必修四講義精練第8章83解三角形的應(yīng)用舉例

8．3解三角形的應(yīng)用舉例[讀教材·填要點(diǎn)]1．測(cè)量中有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)(1)仰角與俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線與水平線的夾角，當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱(chēng)為仰角，當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱(chēng)為俯角，如圖(1)所示．(2)方位角：從指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，如：方位角是60°的圖形是圖(2)，或稱(chēng)北偏東60°.(3)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60°.2．用解三角形學(xué)問(wèn)解實(shí)際問(wèn)題的步驟[小問(wèn)題·大思維]用解三角形的學(xué)問(wèn)解決距離、高度問(wèn)題應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想？[提示]表達(dá)了數(shù)學(xué)建模思想，從實(shí)際問(wèn)題動(dòng)身，經(jīng)過(guò)抽象概括把它轉(zhuǎn)化為詳細(xì)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)推理得出數(shù)學(xué)模型的解，再?gòu)?fù)原成實(shí)際問(wèn)題的解．測(cè)量距離問(wèn)題如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不行到達(dá)，測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.假設(shè)測(cè)得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.解決該題的切入點(diǎn)是所求量在哪個(gè)三角形中，是什么，還需要什么，待求的量怎么求出，詳細(xì)落實(shí)到使用哪個(gè)定理．1．如圖，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距eq\r(3)km的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(視A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面內(nèi))．求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)，∴AD＝3.在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－30°－45°＝60°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BD＝eq\f(CD·sin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(\r(3)·\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\r(2).在△ADB中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝9＋2－2×3×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝5，∴AB＝eq\r(5)，即目標(biāo)A，B相距eq\r(5)km.測(cè)量高度的問(wèn)題A，B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.[解]如圖，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)≈2186(m)．答：山高CD約為2186m.在測(cè)量高度時(shí)，要留意理解仰角和俯角的概念，區(qū)分在于視線在水平線的上方還是下方，一般步驟是：(1)依據(jù)條件畫(huà)出示意圖；(2)分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解；(4)要綜合運(yùn)用立體幾何學(xué)問(wèn)與平面幾何學(xué)問(wèn)；(5)留意方程思想的運(yùn)用．,2．一個(gè)大型噴水池的中心有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的A處測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿A向北偏東30°方向前進(jìn)100m到達(dá)B處，在B處測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：選A如圖，設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，那么在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos60°，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m.3.如下圖，在山底A處測(cè)得山頂B的仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達(dá)S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角∠DSB＝75°，那么山高BC為_(kāi)_______m.解析：由于∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.在△ABS中，AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，所以BC＝AB·sin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m)．答案：1000測(cè)量角度的問(wèn)題如圖，某貨船在索馬里四周海疆航行中遭海盜攻擊，發(fā)出呼叫信號(hào)，我海護(hù)航艦在A處得悉后，馬上測(cè)出該貨船在方位角為45°，距離為10海里的C處，并測(cè)得貨船正沿方位角為105°的方向，以10海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海護(hù)航艦馬上以10eq\r(3)海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時(shí)間．[解]設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，那么AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，依據(jù)余弦定理，那么有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．艦艇需1小時(shí)靠近貨船．此時(shí)AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，所以∠CAB＝30°或∠CAB＝150°(舍)，所以護(hù)航艦航行的方位角為75°.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確題中所給各個(gè)角的含義，畫(huà)出示意圖，將圖形中的量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形中的邊與角的關(guān)系，求解三角形使問(wèn)題獲得解決．4．如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)得悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救．甲船馬上前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(角度精確到1°，sin41°≈\r(\f(3,7))))解：由，得∠CAB＝90°＋30°＝120°，那么∠ACB<90°.連接BC.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10×cos120°＝700，∴BC＝10eq\r(7)海里．在△ABC中，依據(jù)正弦定理，得eq\f(20,sin∠ACB)＝eq\f(10\r(7),sin120°)，∴sin∠ACB＝eq\r(\f(3,7)).又∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°.∴乙船應(yīng)朝北偏東大約41°＋30°＝71°的方向沿直線前往B處救援．[隨堂體驗(yàn)落實(shí)]1．海面上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成30°的視角，那么B與C之間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(3)海里解析：選D由題意，畫(huà)出示意圖，如圖．在△ABC中，C＝180°－A－B＝90°，∴BC＝ABsin60°＝5eq\r(3)海里．2．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°，那么塔高為()A.eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m解析：選A如圖，設(shè)塔高CD＝x，在△ABD中，tan30°＝eq\f(BD,AB)，∴BD＝200tan30°＝eq\f(200,3)eq\r(3).在△ACE中，tan30°＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(200－x,BD).∴200－x＝BD·tan30°＝eq\f(200\r(3),3)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(200,3)，∴x＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3).3．A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，那么AC兩地的距離為()A．10km B．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：選D如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°.由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝100＋400＋200＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．4．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高是46m，那么河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD垂直于CB的延長(zhǎng)線，垂足為D，那么在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，依據(jù)正弦定理得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝46×eq\f(sin37°,sin67°sin30°)≈60.答案：605．如下圖，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．解：設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m.[感悟高手解題]在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m至點(diǎn)C處，測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再連續(xù)前進(jìn)10eq\r(3)m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．[解]由可得在△ABC與△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝DC＝10eq\r(3)，∠ADC＝180°－4θ，∴eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin180°－4θ).∵sin4θ＝2sin2θcos2θ，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，得2θ＝30°.∴θ＝15°，∴在Rt△ADE中，AE＝ADsin60°＝15m.答：所求角θ為15°，建筑物高度為15m.一、選擇題1．甲、乙二人同時(shí)從A點(diǎn)動(dòng)身，甲沿著正東方向走，乙沿著北偏東30°方向走，當(dāng)乙走了2千米到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，兩人距離恰好為eq\r(3)千米，那么這時(shí)甲走的距離是()A．2eq\r(3)千米 B．2千米C.eq\r(3)千米 D．1千米解析：選D假設(shè)甲走到了C，那么在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°，即(eq\r(3))2＝22＋AC2－2×2AC·eq\f(1,2)，解得AC＝1.應(yīng)選D.2.如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為140°的方向航行，為了確定船的位置，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行eq\f(1,2)h到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°，那么貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是()A．10km B．10eq\r(2)kmC．15km D．15eq\r(2)km解析：選B在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．3．有一長(zhǎng)為10m的斜坡，它的傾斜角是75°，在不轉(zhuǎn)變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，那么坡底要延長(zhǎng)()A．5m B．10mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m解析：選C如圖，E為斜坡延長(zhǎng)后的底．在△AEC中，∠CEA＝30°，AC＝10，∠CAE＝105°，∴由內(nèi)角和定理得∠ACE＝45°.由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ACE)＝eq\f(AC,sin∠AEC).∴AE＝eq\f(AC·sin∠ACE,sin∠AEC)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．4．在地面上一點(diǎn)A測(cè)得一電視塔塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進(jìn)100m，又測(cè)得塔尖的仰角為60°，那么此電視塔高約為()A．237m B．227mC．247m D．257m解析：選A如圖，CD表示電視塔，由得∠CAD＝45°，AB＝100，∠CBD＝60°，設(shè)塔高為x，在△CBD中，BD＝x·tan30°＝eq\f(\r(3),3)x，又AD＝CD，∴x＝100＋eq\f(\r(3),3)x.∴x＝50(3＋eq\r(3))≈237m.二、填空題5．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)_______km.解析：如圖，在△ABC中，AC＝4×15＝60，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴∠ABC＝45°.∴BC＝eq\f(AC·sin30°,sin45°)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝30eq\r(2)(km)．答案：30eq\r(2)6．甲、乙兩塔相距60m，從乙塔塔底望甲塔塔頂仰角為45°，從甲塔塔頂望乙塔塔頂俯角為30°，那么甲、乙兩塔高度分別為_(kāi)_______．解析：如下圖，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，那么CD＝BD＝60(m)．在Rt△AEC中，CE＝tan30°AE＝20eq\r(3)(m)．∴AB＝(60－20eq\r(3))(m)．答案：60m(60－20eq\r(3))m7．某船開(kāi)頭觀察燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°方向航行30nmile后，觀察燈塔在正西方向，那么這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)_______nmile.解析：如下圖，B是燈塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，那么BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，那么在Rt△ACD中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝15eq\r(3)nmileAD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15nmile，那么在Rt△ADB中，DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝5eq\r(3)nmile，那么BC＝DC－DB＝15eq\r(3)－5eq\r(3)＝10eq\r(3)nmile.答案：10eq\r(3)8．甲船在A處觀看乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船正向北行駛，假設(shè)甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，那么甲船應(yīng)沿________方向行駛才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________nmile.解析：如下圖，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時(shí)間為t，乙船的速度為v，那么BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，那么由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)答案：北偏東30°eq\r(3)a三、解答題9．某觀測(cè)站C在A城的南偏西20°的方向，由A城動(dòng)身有一條大路，大路走向是南偏東40°，在大路上測(cè)得距離C31km的B處，有一人正沿大路向A城走去，走了20km后到達(dá)D處，此時(shí)C，D之間相距21km，問(wèn)此人還要走多遠(yuǎn)才能到達(dá)A城？解：如圖，∠CAB＝60°，BD＝20km，CB＝31km，CD△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，那么sin∠BDC＝eq\f(4\r(3),7).在△ACD中，∠ACD＝∠BDC－∠C