理論力學動靜法

關于理論力學動靜法第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2動力學普遍定理，是解決動力學問題的普遍方法，在一定條件下也是簡捷而有效的方法。本章介紹解答動力學問題的另一種方法——達蘭貝爾原理或譯為達朗伯原理。應用這一原理，就將動力學問題從形式上轉化為靜力學問題，從而根據(jù)關于平衡的理論來求解。這種解答動力學問題的方法，因而也稱動靜法。動力學第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3§9-1慣性力的概念人用手推車動力學力是由于小車具有慣性，力圖保持原來的運動狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。

定義：質(zhì)點慣性力

加速運動的質(zhì)點，對迫使其產(chǎn)生加速運動的物體的慣性反抗的總和。第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月4動力學③慣性力作用在使質(zhì)點產(chǎn)生加速度的其他施力物體上。①

大?。篎J=ma②

方向：與相反按不同坐標系，慣性力可分解為：——切向慣性力——法...............第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月5動力學這就是質(zhì)點的達蘭貝爾原理?！?-2達蘭貝爾原理非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力，約束反力作用，、的合力為由牛頓第二定律：假象地將作用在M上，則即：一、質(zhì)點的達蘭貝爾原理第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月6動力學該方程對動力學問題來說只是形式上的平衡，并沒有改變動力學問題的實質(zhì)。采用動靜法解決動力學問題的最大優(yōu)點，就是可以利用靜力學提供的解題方法，給動力學問題一種統(tǒng)一的解題格式。也就是：對于動力學問題，假想地加上慣性力，就可以用平衡方程求解。第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月7動力學[例1]

列車在水平直線軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月8動力學研究對象：單擺的擺錘虛加慣性力

角隨著加速度的變化而變化，當不變時，角也不變。只要測出角，就能知道列車的加速度。擺式加速計的原理。解：得方向與相反第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月9動力學對整個質(zhì)點系，如果在每一個質(zhì)點上都假象地加上慣性力，則主動力系、約束反力系、慣性力系在形式上構成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達蘭貝爾原理?？捎梅匠瘫硎緸椋涸O有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對任一質(zhì)點，虛加慣性力，則有二、質(zhì)點系的達蘭貝爾原理對于每一個研究對象，平面問題有三個平衡方程，空間問題有六個平衡方程。第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月10動力學

§9-3剛體慣性力系的簡化一般質(zhì)點系，在應用動靜法是，可在每一質(zhì)點上虛加相應的慣性力，但對于剛體這樣由無窮多質(zhì)點組成的質(zhì)點系，則不可能逐個質(zhì)點虛加慣性力。怎么辦？可以采用靜力學中的力系簡化的理論，求出各質(zhì)點慣性力所組成的慣性力系的主矢和主矩，來代替慣性力系。這樣，在剛體上虛加了慣性力系的主矢和主矩，就相當于在剛體上的各個質(zhì)點上虛加了慣性力。第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月11動力學一、剛體作平動慣性力系向質(zhì)心C簡化：故剛體平動時慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月12動力學空間慣性力系—>平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）O為轉軸z與質(zhì)量對稱平面的交點，向O點簡化：主矢：主矩：二、定軸轉動剛體設剛體具有垂直于轉軸的質(zhì)量對稱平面。O直線i：平動，過Mi點，第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月13動力學即：向O點簡化：作用在O點作用在C點若向質(zhì)心C簡化，同理可得實際應用時可將慣性主矢分解：第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月14動力學討論：①若ε=0，轉軸不通過質(zhì)點C，向轉軸簡化，則②若轉軸過質(zhì)點C，且0，則③若ε=0且轉軸過質(zhì)心C，則第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月15動力學假設剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)點C）的平動：繞通過質(zhì)心軸的轉動：三、剛體作平面運動作用于質(zhì)心C

無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月16動力學[*例1]

均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止倒下。求開始倒下時桿AB的角加速度及A點支座反力。（1）研究對象：桿AB（2）受力圖（3計算慣性力系的主矢、主矩將慣性力系向A點簡化：解：第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月17動力學（4）選軸及矩心建立平衡方程求解第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月18動力學用動量矩定理+質(zhì)心運動定理再求解此題：解：選AB為研究對象由得：由質(zhì)心運動定理：第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月19動力學

[*例2]

牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力及驅動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅動力偶矩M之最大值。取輪為研究對象虛加慣性力系：解：則：第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月20動力學由(1)得由(2)得N=P+S，要保證車輪不滑動，必須

F≤fN=f(mg+S)(5)可見，f越大越不易滑動。

Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月21動力學根據(jù)動靜法，可以用靜力學平衡方程的形式來建立動力學方程。應用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力。應用動靜法可以利用靜力學建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當問題中有多個約束反力時，應用動靜法求解它們時就方便得多。動靜法的應用第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月22動力學

①選取研究對象。原則與靜力學相同。

②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。

③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出

方向。應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進行運動分析的基礎上。熟記剛體慣性力系的簡化結果。第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月23動力學

⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補充方程。運動學補充方程（運動量之間的關系）。

⑦求解未知量。

[注意]

的方向及轉向已在受力圖中標出，建立方程時，只需按 計算即可。第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月24動力學

[例1]

質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸O的轉動慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度及O處反力。取系統(tǒng)為研究對象解：方法1用動靜法求解第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月25動力學虛加慣性力和慣性力偶：則：列補充方程： 重物1：重物2：輪：第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月26動力學xy第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月27動力學方法2用動量矩定理求解根據(jù)動量矩定理：取系統(tǒng)為研究對象第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月28動力學取系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時系統(tǒng)的兩邊除以dt，并求導數(shù)，得方法3用動能定理求解方法2、3須用質(zhì)心運動定理求O處反力第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月29動力學[例2]

在圖示機構中，均質(zhì)圓柱體A、O重分別為P和Q，半徑均為R，A作純滾動。繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角，如在O上作用一常力偶矩M，試求：(1)圓柱體O的角加速度？

(2)繩子的拉力？

(3)軸承O處的反力？

(4)圓柱體A與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月30動力學解：（1）取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列平衡方程：（2）取輪A為研究對象，虛加慣性力。第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月31動力學列出平衡方程：運動學關系：，將及運動學關系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月32動力學代入(2)、(3)、(5)式，得：第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月33動力學方法2用動力學普遍定理求解(1)用動能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為研究對象兩邊對t求導數(shù)：第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月34動力學(2)用動量矩定理求繩子拉力（定軸轉動微分方程）取輪O為研究對象，由Joe=∑MOe得(3)用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反力取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運動定理：第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月35動力學(4)用剛體平面運動微分方程求摩擦力取圓柱體A為研究對象，根據(jù)剛體平面運動微分方程方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度

用達朗伯原理求約束反力（繩子拉力、軸承O處反力和及摩擦力）。第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月36動力學[例3]

均質(zhì)圓柱體重P，半徑R，自O點無滑動地沿傾斜板由靜止開始滾動。板與水平成角，試求OA=S時板在O點的約束反力。板重略去不計。解：圓柱體作平面運動，設其質(zhì)心加速度為a，虛加慣性力P（1）取圓柱體為研究對象：第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月37動力學（2）取系統(tǒng)體為研究對象：第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月38動力學解：繞線輪作平面運動由將FJ

、MOJ代入上式，可得[例4]

繞線輪重P，半徑為R及

r

，對質(zhì)心O的回轉半徑為ρ，且ρ2

=Rr，輪在常力

作用下作純滾動，已知，不計滾阻，求：(1)輪心的加速度；(2)分析輪純滾動的條件。第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月39動力學純滾動的條件：F≤fN

第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月40動力學解：BD作平動，A相對于BD不動，所以：[例5]

重W2的板BD由兩根等長且平行的細繩懸掛，板上放置重W1且不計大小的物塊A。系統(tǒng)從圖示位置無初速開始運動，求此瞬時A物不在BD上滑動的接觸面的靜摩擦系數(shù)。（1）以物A及BD為研究對象：x將FAJ、FCJ

代如得aC=gsinθ第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月動力學（2）以物A為研究對象：A在BD上不滑動，必須F≤fN，第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月42動力學解（1）以AB為研究對象：設其質(zhì)心加速度為aC、角加速度為eAB，則[例6]

圖示系統(tǒng)，均質(zhì)桿AB：m1=2m，l；均質(zhì)圓輪：m2=2m，r；物體G：m3=m

。系統(tǒng)開始靜止，AB水平。求A端繩突然斷開的瞬時物體G和桿AB質(zhì)心的加速度及O處反力。第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月43動力學（2）以物體G及輪O為研究對象：設物體G的加速度為aG、輪O的角加速度為eO，虛加慣性力：運動學關系：第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月動力學將各慣性力及運動學關系代入（1）～（5）式聯(lián)立解得：第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月45動力學例7.圖示機構位于水平面。已知：均質(zhì)桿AD：m；均質(zhì)桿AB：L，2m；套筒E至AD桿距離為L/2。系統(tǒng)初始靜止，且AE=5L/8。求當AD桿突然受到向右的力F作用時，AB桿的角加速度e及套筒E對AB桿在水平面內(nèi)的約束反力。不計套筒質(zhì)量及各處摩擦。解：AD桿作平動，AB桿作平面運動（1）分析加速度（a）以E及AB為研究對象，以套筒E為動點，AB為動系∵aa=0，ac=0（圖示瞬時wAB=0）第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月46動力學（b）以AB為研究對象，設e。以E為基點，則沿AB，也就