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文檔簡介
江蘇省南通市南通第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次診斷測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.2.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素?cái)?shù)的和,例如:,,,那么在不超過18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.3.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對為()A. B. C. D.4.已知是兩條不重合的直線,是兩個不重合的平面,下列命題正確的是()A.若,,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則5.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.6.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.7.已知集合,,則()A. B. C. D.8.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.119.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點(diǎn),點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn),且,,則()A. B.C. D.10.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.12.函數(shù)fxA. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,滿足,其中,,則的值為_______________.14.角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是.15.已知函數(shù)在上僅有2個零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.16.已知兩圓相交于兩點(diǎn),,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實(shí)數(shù)的值.(2)若,,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.19.(12分)我國在2018年社保又出新的好消息,之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后,社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣,費(fèi)時費(fèi)力.社保改革后將簡化手續(xù),深得流動就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,得到其辦理手續(xù)所需時間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表:時間人數(shù)156090754515(1)若300名辦理社保的人員中流動人員210人,非流動人員90人,若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人,請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計(jì)21090300(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng),提高效率,從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣,抽取12名流動人員召開座談會,其中3人要求交書面材料,3人中辦理的時間為的人數(shù)為,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87920.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521.(12分)如圖,正方形所在平面外一點(diǎn)滿足,其中分別是與的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知點(diǎn)P在拋物線上,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點(diǎn)),與拋物線C的準(zhǔn)線交于M,N兩點(diǎn),且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H.過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,如圖:由底面邊長可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先求出從不超過18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個,從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B4、B【解析】
根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系,逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng),若,,,,則或與相交;故A錯;B選項(xiàng),若,,則,又,是兩個不重合的平面,則,故B正確;C選項(xiàng),若,,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故C錯;D選項(xiàng),若,,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故D錯;故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題,熟記線線、線面位置關(guān)系,即可求解,屬于??碱}型.5、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.6、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)椋?dāng)時,,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
求出集合,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.9、D【解析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問題,屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.11、A【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題,涉及到的知識點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.12、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,判斷出,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),列出等式,求出和的值即可.【詳解】解:由,其中,,可得,則,令,,可得.①又令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得,所以.②根據(jù)①②得出,.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點(diǎn):1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.15、【解析】
先根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)椋?,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.16、【解析】
根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點(diǎn)在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點(diǎn)為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導(dǎo)數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導(dǎo)數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因?yàn)?,所以在單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故方程①有且僅有唯一解,實(shí)數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時,,在單調(diào)遞增,所以,滿足題意.(ii)若時,,滿足題意.(iii)若時,,在單調(diào)遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時,,所以當(dāng)時,.又由上式得,當(dāng)時,,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;故.(ii)若時,,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當(dāng)時,此時,,,則需由(*)知,,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),所以.②當(dāng)時,此時,,則當(dāng)時,(由(*)知);當(dāng)時,(由(*)知).故對于任意,.綜上述:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力,對于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.18、(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求(1)得,然后對和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式.本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法,求和是用并項(xiàng)求和法.?dāng)?shù)列的求和除公式法外,還有錯位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組(并項(xiàng))求和法等等.19、(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)題意,結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表,計(jì)算出的觀測值,即可進(jìn)行判斷;(2)先計(jì)算出時間在和選取的人數(shù),再求出的可取值,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求得分布列,結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有流動人員210人,非流動人員90人,所以辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下:辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表流動人員非流動人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天453075辦理社保手續(xù)所需時間超過4天16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣可知時間在可選9人,時間在可以選3名,故,則,,,,可知分布列為0123可知.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中的計(jì)算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,涉及分層抽樣,屬綜合性中檔題.20、(1),有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān);(2)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)由題意可知X服從二項(xiàng)分布,利用公式計(jì)算概率及期望即可.【詳解】(1)因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是
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