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§28.2解直角三角形(1)銳角三角函數(shù)定義30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana學(xué)習(xí)目標(biāo)1.使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系,會(huì)運(yùn)用勾股定理,直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形;2.滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____(2)銳角之間的關(guān)系:∠A+∠B=_____(3)邊角之間的關(guān)系:sinA=_____,cosA=_____tanA=_____在Rt△ABC中,共有六個(gè)元素(三條邊,三個(gè)角),其中∠C=90°,那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢?c290°創(chuàng)設(shè)情景明確目標(biāo)利用計(jì)算器可得.根據(jù)以上條件可以求出塔身中心線與垂直中心線的夾角.你愿意試著計(jì)算一下嗎?如圖設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B,塔身中心線與垂直中心線的夾角為A,過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線引垂線,垂足為點(diǎn)C,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5mABC將上述問(wèn)題推廣到一般情形,就是:已知直角三角形的斜邊和一條直角邊,求它的銳角的度數(shù).探究點(diǎn)一:解直角三角形的定義合作探究達(dá)成目標(biāo)在Rt△ABC中,(1)根據(jù)∠A=60°,斜邊AB=30,A你發(fā)現(xiàn)了什么BC∠BACBC∠A∠BAB一角一邊兩邊(2)根據(jù)AC=,BC=你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎??jī)山牵?)根∠A=60°,∠B=30°,你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎?不能你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎?30
一般地,直角三角形中,除直角外,共有5個(gè)元素,即3條邊和2個(gè)銳角,由直角三角形中除直角之外的已知元素,求出其余未知元素的過(guò)程,叫做解直角三角形。解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過(guò)程.事實(shí)上,在直角三角形的六個(gè)元素中,除直角外,如果再知道兩個(gè)元素(其中至少有一個(gè)是邊),這個(gè)三角形就可以確定下來(lái),這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素.ABabcC(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A+∠B=90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系(勾股定理)ABabcC在解直角三角形的過(guò)程中,一般要用到下面一些關(guān)系:【例1】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,解這個(gè)直角三角形.ABC合作探究達(dá)成目標(biāo)探究點(diǎn)二:解直角三角形【例2】如圖,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解這個(gè)直角三角形(精確到0.1)ABCa
b
=c
2035°你還有其他方法求出c嗎?合作探究達(dá)成目標(biāo)探究點(diǎn)二:解直角三角形【針對(duì)練】如圖,從點(diǎn)C測(cè)得樹(shù)的頂角為33o,BC=20米,則樹(shù)高AB=________米(用計(jì)算器計(jì)算,結(jié)果精確到0.1米)【答案】13.0AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0例3:
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC的平分線,解這個(gè)直角三角形。DABC6
1.等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2,底邊上的高為3,求底角。2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若BD是∠ABC的平分線,BD=8,求△ABC的三條邊長(zhǎng)。ACDB練習(xí)總結(jié)梳理內(nèi)化目標(biāo)1.解直角三角形的關(guān)鍵是找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí),要通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形(作某邊上的高是常用的輔助線).2.一些解直角三角形的問(wèn)題往往與其他知識(shí)聯(lián)系,所以在復(fù)習(xí)時(shí)要形成知識(shí)結(jié)構(gòu),要把解直角三角形作為一種工具,能在解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)合理運(yùn)用.ABCm2.如圖,小明為了測(cè)量其所在位置,A點(diǎn)到河對(duì)岸B點(diǎn)之間的距離,沿著與AB垂直的方向走了m米,到達(dá)點(diǎn)C,測(cè)得∠ACB=α,那么AB等于()(A)m·sinα米(B)m·tanα米(C)m·cosα米(D)米B3.邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形中,其一邊上高的長(zhǎng)度為_(kāi)_______cm.【解析】一邊上的高=6×sin60°=【答案】
達(dá)標(biāo)檢測(cè)反思目標(biāo)4.已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=.點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn),且BD=2AD,∠ADC=60°求△ABC的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))【解析】要求△ABC的周長(zhǎng),只要求得BC及AB的長(zhǎng)度即可.根據(jù)Rt△ADC中∠ADC的正弦值,可以求得AD的長(zhǎng)度,也可求得CD的長(zhǎng)度;再根據(jù)已知條件求得BD的長(zhǎng)度,繼而求得BC的長(zhǎng)度;運(yùn)用勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)度,求得△ABC的周長(zhǎng).達(dá)標(biāo)檢測(cè)反思目標(biāo)解直角三角形∠A+∠B=90°a2+b2=c2三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算器由銳角求三角函數(shù)值由三角函數(shù)值求銳角
歸納小結(jié)解直角三角形:由已知元素求未知元素的過(guò)程。直角三角形中,AB∠A的對(duì)邊aC∠A的鄰邊b┌斜邊c作業(yè):◆1、已知在△ABC中,∠C=90°,∠A=60o,BC=5,BD是中線,求AC、BD的長(zhǎng).◆2、在△ABC中
,∠C=90°,CD⊥AB于D,AD=4,sin∠ACD=,求CD、BC的長(zhǎng)?!?、計(jì)算。①(
-1)0+2sin30°+()2②
選做題如
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