高中數學人教高中必修集合與函數概念函數的單調性

學習目標1、理解函數的單調性及其幾何意義，能運用函數圖象理解和研究函數的單調性．(重點、難點)2、會用函數單調性的定義判斷(或證明)一些函數的單調性．(難點)3、會求一些具體函數的單調區(qū)間．(重點)德國心理學家艾賓浩斯(H，Ebbinghaus）研究發(fā)現，遺忘在學習之后立即開始，而且遺忘的進程并不是均勻的。他認為“保持和遺忘是時間的函數”，你能用數學語言描述這個變化過程嗎？

天問題1：你能結合圖像給自己的學習方法一些建議嗎？問題2：如果把時間設為x，記憶的數量設為y，y是x的函數嗎？問題3：若果y是x的函數，那么函數圖像反應了哪些變化規(guī)律？一創(chuàng)設情境、引入新課

圖中豎軸表示學習中記住的知識數量，橫軸表示時間(天數)，曲線表示記憶量變化的規(guī)律。這條曲線告訴人們在學習中的遺忘是有規(guī)律的，遺忘的進程很快，并且先快后慢。觀察曲線，你會發(fā)現,學得的知識在一天后，如不抓緊復習,就只剩下原來的25%。隨著時間的推移,遺忘的速度減慢，遺忘的數量也就減少。天OxyxyOxy21yOxo復習：幾個常見函數的圖像問題1畫出f(x)=x的圖像，并觀察其圖像。2、在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______.o5-5-55f(x)=x1、從左至右圖象上升還是下降

____?上升增大由形入數、提出問題二探究1：你能畫出下列函數圖像，并描述函數有何變化趨勢嗎？1、在區(qū)間________上，f(x)的值隨著x的增大而______.問題2畫出的圖像，并觀察圖像.o5-5-552、在區(qū)間________

上，f(x)的值隨著x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)減小增大

探究2：如何用“符號語言”描述函數在y隨x的增大而增大？Xf(x)三師生共探、抽象定義

在y隨x的增大而增大。xy21013

（1）對于函數y=f(x)

，若在區(qū)間I上，當x＝1時,y＝1;當x＝2時,y＝3,能說在區(qū)間I上函數值y隨自變量x的增大而增大嗎?思考

（2）對于函數y=f(x)

，若在區(qū)間I上，當x＝1,2,3,4,時,相應地y＝1,3,4,5，能說在區(qū)間I上函數值y隨自變量x的增大而增大嗎？思考xy103421234xyx10x2x3xny1y2y3ynx應該取區(qū)間I內所有實數

(3)對于函數y=f(x)若區(qū)間I上有n個數x1<x2<x3<···<xn，它們的函數值滿足:y1<y2<y3<···<yn時，能說在區(qū)間I上y隨x的增大而增大嗎？思考若x取無數個呢?函數單調性的概念：

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數,如圖1.增函數:yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖1

探究3：類比增函數的探究方法探究函數在上f(x)隨x增大而減小。四類比探究、抽象定義

在區(qū)間(-∞,0）上，任取兩個，得到，當時，有這時，我們就說函數在區(qū)間(-∞,0）上是減函數.

如何用“符號語言”描述函數在上f(x)隨x增大而減小。

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2

，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)

，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數

,如圖2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖2

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數,如圖1.辨析1：若定義在[-2,3]上的函數f(x)滿足f(-2)<f(3),則函數在[-2,3]上一定是增函數嗎？五定義辨析、強化理解辨析2：函數在區(qū)間和都是增函數，則函數在區(qū)間上一定是增函數嗎？五定義辨析、強化理解辨析3：反比例函數，在整個定義域上是減函數嗎？五定義辨析、強化理解1、函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質.2、必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分別是增函數和減函數.注意在某區(qū)間上，減函數圖象下降。

增函數圖象上升xyoxyo

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間.函數的單調性定義六舉例應用、掌握定義增區(qū)間

減區(qū)間增函數

減函數

例1下圖是定義在[-5,5]上的函數y=f(x），根據圖像說出函數的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數還是減函數？

例2物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大,試用函數單調性定義證明之.分析：按題意就是證明函數在區(qū)間上是減函數.證明：根據單調性的定義，設V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實數，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函數是減函數.也就是說，當體積V減小時，壓強p將增大.取值定號作差變形結論用定義證明函數單調性的步驟是：（1）取值（2）作差變形（3）定號（4）判斷根據單調性的定義得結論

即取是該區(qū)間內的任意兩個值且

即求，通過因式分解、配方、有理化等方法

即根據給定的區(qū)間和的符號的確定的符號七當堂達標、固雙基變式1:f(x)在[3,5]內是單調函數，則b的取值范圍？變式2:f(x)在[3,5]內不是單調函數，則b的取值范圍？變式3:f(x)的單調遞增區(qū)間為[3，＋∞)，則b