柯西積分公式

關(guān)于柯西積分公式PPT1第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月2一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個值.第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月3第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月4二、柯西積分公式定理證第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月5第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月6上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分值為零時才有可能.[證畢]柯西積分公式柯西介紹第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月7關(guān)于柯西積分公式的說明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.第7頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月8三、典型例題例1解第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月9由柯西積分公式第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月10例2解由柯西積分公式第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月11根據(jù)復(fù)合閉路定理,回到前面我們講過的例子：基于化為部分分式現(xiàn)在：只將分母分解因式第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月12根據(jù)復(fù)合閉路定理,回到前面我們講過的例子：現(xiàn)在：第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月13例3解由柯西積分公式第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月14例４解根據(jù)柯西積分公式知,第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月15例5解第15頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月16例5解第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月17由閉路復(fù)合定理,得例5解第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月18例6解根據(jù)柯西積分公式知,第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月19比較兩式得第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月20課堂練習(xí)答案第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月21四、高階導(dǎo)數(shù)問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示,這與實變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月22定理證第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月23根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月24第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月25第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月26再利用以上方法求極限第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月27至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月28高階導(dǎo)數(shù)典型例題例7解第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月30根據(jù)復(fù)合閉路定理第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月31第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月32例8解第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月33第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月34例9解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月35第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月36課堂練習(xí)答案第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月37例10解第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月38根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月39第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月40例11(Morera定理)證依題意可知第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月41參照本章第四節(jié)定理二,可證明因為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月42例12證不等式即證.第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月43四、小結(jié)與思考柯西積分公式是復(fù)積分計算中的重要公式,它的證明基于柯西–古薩基本定理,它的重要性在于:一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:第43頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月44高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式第44頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月45思考題

1.柯西積分公式是對有界區(qū)域而言的,能否推廣到無界區(qū)域中?

2.解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?第45頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月46思考題1答案可以.其中積分方向應(yīng)是順時針方向.放映結(jié)束，按Esc退出.第46頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月47思考題2答案這一點與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.放映結(jié)束，按Esc退出.第47頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月48Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料第48頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月49作業(yè):習(xí)題三