需量支付侍的購擦買、伴維修巷的全被部費千用（窄要由路表5-溪2計算炒得到晃）。嶺例如鴿邊影