初三數(shù)學旋轉(zhuǎn)相似講義

專題：旋轉(zhuǎn)相像模型：手拉手相像模型，旋轉(zhuǎn)相像成雙對。條件：CD∥AB（本質(zhì)即為△OCD∽△OAB），將△OCD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖1和圖2的地點。結(jié)論：⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD。即連結(jié)對應(yīng)點所得的一對新三角形相像。⑵、延伸AC交BD于點E，則∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形圖證明）（能得到點A、O、E、B四點共圓）模型特例：共直角極點的直角三角形相像當∠AOB=∠COD=90°時，除⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD⑵、延伸AC交BD于點E，則∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形圖證明）外，還有結(jié)論⑶、BDODOBtanOCDtanOABACOCOA⑷、因為AC⊥BD于點E，那么，若連AD、BC，則四邊形ABCD對角線互相垂直，則S1ACBD四邊形ABCD2AD2BC2AB2CD2例題解說例1.已知△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為O，且頂角∠ACB=∠EDF.0（1）如圖1，若∠ACB=90,探究BF與CD間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若tan∠ACB=3，求BF的值；4CD（3）如圖3，若△ABC中AC=BC=a，將△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線CD與直線BF交于點H，則SBCH最大值為__________（用含a的式子表示）。剖析：（1）連OC，OD，△BBOBF≌△OCD，BF=CDEEODOFFDACAC（2）結(jié)構(gòu)手拉手旋轉(zhuǎn)相像?？勺C△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFBBFOB1∠ACB==tanCDOC2問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎猼an∠ACB=3，求tan1∠ACB的問題，必須熟悉等腰三角42形中相關(guān)三角函數(shù)值的常有辦理方法。由右圖提示可得tan1∠ACB=1；233）由（2）△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB，蝴蝶形圖易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a，定邊定角，點H在以BC為直徑的圓上，易求SBCHmax1a1a1a2224例2.如圖１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求證：AG＝CE；求DF的值A(chǔ)G剖析：如圖2，證△ABG△CBE，∴AG=CE如圖2，連結(jié)BD，BF，DF，易證BDBF2，DBCFBE45，BCBE∴△DBF~△CBE∴DFBD2CEBC∴DFDF2AGCE變式：如圖3，正方形ABCD和EFGH中，O為BC，EF中點(1)求證：AH=DG;(2)求AH的值。CF剖析：(1)連結(jié)OA,OH,OD,OG,易證：△AOH~△DOG例3.如圖，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE

A＝30°，＝3，＝8，求ACAEBCAD的長。D剖析：E連結(jié)BE，由基本圖形易得3可證△ACD∽△BCE，AD＝3BE，∠BAE＝90°在Rt△ABE作，由勾股定理求得BE＝10則AD＝103A3練習1.如圖，點A是△BDBC內(nèi)C點，一AB23,BC8,ABC600，DAC1200，ADAC,求BD得長。D剖析：結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)相像，由基本圖形可得出以下幾種方法，求出BD=10.E練習2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F(xiàn)、G分別為AC、BC的中點，將△CFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，直線AF與直線BG交于點I.求證：AF⊥BG；當旋轉(zhuǎn)角小于90°時，求2AIBI的值；CI若AC＝4，直接寫出△ACI面積的最大值___________.剖析：（3）需剖析出I點軌跡，由A、C、I、B四點共圓可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定邊定角得I軌跡為圓弧。練習3．將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A＝90°，AD邊與AB邊重合，AB＝2AD＝4．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角不超過180°），BD的延伸線交直線CE于點P．（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是___________，地點關(guān)系是___________；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當AD⊥BD時，求CP的長；（3）當點D落在BA的延伸線上時，求點P所經(jīng)過的路徑的長．BB剖析：DDB（1）BD＝CEBD⊥CECEACDA（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°E圖1C圖2APE又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四邊形ADPE為正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2∴CE＝BD＝AB2－AD2＝23∴CP＝23－2（3）取BC中點O，連結(jié)OA、OP∵在旋轉(zhuǎn)過程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°1B∴OP＝2BC＝22∴點P的運動路徑是以O(shè)為圓心、半徑為22的一段圓弧OD即△ABC外接圓的一部分CA則∠AOP＝2∠ABPPE易知點D在以A為圓心、半徑為2的半圓上運動當BP與半圓A相切于點D時，∠ABP最大，進而∠AOP最大1∵AD＝2AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°即當△ADE從初始地點旋轉(zhuǎn)60°時，點P沿圓弧從A