2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）一．填空題（1～6題每題4分，7～12題每題5分，本大題滿分54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{y|y＝log2x，x∈A}，則A∪B＝．2．（4分）已知x＝﹣2是方程的解，則實數(shù)a的值為．3．（4分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若冪函數(shù)f（x）＝xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則α＝．4．（4分）已知無窮等比數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，首項a1＝3，公比為q，且，則q＝．5．（4分）圓x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0的半徑等于．6．（4分）在（x﹣）10的二項展開式中，常數(shù)項等于．（結(jié)果用數(shù)值表示）7．（5分）已知角A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，則該三角形的最大內(nèi)角等于（用反三角函數(shù)值表示）．8．（5分）已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且對任意的x滿足f（x+2）＝f（x），若0＜x＜1時，有f（x）＝4x+3，則f（3.5）＝．9．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A，B為此拋物線上的異于坐標(biāo)原點O的兩個不同的點，滿足||+||+||＝12，且++＝，則p＝．10．（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足D1P與直線CC1所成角的大小為，則線段DP掃過的面積為．11．（5分）已知實數(shù)x，y滿足：x|x|+y|y|＝1，則|x+y+|的取值范圍是．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosx，若對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，則m+n的值的集合為．二．選擇題（每小題5分，滿分20分）13．（5分）設(shè)α：實數(shù)x滿足，β：實數(shù)x滿足|x﹣1|＜2，那么α是β的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（）＞（） B．f（x）的圖像關(guān)于直線x＝對稱 C．f（x）在[，]上單調(diào)遞增 D．過點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖像必有公共點15．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果﹣a1＜a9＜﹣a2，則（）A．S9＞0且S10＞0 B．S9＞0且S10＜0 C．S9＜0且S10＞0 D．S9＜0且S10＜016．（5分）已知a，b∈R，復(fù)數(shù)z＝a+2bi（其中i為虛數(shù)單位）滿足z?＝4，給出下列結(jié)論：①a2+b2的取值范圍是[1，4]；②+＝4；③的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；④+的最小值為2其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4三．解答題（本大題滿分76分）17．（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC＝BC＝4，AA1＝3，AB＝4．（1）求四棱錐A﹣BCC1B1的體積；（2）求直線AC1與平面ABB1A1所成的角的大?。?8．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（，）在以原點O為圓心半徑等1的圓上，將射線OA繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)α后交該圓于點B，設(shè)點B的橫坐標(biāo)為f（α），縱坐標(biāo)g（α）．（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果，求f（α）?g（α）的值．19．（14分）某地政府決定向當(dāng)?shù)丶{稅額在4萬元至8萬元（包括4萬元和8萬元）的小微企業(yè)發(fā)放補助款，發(fā)放方案規(guī)定：補助款隨企業(yè)納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%．設(shè)企業(yè)納稅額為x（單位：萬元），補助款為f（x）＝x2﹣bx+b+（單位：萬元），其中b為常數(shù)．（1）分別判斷b＝0，b＝1時，f（x）是否符合發(fā)放方案規(guī)定，并說明理由；（2）若函數(shù)f（x）符合發(fā)放方案規(guī)定，求b的取值范圍．20．（16分）已知橢圓Γ：+＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點P（0，t）．（1）若F1P⊥F2P，求t的值；（2）若點A在第一象限，滿足?＝7，求t的值；（3）在平面內(nèi)是否存在定點Q，使得?是一個確定的常數(shù)？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21．（18分）已知集合A＝{y|y＝2x，x∈N*}，B＝{y|y＝3x，x∈N*}．A∪B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}，Sn為數(shù)列{an}的前n項的和．（1）求S10；（2）如果am＝81，a2022＝t，求m和t的值；（3）如果n＝+k（k∈N*），求11Sn（用k來表示）．

2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）參考答案與試題解析一．填空題（1～6題每題4分，7～12題每題5分，本大題滿分54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{y|y＝log2x，x∈A}，則A∪B＝{0，1，2，4}．【分析】先求出集合B，然后結(jié)合集合的并集運算即可求解．【解答】解：因為A＝{1，2，4}，B＝{y|y＝log2x，x∈A}＝{0，1，2}，則A∪B＝{0，1，2，4}．故答案為：{0，1，2，4}．【點評】本題主要考查了集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）已知x＝﹣2是方程的解，則實數(shù)a的值為4．【分析】結(jié)合行列式的定義，把x＝﹣2代入即可直接求解．【解答】解：因為x＝﹣2是方程的解，所以﹣2×（﹣2）﹣a＝0，所以a＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了行列式的運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若冪函數(shù)f（x）＝xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則α＝﹣1．【分析】由已知冪函數(shù)的性質(zhì)可知，α為奇數(shù)，且α＜0，結(jié)合已知集合即可求解．【解答】解：因為α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，由冪函數(shù)f（x）＝xα為奇函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以α為奇數(shù)，且α＜0，所以α＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知無窮等比數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，首項a1＝3，公比為q，且，則q＝﹣．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式代入即可求解．【解答】解：因為無窮等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，公比為q，又，所以＝＝2，所以q＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和及數(shù)列的極限的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）圓x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0的半徑等于．【分析】把一般方程配成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解．【解答】解：由x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0得（x+2sinθ）2+（y+2cosθ）2＝3，所以圓的半徑為．故答案為：．【點評】本題主要考查了由圓的一般方程求解圓的半徑，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）在（x﹣）10的二項展開式中，常數(shù)項等于﹣252．（結(jié)果用數(shù)值表示）【分析】先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得含常數(shù)項．【解答】解：因為（x﹣）10的二項展開式的通項Tr+1＝＝（﹣1）rx10﹣2r，令10﹣2r＝0得r＝5，故常數(shù)項為﹣＝﹣252．故答案為：﹣252．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）已知角A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，則該三角形的最大內(nèi)角等于arccos（用反三角函數(shù)值表示）．【分析】由已知結(jié)合正弦定理先求出三邊之間的關(guān)系，然后結(jié)合大邊對大角及余弦定理可求．【解答】解：由正弦定理得，sinA：sinB：sinC＝a；b：c＝4：5：6，故可設(shè)a＝4x，b＝5x，c＝6x，則最大角為C，由余弦定理得，cosC＝＝＝，故C＝arccos．故答案為：arccos．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且對任意的x滿足f（x+2）＝f（x），若0＜x＜1時，有f（x）＝4x+3，則f（3.5）＝﹣5．【分析】由已知奇函數(shù)定義及周期性把所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入即可求解．【解答】解：由題意得f（﹣x）＝﹣f（x）且f（x+2）＝f（x），因為0＜x＜1時，有f（x）＝4x+3，則f（3.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣（2+3）＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)在求解函數(shù)值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A，B為此拋物線上的異于坐標(biāo)原點O的兩個不同的點，滿足||+||+||＝12，且++＝，則p＝4．【分析】先設(shè)點的坐標(biāo)，然后結(jié)合拋物線定義及向量的坐標(biāo)運算即可求解．【解答】解：由題意F（，0），準(zhǔn)線x＝，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），在準(zhǔn)線上的投影分別為A1，B1，所以＝（，y1），＝（，y2），＝（﹣，0），因為++＝，所以x1+x2﹣＝0，即x1+x2＝，因為||+||+||＝|AA1|+|BB1|+||＝（）+（）+＝x1+x2+＝3p＝12，所以p＝4，故答案為：4．【點評】本題主要考查了拋物線定義的應(yīng)用，還考查了向量的加減的坐標(biāo)運算，屬于中檔題，10．（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足D1P與直線CC1所成角的大小為，則線段DP掃過的面積為π．【分析】由CC1∥DD1，知D1P與直線CC1所成角為D1P與直線DD1所成角，即∠DD1P＝，而點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡是以DP為半徑的圓的四分之一，再求得DP的長，即可得解．【解答】解：因為CC1∥DD1，所以D1P與直線CC1所成角可轉(zhuǎn)化為D1P與直線DD1所成角，即∠DD1P＝，在Rt△D1DP中，DD1＝1，∠DD1P＝，所以DP＝，所以點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡是以為半徑的圓的四分之一，所以線段DP掃過的面積為π?＝π．故答案為：π．【點評】本題考查異面直線所成角，動點的軌跡問題，考查空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）已知實數(shù)x，y滿足：x|x|+y|y|＝1，則|x+y+|的取值范圍是（，2]．【分析】把等式x|x|+y|y|＝1變形，畫出圖形，利用線性規(guī)劃知識求出x+y+的范圍，取絕對值得答案．【解答】解：由x|x|+y|y|＝1，得或或，如圖，令z＝x+y+，得y＝﹣x+z﹣，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣x+z﹣與相切時，直線在y軸上的截距最大，等于，即z﹣＝，z＝；當(dāng)直線y＝﹣x+z﹣無限靠近y＝﹣x時，z﹣趨于0，即z趨于．∴|x+y+|的取值范圍是（，2]．故答案為：（，2]．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查平面中點的距離的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosx，若對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，則m+n的值的集合為{2}．【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)cosx1≤cosx2，分類討論當(dāng)cosx≥cosx2，cosx≤cosx1，cosx1＜cosx＜cosx2三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出m和n的值，即可得出m+n的值的集合．【解答】解：由題可知f（x）＝cosx，不妨設(shè)cosx1≤cosx2，對于m，對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，當(dāng)cosx≥cosx2時，方程可化為m＝2cosx﹣（cosx1+cosx2）有解，所以m≥cosx2﹣cosx1恒成立，所以m≥2；當(dāng)cosx≤cosx1時，同上；當(dāng)cosx1＜cosx＜cosx2時，方程可化為m＝cosx2﹣cosx1有解，所以m∈[0，2]，綜上得：m＝2；對于n，對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，當(dāng)cosx≥cosx2時，方程可化為n＝cosx2﹣cosx1有解，所以n∈[0，2]；當(dāng)cosx≤cosx1時，同上；當(dāng)cosx1＜cosx＜cosx2時，方程可化為n＝2cosx﹣（cosx1+cosx2）有解，所以cosx1﹣cosx2＜n＜cosx2﹣cosx1恒成立，所以n＝0，所以m+n的值的集合為{2}．故答案為：{2}．【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)cosx1≤cosx2，以及分類討論cosx與cosx1，cosx2的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類討論思想和邏輯分析能力．二．選擇題（每小題5分，滿分20分）13．（5分）設(shè)α：實數(shù)x滿足，β：實數(shù)x滿足|x﹣1|＜2，那么α是β的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】分別解分式不等式及絕對值不等式求出α，β，然后結(jié)合充分必要條件與集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求．【解答】解；由得（x﹣3）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜3，即α：A＝（﹣1，3），由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，即β：B＝（﹣1，3），因為A＝B，所以α是β的充要條件．故選：C．【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，還考查了分式不等式及絕對值不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（）＞（） B．f（x）的圖像關(guān)于直線x＝對稱 C．f（x）在[，]上單調(diào)遞增 D．過點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖像必有公共點【分析】由f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立得函數(shù)在x＝取得最大值，從而有asin+bcos＝，整理得a＝b，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析各選項即可判斷．【解答】解：由f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立得函數(shù)在x＝取得最大值，所以asin+bcos＝，整理得，a＝b，f（x）＝asinx+acosx＝sin（x+），A：f（）＝a，f（）＝sin（）＝，所以f（）＜f（），A錯誤；B：f（）＝0與函數(shù)在對稱軸處取得最值矛盾，B不正確；C：令≤x+，k∈Z，解得，，顯然不包含區(qū)間[，]，C不正確；由于f（x）＝sin（x+）的定義域R，最大值，故b＝a＜，從而點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖像必有公共點，D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的熟練掌握并能靈活應(yīng)用，屬于中檔題．15．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果﹣a1＜a9＜﹣a2，則（）A．S9＞0且S10＞0 B．S9＞0且S10＜0 C．S9＜0且S10＞0 D．S9＜0且S10＜0【分析】由已知結(jié)合等差熟練度通項公式及求和公式即可求解．法二：結(jié)合已知得a1+a9＞0，a2+a9＜0，然后利用等差數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，﹣a1＜a9＜﹣a2，則﹣a1＜8d+a1＜﹣d﹣a1，整理得，，S9＝9a1+36d＝9（a1+4d）＞0，S10＝10a1+45d＝5（2a1+9d）＜0．法二：由等差數(shù)列{an}中，﹣a1＜a9＜﹣a2，所以a1+a9＞0，a2+a9＜0，所以＞0，S10＝5（a1+a10）＝5（a2+a9）＜0．故選：B．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知a，b∈R，復(fù)數(shù)z＝a+2bi（其中i為虛數(shù)單位）滿足z?＝4，給出下列結(jié)論：①a2+b2的取值范圍是[1，4]；②+＝4；③的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；④+的最小值為2其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的運算可先求出a，b的方程，然后結(jié)合橢圓定義，橢圓性質(zhì)分別檢驗各命題即可判斷．【解答】解：z?＝（a+2bi）（a﹣2bi）＝a2+4b2＝4，所以＝1，所以點（a，b）是以2為長半軸，以1為短半軸的橢圓，且焦點為（，0），①a2+b2的幾何意義是橢圓上的點到原點的距離的平方，故最大值4，最小值1，取值范圍是[1，4]，正確；②由橢圓定義可知+＝4正確；③設(shè)過點（0，）的且與橢圓相切的直線方程y＝kx+，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8kx+16＝0，Δ＝64×5k2﹣64（1+4k2）＝0，則k＝1或k＝﹣1，而的幾何意義是橢圓上的點與（0，）的連線的斜率，故其取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），正確；④+＝（+）（）＝++＝，當(dāng)且僅當(dāng)且＝1，即b2＝，a2＝時取等號，錯誤．故選：C．【點評】本題以復(fù)數(shù)運算為載體，主要考查了橢圓的定義及性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．三．解答題（本大題滿分76分）17．（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC＝BC＝4，AA1＝3，AB＝4．（1）求四棱錐A﹣BCC1B1的體積；（2）求直線AC1與平面ABB1A1所成的角的大小．【分析】（1）根據(jù)題意，可得AC⊥面BCC1B1，即AC為四棱錐A﹣BCC1B1的高，由此結(jié)合棱錐體積公式計算即可；（2）根據(jù)題意，作C1M⊥A1B1，且與A1B1交于點M，連接AM，證明C1M⊥面ABB1A1，可得∠C1AM就是直線AC1與平面ABB1A1所成的角，求出∠C1AM的正弦值，即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC＝BC＝4，AB＝4，則有AC⊥BC，又由CC1⊥AC，可得AC⊥面BCC1B1，故AC為四棱錐A﹣BCC1B1的高，又由＝BC×CC1＝12，故四棱錐A﹣BCC1B1的體積V＝×AC＝16，（2）根據(jù)題意，作C1M⊥A1B1，且與A1B1交于點M，連接AM，又由三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，則AA1⊥面A1B1C1，則AA1⊥C1M，則C1M⊥面ABB1A1，所以∠C1AM就是直線AC1與平面ABB1A1所成的角，而C1M＝A1B1＝2，AC1＝＝5，所以sin∠C1AM＝＝，所以∠C1AM＝arcsin；故直線AC1與平面ABB1A1所成的角的大小為arcsin．【點評】本題考查直線與平面所成角的求法，涉及直線與平行垂直的判斷以及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（，）在以原點O為圓心半徑等1的圓上，將射線OA繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)α后交該圓于點B，設(shè)點B的橫坐標(biāo)為f（α），縱坐標(biāo)g（α）．（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果，求f（α）?g（α）的值．【分析】（1）由已知結(jié)合三角函數(shù)定義可求f（α），g（α），然后結(jié)合和差角公式展開后，結(jié)合同角平方關(guān)系可求；（2）由已知結(jié)合和差角公式展開化簡，然后結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡，代入可求．【解答】解：（1）由題意得，f（α）＝cos（），g（α）＝sin（），若sinα＝m，0＜m＜1，則f（α）+g（α）＝（cosα﹣sinα）+（cosα+sinα）＝cosα＝；（2）由得cos（）＝2sin（），整理得，cosα＝﹣3sinα，則f（α）?g（α）＝cos（）?sin（）＝sin（2）＝cos2α＝＝×＝．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)定義，還考查了和差角公式，二倍角公式在求解三角函數(shù)值中的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（14分）某地政府決定向當(dāng)?shù)丶{稅額在4萬元至8萬元（包括4萬元和8萬元）的小微企業(yè)發(fā)放補助款，發(fā)放方案規(guī)定：補助款隨企業(yè)納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%．設(shè)企業(yè)納稅額為x（單位：萬元），補助款為f（x）＝x2﹣bx+b+（單位：萬元），其中b為常數(shù)．（1）分別判斷b＝0，b＝1時，f（x）是否符合發(fā)放方案規(guī)定，并說明理由；（2）若函數(shù)f（x）符合發(fā)放方案規(guī)定，求b的取值范圍．【分析】（1）把b＝0，b＝1分別代入已知函數(shù)中，檢驗兩個條件是否滿足即可判斷；（2）由題意得f（x）＝x2﹣bx+b+在[4，8]上單調(diào)遞增且f（x）在[4，8]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：（1）當(dāng)b＝0時，f（x）＝x2+在[4，8]上單調(diào)遞增，因為4≤x≤8，4.5≤x2+≤16.5，符合發(fā)放方案規(guī)定，當(dāng)b＝1時，f（x）＝x2﹣x+，當(dāng)4≤x≤8時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在[4，8]上單調(diào)遞增，f（4）＝＜2，不符合發(fā)放方案規(guī)定；（2）若函數(shù)f（x）符合發(fā)放方案規(guī)定，則f（x）＝x2﹣bx+b+在[4，8]上單調(diào)遞增且f（x）在[4，8]上恒成立，由f（x）在[4，8]上恒成立，整理得，x2﹣（2+4b）x+4b+2≥0在[4，8]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，b，所以b的范圍為{b|b}．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．20．（16分）已知橢圓Γ：+＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點P（0，t）．（1）若F1P⊥F2P，求t的值；（2）若點A在第一象限，滿足?＝7，求t的值；（3）在平面內(nèi)是否存在定點Q，使得?是一個確定的常數(shù)？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）由橢圓的方程可得左、右焦點的坐標(biāo)，由F1P⊥F2P，則＝0，代入數(shù)量積中可得t的值；（2）設(shè)A的坐標(biāo)，代入橢圓的方程及數(shù)量積中求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的方程，令x＝0可得t的值；（3）假設(shè)存在Q，分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積，整理后恒成立可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的值，即求出Q的坐標(biāo)及數(shù)量積的值．【解答】解：（1）由橢圓Γ：+＝1的方程可知：c2＝a2﹣b2＝12﹣8＝4，所以c＝2，即左焦點F1（﹣2，0），右焦點F2（2，0），因為P（0，t），若F1P⊥F2P，則＝0，即（2，t）?（﹣2，t）＝0，整理可得：t2＝4，所以t＝±2，所以t的值±2；（2）設(shè)A（x1，y1），因為?＝7，由（1）可得（x1+2，y1）（x1﹣2，y1）＝7，所以x12﹣4+y12＝7，即x12+y12＝11，而+＝1，所以x12+8?（1﹣）＝11，x1＞0，解得x1＝3，y1＝，所以直線AB的方程為y＝（x+2），令x＝0，可得y＝，即t的值為；（3）顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程y＝k（x+2）（k≠0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立，整理可得整理可得：（2+3k2）x2+12k2x+12（k2﹣2）＝0，可得x1+x2＝，x1x2＝，所以＝（x1﹣a，y1﹣b）?（x2﹣a，y2﹣b）＝（x1﹣a）（x2﹣a）+（kx1+2k﹣b）（kx2+2k﹣b）＝（1+k2）x1x2+（2k2﹣bk﹣a）（x1+x2）+4k2﹣4kb+b2+a2＝（1+k2）+（2k2﹣bk﹣a）+4k2﹣4kb+b2+a2＝＝λ，則（3a2+3b2+12a﹣4﹣3λ）k2﹣8kb+2（a2+b2﹣12﹣λ）＝0恒成立，則解得a＝﹣，b＝0，λ＝﹣，這時Q（﹣，0