2022年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

第1頁（共1頁）2022年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，則A∪B＝（）A．（﹣4，3] B．[﹣3，2） C．（﹣4，2） D．[﹣3，3]2．（4分）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝4，雙曲線上一點(diǎn)P滿足||PF1|﹣|PF2||＝2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．33．（4分）已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28，則n＝（）A．1 B．2 C．3 D．44．（4分）下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x3的奇偶性相同，且在（0，+∞）上有相同單調(diào)性的是（）A． B．y＝lnx C．y＝sinx D．y＝x|x|5．（4分）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k的值為（）A． B． C． D．26．（4分）已知是單位向量，向量滿足≤?≤1，則||的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1] C．[，+∞） D．[，1]7．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x+φ），，那么“”是“f（x）在上是增函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）已知f（x）＝|lgx﹣a|，記關(guān)于x的方程f（x）＝1的所有實(shí)數(shù)根的乘積為g（a），則g（a）（）A．有最大值，無最小值 B．有最小值，無最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．既無最大值，也無最小值9．（4分）若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1] B．（0，1） C．（1，4） D．（2，4）10．（4分）如圖為某商鋪A、B兩種商品在2022年前3個(gè)月的銷售情況統(tǒng)計(jì)圖，已知A商品賣出一件盈利20元，B商品賣出一件盈利10元．圖中點(diǎn)A1、A2、A3的縱坐標(biāo)分別表示A商品2022年前3個(gè)月的銷售量，點(diǎn)B1、B2、B3的縱坐標(biāo)分別表示B商品2022年前3個(gè)月的銷售量．根據(jù)圖中信息，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）①2月A、B兩種商品的總銷售量最多；②3月A、B兩種商品的總銷售量最多；③1月A、B兩種商品的總利潤最多；④2月A、B兩種商品的總利潤最多．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）二項(xiàng)式（1+x）n（n∈N*）的展開式中x2的系數(shù)為21，則n＝．12．（5分）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），則為．13．（5分）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；直線與拋物線分別交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方），過點(diǎn)P作直線PQ的垂線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)H，則＝．14．（5分）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，{bn}是公差為2的等差數(shù)列．若集合A＝{n∈N*|an＞bn}中恰有3個(gè)元素，則符合題意的b1的一個(gè)取值為．15．（5分）已知四棱錐P﹣ABCD的高為1，△PAB和△PCD均是邊長為的等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四棱錐P﹣ABCD可能為正四棱錐；②空間中一定存在到P，A，B，C，D距離都相等的點(diǎn)；③可能有平面PAD⊥平面ABCD；④四棱錐P﹣ABCD的體積的取值范圍是（，]．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）在△ABC中，2cos2+2sincos＝．（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）若（a+c）＝2b，證明：a＝c．17．（13分）2021年12月9日，《北京市義務(wù)教育體育與健康考核評(píng)價(jià)方案》發(fā)布．義務(wù)教育體育與健康考核評(píng)價(jià)包括過程性考核與現(xiàn)場考試兩部分，總分值70分．其中過程性考核40分，現(xiàn)場考試30分．該評(píng)價(jià)方案從公布之日施行，分學(xué)段過渡、逐步推開．現(xiàn)場考試采取分類限選的方式，把內(nèi)容劃分了四類，必考、選考共設(shè)置22項(xiàng)考試內(nèi)容．某區(qū)在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1100名男生和1000名女生作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中男生和女生選考乒乓球的比例分別為10%和5%，選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%．假設(shè)選考項(xiàng)目中所有學(xué)生選擇每一項(xiàng)相互獨(dú)立．（Ⅰ）從該區(qū)所有九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生選考乒乓球的概率；（Ⅱ）從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人選考1分鐘跳繩的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考試滿分8分．在該區(qū)一次九年級(jí)模擬考試中，樣本中選考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．記這次模擬考試中，選考乒乓球的所有學(xué)生的乒乓球平均分的估計(jì)值為μ1，其中男生的乒乓球平均分的估計(jì)值為μ2，試比較μ1與μ2的大小．（結(jié)論不需要證明）18．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的菱形，AB＝BC＝，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面B1BD與棱A1C1交于點(diǎn)E．（Ⅰ）求證：BB1∥DE；（Ⅱ）若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線AB與平面B1BDE所成角的正弦值．條件①：平面ABC⊥平面AA1C1C；條件②：∠A1AC＝60°；條件③：A1B＝．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝．（Ⅰ）若f'（1）＝，求a的值；（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，①求證：f（x）有唯一的極值點(diǎn)x1；②記f（x）的零點(diǎn)為x0，是否存在a使得≤e2？說明理由．20．（15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），圓O：x2+y2＝1經(jīng)過橢圓C的上、下頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦距；（Ⅱ）已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動(dòng)點(diǎn)（P，Q不在坐標(biāo)軸上），且直線PQ與x軸平行，線段AP的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)M，圓O在點(diǎn)Q處的切線與y軸交于點(diǎn)N．求線段MN長度的最小值．21．（15分）已知數(shù)列A：a1，a2，?，a2m，其中m是給定的正整數(shù)，且m≥2．令bi＝min{a2i﹣1，a2i}，i＝1，?，m，X（A）＝max{b1，b2，?，bm}，ci＝max{a2i﹣1，a2i}，i＝1，?，m，Y（A）＝min{c1，c2，?，cm}．這里，max{}表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，min{}表示括號(hào)中各數(shù)的最小值．（Ⅰ）若數(shù)列A：2，0，2，1，﹣4，2，求X（A），Y（A）的值；（Ⅱ）若數(shù)列A是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，且X（A）＝Y(jié)（A），求q的值；（Ⅲ）若數(shù)列A是公差d＝1的等差數(shù)列，數(shù)列B是數(shù)列A中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求X（B）﹣Y（B）的所有可能值（用m表示）．

2022年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，則A∪B＝（）A．（﹣4，3] B．[﹣3，2） C．（﹣4，2） D．[﹣3，3]【分析】先求出集合B，然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解．【解答】解：因?yàn)锳＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，則A∪B＝{x|﹣4＜x≤3}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝4，雙曲線上一點(diǎn)P滿足||PF1|﹣|PF2||＝2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【分析】利用已知條件求解a，c，然后求解離心率即可．【解答】解：雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝4，所以c＝2，雙曲線上一點(diǎn)P滿足||PF1|﹣|PF2||＝2，所以a＝1，所以雙曲線的離心率e＝＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．3．（4分）已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28，則n＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，a1＝2，公差d＝3，所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，an+an+2＝3n﹣1+3n+5＝28，則n＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x3的奇偶性相同，且在（0，+∞）上有相同單調(diào)性的是（）A． B．y＝lnx C．y＝sinx D．y＝x|x|【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，y＝（）x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；y＝lnx為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；y＝sinx在（0，+∞）上不具有單調(diào)性，不符合題意；y＝x|x|為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x2單調(diào)遞增，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k的值為（）A． B． C． D．2【分析】直接利用弦長判定圓心在直線上，利用代入法求出結(jié)果．【解答】解：由圓C：x2+y2＝2，得C（0，0），半徑r＝，圓心C到直線l：y＝kx+2的距離d＝．又|AB|＝2，所以12+（）2＝2，解得：k＝±．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．6．（4分）已知是單位向量，向量滿足≤?≤1，則||的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1] C．[，+∞） D．[，1]【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的公式即可求解．【解答】解：因?yàn)槭菃挝幌蛄?，向量滿足≤?≤1，設(shè)與夾角為θ，所以≤||||cosθ≤1，即≤||≤，又0＜cosθ≤1，∴≥1，∴||≥，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x+φ），，那么“”是“f（x）在上是增函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及充要條件的判定即可得到結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝2sin（2x+φ），，∴x∈，可得2x+φ∈[﹣+φ，+φ]，∵f（x）在上是增函數(shù)，∴﹣+φ≥2kπ﹣，且+φ≤2kπ，k∈Z，∴2kπ﹣≤φ≤2kπ+，k∈Z，∵，∴﹣≤φ≤，故“”是“f（x）在上是增函數(shù)”的充分也不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（4分）已知f（x）＝|lgx﹣a|，記關(guān)于x的方程f（x）＝1的所有實(shí)數(shù)根的乘積為g（a），則g（a）（）A．有最大值，無最小值 B．有最小值，無最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．既無最大值，也無最小值【分析】解出f（x）＝1的根即可得到g（a）的解析式，再根據(jù)g（a）的解析式確定其最值即可．【解答】解：由f（x）＝1可得|lgx﹣a|＝1，所以lgx﹣a＝1或lgx﹣a＝﹣1，即lgx＝a+1或lgx＝a﹣1，解得x1＝10a+1或x2＝10a﹣1，所以g（a）＝x1x2＝10a+1×10a﹣1＝102a＝100a，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知g（a）既無最大值，也無最小值．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1] B．（0，1） C．（1，4） D．（2，4）【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)定義域，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值域，即可求解．【解答】解：由題意得函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤a}，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝2x+3∈（3，4]，要使得定義域和值域的交集為空集，則0＜a≤3，又0＜x≤a時(shí)，f（x）＝（x﹣2）2，若a≥2，則f（2）＝0，此時(shí)顯然不滿足題意，若0＜a＜2，則f（x）在（0，a]上單調(diào)遞減，f（x）∈[（a﹣2）2，4），故f（x）∈[（a﹣2）2，4）∪（3，4]，所以，解得0＜a＜1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)及分段函數(shù)定義域及值域的求解，屬于中檔題．10．（4分）如圖為某商鋪A、B兩種商品在2022年前3個(gè)月的銷售情況統(tǒng)計(jì)圖，已知A商品賣出一件盈利20元，B商品賣出一件盈利10元．圖中點(diǎn)A1、A2、A3的縱坐標(biāo)分別表示A商品2022年前3個(gè)月的銷售量，點(diǎn)B1、B2、B3的縱坐標(biāo)分別表示B商品2022年前3個(gè)月的銷售量．根據(jù)圖中信息，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）①2月A、B兩種商品的總銷售量最多；②3月A、B兩種商品的總銷售量最多；③1月A、B兩種商品的總利潤最多；④2月A、B兩種商品的總利潤最多．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】對(duì)選項(xiàng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可解出．【解答】解：對(duì)于①②，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得，B3，A3的縱坐標(biāo)之和顯然最大，故3月A，B兩種商品的總銷量最多，故②正確；對(duì)于③④，因?yàn)锳商品賣出一件盈利20元，B商品賣出一件盈利10元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，用對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示銷量，則易得，20A1+10B1＞20A3+10B3＞20A2+10B2，故③正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖表的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）二項(xiàng)式（1+x）n（n∈N*）的展開式中x2的系數(shù)為21，則n＝7．【分析】求出展開式中含x2的項(xiàng)，進(jìn)而可以求解．【解答】解：展開式中含x2的項(xiàng)為C，則C，解得n＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），則為．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得z＝﹣1+2i，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模即可求出．【解答】解：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），則z＝﹣1+2i，則＝||＝||＝|﹣1﹣2i|＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2；直線與拋物線分別交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方），過點(diǎn)P作直線PQ的垂線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)H，則＝．【分析】求出焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，從而可得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，作PP′⊥l交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P′，易得直線過焦點(diǎn)，則從而可得出答案．【解答】解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l為x＝﹣1，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，如圖，作PP′⊥l交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)F，則|PF|＝|PP|，因?yàn)镻P′⊥l，所以PP′∥x軸，又直線的傾斜角為60°，所以∠FPP′＝60°，所以∠HPP′＝30°，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（5分）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，{bn}是公差為2的等差數(shù)列．若集合A＝{n∈N*|an＞bn}中恰有3個(gè)元素，則符合題意的b1的一個(gè)取值為﹣1（答案不唯一）．【分析】易得數(shù)列{an}逐項(xiàng)遞減，可先確定集合A＝{n∈N*|an＞bn}中的3項(xiàng)再列式求b1的范圍即可．【解答】解：易得數(shù)列{an}逐項(xiàng)遞減，{bn}逐項(xiàng)遞增，故可考慮，此時(shí)只需即可，即，解得﹣4≤b1＜0，故符合題意的b1的一個(gè)取值為﹣1（答案不唯一），故答案為：﹣1（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，屬于中檔題．15．（5分）已知四棱錐P﹣ABCD的高為1，△PAB和△PCD均是邊長為的等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四棱錐P﹣ABCD可能為正四棱錐；②空間中一定存在到P，A，B，C，D距離都相等的點(diǎn)；③可能有平面PAD⊥平面ABCD；④四棱錐P﹣ABCD的體積的取值范圍是（，]．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【分析】對(duì)①，分析當(dāng)四棱錐P﹣ABCD為正四棱錐時(shí)是否滿足條件即可；對(duì)②，設(shè)四棱錐P﹣ABCD的高為PO，分析可得點(diǎn)O滿足；對(duì)③，假設(shè)平面PAD⊥平面ABCD，再推導(dǎo)得出矛盾即可判斷；對(duì)④，設(shè)∠BOC＝θ，得出四棱錐P﹣ABCD的體積表達(dá)式再求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)PO⊥ABCD，則PO＝1，又因?yàn)椤鱌AB和△PCD均是邊長為的等邊三角形，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，且，對(duì)①，當(dāng)時(shí)，底面為正方形，且O為底面中心，此時(shí)四棱錐P﹣ABCD可能為正四棱錐，故①正確；對(duì)②，OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝1，故一定存在到P，A，B，C，D距離都相等的點(diǎn)O，故②正確；對(duì)③，當(dāng)平面PAD⊥平面ABCD時(shí)，因?yàn)镻O⊥ABCD，故PO?平面PAD，此時(shí)∠AOD＝π，又因?yàn)?，此時(shí)B，C重合，不滿足題意，③錯(cuò)誤；對(duì)④，設(shè)∠BOC＝θ，則＝，因?yàn)棣取剩?，π），故sinθ∈（0，1]，所以，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查面面垂直的判定，錐體體積的計(jì)算，錐體的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）在△ABC中，2cos2+2sincos＝．（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）若（a+c）＝2b，證明：a＝c．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得sin（B+）＝0，可求范圍B+∈（，），進(jìn)而可求B的值．（Ⅱ）由題意利用余弦定理可得b2＝a2+c2+ac，由已知可得b＝（a+c），聯(lián)立即可證明a＝c．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)樵凇鰽BC中，2cos2+2sincos＝，所以2×+sinB＝，可得sin（B+）＝0，因?yàn)锽∈（0，π），可得B+∈（，），所以B+＝π，所以B＝；（Ⅱ）證明：因?yàn)锽＝，可得cosB＝﹣，所以由余弦定理可得b2＝a2+c2+ac，①，因?yàn)椋╝+c）＝2b，所以b＝（a+c），②，聯(lián)立①②，可得（a2+2ac+c2）＝a2+c2+ac，整理可得（a﹣c）2＝0，所以a＝c，得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．17．（13分）2021年12月9日，《北京市義務(wù)教育體育與健康考核評(píng)價(jià)方案》發(fā)布．義務(wù)教育體育與健康考核評(píng)價(jià)包括過程性考核與現(xiàn)場考試兩部分，總分值70分．其中過程性考核40分，現(xiàn)場考試30分．該評(píng)價(jià)方案從公布之日施行，分學(xué)段過渡、逐步推開．現(xiàn)場考試采取分類限選的方式，把內(nèi)容劃分了四類，必考、選考共設(shè)置22項(xiàng)考試內(nèi)容．某區(qū)在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1100名男生和1000名女生作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中男生和女生選考乒乓球的比例分別為10%和5%，選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%．假設(shè)選考項(xiàng)目中所有學(xué)生選擇每一項(xiàng)相互獨(dú)立．（Ⅰ）從該區(qū)所有九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生選考乒乓球的概率；（Ⅱ）從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人選考1分鐘跳繩的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考試滿分8分．在該區(qū)一次九年級(jí)模擬考試中，樣本中選考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．記這次模擬考試中，選考乒乓球的所有學(xué)生的乒乓球平均分的估計(jì)值為μ1，其中男生的乒乓球平均分的估計(jì)值為μ2，試比較μ1與μ2的大?。ńY(jié)論不需要證明）【分析】（Ⅰ）分別求出樣本中男生和女生的人數(shù)，再由頻率估計(jì)概率即可得解；（Ⅱ）根據(jù)題意易得從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取1人和從該區(qū)九年級(jí)全體女生中隨機(jī)抽取1人選考跳繩的概率，再分2個(gè)男生選考跳繩和1個(gè)男生和1個(gè)女生選考跳繩結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式即可得解；（Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)公式分別求出μ1，μ2，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）樣本中男生的人數(shù)為1100×10%＝110人，樣本中女生的人數(shù)為1000×5%＝50人，設(shè)從該區(qū)所有九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生選考乒乓球?yàn)槭录嗀，則該學(xué)生選考乒乓球的概率；（Ⅱ）設(shè)從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取1人，選考跳繩為事件B，從該區(qū)九年級(jí)全體女生中隨機(jī)抽取1人，選考跳繩為事件C，由題意P（B）＝0.4，P（C）＝0.5，則從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人選考1分鐘跳繩的概率為；（Ⅲ），，所以μ1＞μ2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型概率的計(jì)算，屬于中檔題．18．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的菱形，AB＝BC＝，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面B1BD與棱A1C1交于點(diǎn)E．（Ⅰ）求證：BB1∥DE；（Ⅱ）若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線AB與平面B1BDE所成角的正弦值．條件①：平面ABC⊥平面AA1C1C；條件②：∠A1AC＝60°；條件③：A1B＝．【分析】（Ⅰ）由棱柱的性質(zhì)可得AA1∥BB1，即可得到BB1∥平面ACC1A1，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明即可；（Ⅱ）選條件①②，連接A1C，取AC中點(diǎn)O，連接A1O，BO，即可得到A1O⊥AC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到A1O⊥平面ABC，即可得到AlO⊥OB，再由BO⊥AC，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；選條件②③，連接A1C，取AC中點(diǎn)O，連接A1O，BO，依題意可得A1O⊥AC，再由勾股定理逆定理得到A1O⊥OB，即可得到AlO⊥平面ABC，接下來同①②；選條件①③，取AC中點(diǎn)O，連接BO，A1O，即可得到BO⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得到BO⊥平面ACC1A1，從而得到BO⊥OA1，再由勾股定理逆定理得到A1O⊥AO接下來同①②．【解答】（Ⅰ）證明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥BB1，又BB1?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1，又因?yàn)槠矫鍮1BDE∩平面ACC1A1＝DE，所以BB1∥DE；（Ⅱ）解：選條件①②．連接A1C，取AC中點(diǎn)O，連接A1O，BO．在坌形ACC1A1中，∠A1AC＝60°，所以△A1AC為等邊三角形．又因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，所以A1O⊥AC，又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，AlO?平面ACC1A1，且AlO⊥AC，所以AlO⊥平面ABC，OB?平面ABC，所以A1O⊥OB．又因?yàn)锳B＝BC，所以BO⊥AC．以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B、OC、OA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面B1BDE的一個(gè)法向量為＝（x1，y1，z1），則，所以，令，則y1＝3，x1＝1，故＝（1，3，﹣），又因?yàn)?，設(shè)直線AB與平面B1BDE所成角為θ，所以，所以直線AB與平面B1BDE所成角的正弦值為，選條件②③．連接A1C，取AC中點(diǎn)O，連接A1O，BO．在菱形ACC1A1中，∠A1AC＝60°，所以△A1AC為等邊三角形，又O為AC中點(diǎn)，故A1O⊥AC，且，又因?yàn)椋?，所以A1O⊥OB，又因?yàn)锳C∩OB＝O，所以A1O⊥平面ABC；以下同選①②．選條件①③，取AC中點(diǎn)O，連接BO，A1O，在△ABC中，因?yàn)锽A＝BC，所以BO⊥AC，且AO＝2，OB＝3，又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，所以BO⊥平面ACC1A1，因?yàn)镺A1?平面ACC1A1，所以BO⊥OA1，在Rt△BOA1中，，又因?yàn)镺A＝2，AA1＝4，所以，所以A1O⊥AO．以下同選①②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的平行關(guān)系以及直線與平面所成的角的求解，屬于中檔題．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝．（Ⅰ）若f'（1）＝，求a的值；（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，①求證：f（x）有唯一的極值點(diǎn)x1；②記f（x）的零點(diǎn)為x0，是否存在a使得≤e2？說明理由．【分析】（I）求得導(dǎo)函數(shù)，由，代入計(jì)算即可．（II）①求得，設(shè)，由函數(shù)性質(zhì)可知g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減進(jìn)而由g（e﹣a）＝1+ea＞0，g（1）＝2﹣a＜0，可得f′（x）＝0有（0，+∞）有唯一解，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）有唯一的極值點(diǎn)x1．②由題意，可得，假設(shè)存在a，使，進(jìn)而可知，由g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，g（e﹣a）＞0，則g（e2﹣a）≤0，求得a≤2，與已知矛盾，則假設(shè)錯(cuò)誤．【解答】解：（I）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以a＝1．（II）①f（x）的定義域是（0，+∞），，令f′（x）＝0，則．設(shè)，因?yàn)樵冢?，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．因?yàn)間（e﹣a）＝1+ea＞0，g（1）＝2﹣a＜0，所以g（x）在（0，+∞）上有唯一的零點(diǎn)，所以f′（x）＝0有（0，+∞）有唯一解，不妨設(shè)為．f′（x）與f（x）的情況如下，x（0，x1）x1（x1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）增極大值減所以f（x）有唯一的極值點(diǎn)x1．（2）由題意，lnx0＝﹣a，則，若存在a，使，則，所以e，因?yàn)間（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，g（e﹣a）＝1+ea＞0，則需g（e2﹣a）＝ea﹣2﹣1≤0，即a≤2，與已知矛盾．所以，不存在a＞2，使得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），圓O：x2+y2＝1經(jīng)過橢圓C的上、下頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦距；（Ⅱ）已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動(dòng)點(diǎn)（P，Q不在坐標(biāo)軸上），且直線PQ與x軸平行，線段AP的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)M，圓O在點(diǎn)Q處的切線與y軸交于點(diǎn)N．求線段MN長度的最小值．【分析】（Ⅰ）由題意知，a＝2，b＝1，從而求得c＝，即可得橢圓的方程與焦距；（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y1），取y1＞0，寫出線段AP的垂直平分線方程，從而知yM，由圓的切線方程可得yN，再結(jié)合基本不等式求出|yM﹣yN|的最小值，即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，a＝2，b＝1，∴c＝＝，∴橢圓C的方程為+y2＝1，焦距為2c＝2．（Ⅱ）由直線PQ與x軸平行，可設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y1），則，，根據(jù)橢圓與圓的對(duì)稱性，不妨取y1＞0，∵A（﹣2，0），P（x1，y1），∴直線AP的斜率為，線段AP的中點(diǎn)為（，），∴線段AP的垂直平分線為y﹣＝﹣（x﹣），令x＝0，則yM＝?+＝+＝+＝﹣y1，圓O在點(diǎn)Q處的切線方程為x2x+y1y＝1，令x＝0，則yN＝，∴線段MN長度為|yM﹣yN|＝|﹣y1﹣|＝y(tǒng)1+≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝，即y1＝時(shí)，等號(hào)成立，故線段MN長度的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A的切線方程，中垂線方程，利用基本不等式解決最值問題是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（15分）已知數(shù)列A：a1，a2，?，a2m，其中m是給定的正整數(shù)，且m≥2．令bi＝min{a2i﹣1，a2i}，i＝1，?，m，X（A）＝max{b1，b2，?，bm}，ci＝max{a2i﹣1，a2i}，i＝1，?，m，Y（A）＝min{c1，c2，?，cm}．這里，max{}表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，min{}表示括號(hào)中各數(shù)的最小值．（Ⅰ）若數(shù)列A：2，0，2，1，﹣4，2，求X（A），Y（A）的值；（Ⅱ）若數(shù)列A是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，且X（A）＝Y(jié)（A），求q的值；（Ⅲ）若數(shù)列A是公差d＝1的等差數(shù)列，數(shù)列B是數(shù)列A中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求X（B）﹣Y（B）的所有可能值（用m表示）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)定義寫出X（A），Y（A）即可；（Ⅱ）討論數(shù)列A的項(xiàng)各不相等或存在相等項(xiàng)，當(dāng)各項(xiàng)都不相等，根據(jù)題設(shè)bi，ci定義判斷{b1，b2，…，bm}∩{c1，c2，…，cm}＝?，當(dāng)存在相等項(xiàng)，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求q，進(jìn)而確定q的值；（Ⅲ）利用數(shù)列A的單調(diào)性結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論求X（B）﹣Y（B）的取值范圍，估計(jì)所有可能取值，再應(yīng)用分類討論求證X（B）﹣Y（B）對(duì)應(yīng)所有可能值均可取到，即可得結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)，b1＝0，b2＝1，b3＝﹣4，則X（A）＝max{0，1，﹣4}＝1，c1＝2，c2＝2，c3＝2，則Y（A）＝min{2，2，2}＝2，所以X（A）＝1，Y（A）＝2；（Ⅱ）若數(shù)列A任意兩項(xiàng)均不相等，當(dāng)i＝1，…，m時(shí)，bi≠ci；當(dāng)i，j∈{1，…，m}且i≠j時(shí)，{a2i﹣1，a2i}∩{a2j﹣1，a2j}＝?，又bi＝min{a2i﹣1，a2j}∈{a2i﹣1，a2i}，cj＝max{a2j﹣1，a2j