雙曲線及標準方程

雙曲線及其標準方程攸縣三中高二數(shù)學組1、橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|=2c>0)的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的焦點在x軸上:焦點在y軸上:(a>b>0)標準方程:2、定義中2a與2c的大小關系如何?3、橢圓標準方程中字母a、b、c的關系如何?4、引入問題：差等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的實驗幾個問題：(1)、在實驗1中，|MF1|與|MF2|哪個大？(2)、點M與F1，F(xiàn)2的距離之差是|MF1|-|MF2|？還是|MF2|-|MF1|？(3)、如何統(tǒng)一兩距離之差？絕對值上面兩支曲線合起來叫做雙曲線。①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<2c；oF2F1M平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線。（2）a>0

；看看動畫吧的絕對值（小于︱F1F2︱）注意定義:★討論a與c的大小關系雙曲線(1)c>a>0:動點M的軌跡是什么？(2)c>a=0:動點M的軌跡又如何？(3)c=a:動點M的軌跡又是如何？(4)c<a:動點M的軌跡又是如何？線段F1F2的垂直平分線兩條射線(以F1、F2為端點,方向指向F1F2外側(cè)）軌跡不存在(違背三角形邊的關系)。練習:下列方程表示什么曲線？(1).雙曲線(2).雙曲線左支(5).以F1、F2為端點,方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線。(4).無軌跡(3).兩點F1(-4,0)、F2(4,0)的中垂線F2F1MxOy

如圖，建立直角坐標系x0y,是以F1、F2所在直線為x軸，以F1、F2的中垂線為y軸。

設M(x,y)是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c>0),則F1(-c,0),F2(c,0),又設點M與F1、F2距離的差絕對值等于常數(shù)2a(a>0).由定義可知，雙曲線就是集合

因為

所以得化簡整理得2c>2a,所以由雙曲線的定義可知〉0，令,其中b>0,代入上式整理，得(a>0,b>0)F2F1MxOyOMF2F1xy雙曲線的標準方程問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？練習：寫出以下雙曲線的焦點坐標F(±5,0)F(0,±5)F(±c,0)F(0,±c)正項定焦點定義方程與焦點

a,b,c的關系F(±c，0)F(±c，0)a>0,b>0,但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系：||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F(0，±c)F(0，±c)最大最大例1已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.∵2a=6,∴a=3所以所求雙曲線的標準方程為：根據(jù)雙曲線的焦點在x軸上，設它的標準方程為：解:∴b2==52-32=16又∵c=5若改題：若兩定點為|F1F2|=10則軌跡方程如何？（1）.當F1，F(xiàn)2在x軸上時，（2）.當F1，F(xiàn)2在y軸上時，課堂練習求適合下列條件的雙曲線方程(1)a=4,b=5,焦點在y軸上。(2)a=3,c=5課堂練習求適合下列條件的雙曲線方程(3)與雙曲線有相同焦距，雙曲線上一點P到F1、F2的距離之差的絕對值為4。(4)與雙曲線的焦點相同，b=3.練習1:如果方程表示雙曲線， 求m的取值范圍.分析:方程表示焦點在x軸的雙曲線時，則m的取值范圍_________________.變式:練習2:證明橢圓與雙曲線x2-15y2=15的焦點相同.上題的橢圓與雙曲線的一個交點為P，焦點為F1,F2,求|PF1|.變式:|PF1|+|PF2|=10,分析:例2:已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為求雙曲線的標準方程.

解：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為：

因為點P1、P2在雙曲線上，所以點P1、P2的坐標適合上述標準方程，于是得方程組：解得：a2=16,b2=9.

故所求雙曲線的標準方程為：待定系數(shù)法

例3：一嫌炮彈己在某誦處爆外炸，憲在A處聽抬到爆載炸聲介時間只比在B處晚2s,（1）爆炸呢點應躁在什符么樣生的曲平線上存？（2）已親知A、B兩地詞相距80塘0m，并且料此時霜聲速構(gòu)為34降0m/優(yōu)s，求曲也線的方程.解:（1）由墻聲速參及A、B兩處飯聽到效爆炸配聲時間史差，可障知A、B兩處括與爆今炸點診的距逮離的庭差，廣因此巡壽爆炸食點應迎位于啦以A、B為焦礙點的搞雙曲耐線上屯。因為煉爆炸粉點離A處比棗離B處更賊遠，鎮(zhèn)所以階爆炸替點應怕在靠近B處的一者支上.（2）如津圖8—眠14，建絨立直資角坐呢標系xO卸y，使A、B兩點作在x軸上陸，并拾且點O與線癢段AB的中蘇點重計合.設爆綿炸點P的坐閘標為踢（x,y），則:即2a=車68放0,a=埋34刺0，又|AB梨|=允80府0弦∴2c=答80洗0,c=熱40秤0,b2=c2－a2=皺44每40錄0.∵|摘PA駐|-診|P段B|柔=6疤80婚>0撓|,∴x>嫌0.所求竊雙曲遇線的律方程意為：(x>盡0)想一矮