高中數(shù)學(xué)人教高中必修第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)

問題：(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，所支付的錢p是關(guān)于w的函數(shù)；

(2)如果正方形的邊長為a，面積為S,這里S是關(guān)于a的函數(shù)；(3)如果正方體的邊長為a,正方體的體積為V,這里V是關(guān)于a函數(shù);

(4)如果一個正方形場地的面積為S,這個正方形的邊長為a，這里a是關(guān)于S的函數(shù);

(5)如果某人t秒內(nèi)騎車行駛了１ｋｍ,他騎車的平均速度是v

，這里v是關(guān)于t的函數(shù).

探究一：冪函數(shù)的概念思考1：上述5個問題中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系分別是什么？思考2：上述5個問題中的函數(shù)有什么共同特征？

5個函數(shù)式的共同特征：

(2)底數(shù)是自變量；(1)指數(shù)是常數(shù)；(3)函數(shù)式前的系數(shù)都是1；探究：合作學(xué)習(xí)(4)形式都是，其中是常數(shù).冪函數(shù)定義：

一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，

是常數(shù)．(2)底數(shù)是自變量；(1)指數(shù)是常數(shù)；(3)函數(shù)式前的系數(shù)都是1；(4)形式都是，其中是常數(shù)（任意實(shí)數(shù)）.強(qiáng)調(diào)四點(diǎn)：思考3：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的區(qū)別是什么？

式子

名稱

a

xy

指數(shù)函數(shù):y=a

x

冪函數(shù):y=x

a

底數(shù)指數(shù)指數(shù)底數(shù)冪值冪值判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點(diǎn)看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)練習(xí)：在函數(shù)y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為(

)A.0B.1C.2D.3y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1和y＝x0=1(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個點(diǎn)(0,1),所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).B探究二：冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)思考1.我們在前面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，用了怎么樣的思路？研究冪函數(shù)的性質(zhì)呢？思考2.畫出函數(shù)(1)y＝x(2)y＝x2

(3)y＝x3(4)(5)y＝x－1的圖象.

我們研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)時，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)。由具體到一般，要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。研究冪函數(shù)的性質(zhì)也是如此。x-3-2-1012..941014...x-3-2-1012

x0124

x-3-2-1123公共點(diǎn)

單調(diào)性奇偶性值域定義域y=x-1y=x1/2y=x3y=x2y=x

奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,+∞){x|x≠0}［0,+∞)(-∞,+∞)(-∞,+∞){y|y≠0}［0,+∞)［0,+∞)x∈[0,+∞)時,增x∈(-∞,0]時,減增增增x∈(0,+∞)時,減x∈(-∞,0)時,減思考3：仔細(xì)觀察函數(shù)圖象，你能填寫下面表格的內(nèi)容嗎？（1，1）（0，0）當(dāng)a為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)a為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù).4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)思考4：從這五個具體的函數(shù)圖象中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？X=1冪函數(shù)圖象在第一象限的分布情況：＝11.所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且函數(shù)圖象都通過點(diǎn)(1,1).2.a>0,則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,0),(1,1)并在[0,+∞)上為增函數(shù).3.

a<0,則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,1),并在(0,+∞)上為減函數(shù)，一定不過點(diǎn)（0,0）.4.冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè)，a越大圖像越在上方，在y軸與直線x=1之間正好相反。=0思考4：從這五個具體的函數(shù)圖象中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？解（1）上是增函數(shù)，1.1<1.4∴

(4)取中間量，∵函數(shù)上是減函數(shù)

∴

∵函數(shù)上是增函數(shù)，

∴

（3）上是增函數(shù)，0.5<3∴冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用((

4;

)23505.9

)(.

1

1例3

比較下列各組中值的大小，并說明理由

3110.5.0)10

,)54)(

1.4,1.43(2;41,.1）（（2）上是增函數(shù)，,且1<1.5<1.7∴比較冪值大小關(guān)鍵是看指數(shù)相同還是底數(shù)相同，若指數(shù)相同利用冪函數(shù)的單調(diào)性；若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；若底數(shù)，指數(shù)都不相同，構(gòu)造中間量。規(guī)律總結(jié)證明任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，4注意：若給出的函數(shù)是有根號的式子，往往采用分子有理化的方式。當(dāng)堂測·查疑缺1.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(

)A.y＝ B.y＝x3C.y＝2x D.y＝x－1C3.已知函數(shù)

是冪函數(shù),并且是偶函數(shù)，求m的值。4.比較下列各組中兩個值大小2.已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)

，則f(4)的值等于(

)2.已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)

，則f(4)的值等于(

)D3.已知函數(shù)

是冪函數(shù),并且是偶函數(shù)，求m的值。4.比較下列各組中兩個值大小小結(jié)：一、冪函數(shù)的定義形如y=xα的函數(shù)叫冪函數(shù)。以自變量x為底數(shù)；指數(shù)為常數(shù)；自變量x前的系數(shù)為1；只有一項。二、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別：

看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)若x是指數(shù)，則它是指數(shù)函數(shù)，如y=2x

若x是底數(shù)，則它是冪函數(shù)，如y=x2１.所有冪函數(shù)的圖象都通過點(diǎn)