2022-2023學(xué)年江蘇省南京市浦鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市浦鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?則(A）原點(diǎn)O在內(nèi)(B)的面積是1(C)內(nèi)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離有最大值(D)若點(diǎn)P(x0,y0)，則x0+y0≠0參考答案：D2.給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時(shí)相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時(shí)與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a⊥b④異面直線a,b所成的角為，過空間一定點(diǎn)P，作直線L，使L與a,b所成的角均為，這樣的直線L有兩條

其中真命題是(

)A.①③

B.①

C.③④

D.②④參考答案：B①若AC、BD不異面，則ABCD共面,這與AB、CD異面矛盾②將其中一條異面直線平移與另一條相交確定一個(gè)平面，則二直線垂直同一個(gè)面。③沒有a在α內(nèi)的條件，不符合三垂線定理

④三條3.等差數(shù)列中，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（

）A、14

B、15

C、16

D、18參考答案：C4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的體積是（）A.8π B.12π C.14π D.16π參考答案：A【詳解】由幾何體的三視圖可知，此幾何體為半徑為2的球體的，所以.考點(diǎn)：幾何體的三視圖及球的體積公式.5.集合，集合Q=，則P與Q的關(guān)系是（）P=Q

B．PQ

C．

D．參考答案：C6.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是

A．

B．C．

D．參考答案：C略7.食物相克是指事物之間存在著相互拮抗、制約的關(guān)系，若搭配不當(dāng)，會(huì)引起中毒反應(yīng)．已知蜂蜜與生蔥相克，鯉魚與南瓜相克，螃蟹與南瓜相克．現(xiàn)從蜂蜜、生蔥、南瓜、鯉魚、螃蟹五種食物中任意選取兩種，則它們相克的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：C已知蜂蜜與生蔥相克，鯉魚與南瓜相克，螃蟹與南瓜相克．現(xiàn)從蜂蜜、生蔥、南瓜、鯉魚、螃蟹五種食物中任意選取兩種，基本事件總數(shù)n==10，∴它們相克的概率為p=．故選：C．

8.（2016?沈陽一模）設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a2=7，a4=3，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn＞0最大的自然數(shù)n是（）A．9 B．10 C．11 D．12參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：an=﹣2n+11，可見{an}是減數(shù)列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，再利用前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，∵a2=7，a4=3，∴，解得d=﹣2，a1=9．∴an=9﹣2（n﹣1）=﹣2n+11，∴數(shù)列{an}是減數(shù)列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，于是，，，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9.實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則2x﹣y的最小值為（）A．16 B．4 C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．

【專題】計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出可行域，先求x﹣y的最小值，再求2x﹣y的最小值．【解答】解；畫出可行域令z=x﹣y，則可變形為y=x﹣z，作出對(duì)應(yīng)的直線，將直線平移至點(diǎn)（4，0）時(shí)，直線縱截距最小，z最大；平移至點(diǎn)（0，1）時(shí)，直線縱截距最大，z最小將（0，1）代入z=x﹣y得到z的最小值為﹣1∴2x﹣y的最小值為故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是線性規(guī)劃問題．畫出不等式組的可行域、將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義、數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)的最值．10.下列命題正確的是

（

）

A．命題的否定是“”

B．已知是“”的充分不必要條件

C．已知線性回歸方程是，當(dāng)變量x的值為5時(shí)，其預(yù)報(bào)值為13

D．若，則不等式成立的概率是參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知兩個(gè)等比數(shù)列滿足，，若數(shù)列唯一，則=

．參考答案：12.已知f（x）是定義在[1，+∞]上的函數(shù)，且f（x）=，則函數(shù)y=2xf（x）﹣3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

．參考答案：11【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令函數(shù)y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，從而化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而解得．【解答】解：令函數(shù)y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，函數(shù)f（x）先增后減，在x=時(shí)取得最大值1，而y=在x=時(shí)也有y=1；當(dāng)x∈[2，22）時(shí)，f（x）=f（），在x=3處函數(shù)f（x）取得最大值，而y=在x=3時(shí)也有y=；當(dāng)x∈[22，23）時(shí)，f（x）=f（），在x=6處函數(shù)f（x）取得最大值，而y=在x=6時(shí)也有y=；…，當(dāng)x∈[210，211）時(shí)，f（x）=f（），在x=1536處函數(shù)f（x）取得最大值，而y=在x=1536時(shí)也有y=；綜合以上分析，將區(qū)間（1，2015）分成11段，每段恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有11個(gè)交點(diǎn)，即有11個(gè)零點(diǎn)．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.若對(duì)于任意的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.參考答案：14.設(shè)函數(shù)，則將y=f（x）的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為．參考答案：π考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)題意，這旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)半球與一個(gè)圓錐組成，求出半球的體積與圓錐的體積即可得到結(jié)果．解答：解：由題意可知函數(shù)，則將y=f（x）的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是由一個(gè)半球與一個(gè)圓錐組成，球的半徑為：1，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以所求幾何體的體積為：=π．故答案為：π點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的求法，判斷幾何體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意準(zhǔn)確利用公式進(jìn)行計(jì)算．15.用一個(gè)邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，半徑為1的雞蛋（視為球體）放入其中，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為

參考答案：略16.．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為

；參考答案：略17.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性與極值；（3）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在上的最值．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k=f'（1），故可求出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系即可求出，（3）由（2）值知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極小值就是最小值，再根據(jù)端點(diǎn)值得到函數(shù)的最大值．解答： 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=x﹣2lnx，∴，∴k=f'（1）=﹣1，又f（1）=1，故切線方程為：y﹣1=﹣1（x﹣1）即y=﹣x+2．（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=1﹣=①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，f極小=f（a）=a﹣alna，無極大值．（3）因?yàn)楫?dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上遞減，在（2，3]上遞增．最小值為f（2）=2﹣2ln2因?yàn)閒（1）=1，f（3）=3﹣2ln3．f（1）＞f（3）．所以最大值為1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即切線方程的求法，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值最值的關(guān)系，屬于中檔題19.目前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境.我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴(yán)重污染環(huán)境.垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失.2020年5月1日起，北京市將實(shí)行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：

A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從A、B、C、D、E這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（Ⅱ）從A、B、C、D、E這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū)，記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）基本事件的總數(shù)為5，隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)為2，從而可得隨機(jī)事件的概率.（Ⅱ）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．【詳解】解：（Ⅰ）記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件.由題意，有兩個(gè)小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，所以.

（Ⅱ）因?yàn)榛厥绽?噸廢紙可再造出0.8噸好紙，所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有，共2個(gè)小區(qū).的所有可能取值為0，1，2.；；.所以的分布列為:012

．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)應(yīng)利用排列組合的方法來考慮，另外，隨機(jī)變量的分布列可借助于常見分布來計(jì)算概率.20.某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計(jì)得知，如果將樓房建為x（x≥12）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q（x）=3000+50x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費(fèi)最小值是多少？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=）參考答案：【考點(diǎn)】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】【方法一】：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，由平均建筑費(fèi)用Q（x）=3000+50x，平均購地費(fèi)用==；代入即得f（x），（其中x≥12，x∈N）；因?yàn)閒（x）=50x++3000，可以應(yīng)用基本不等式法，即a+b≥（a＞0，b＞0）求得f（x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值；【方法二】：同方法一可得因?yàn)閒（x）=50x++3000，用求導(dǎo)法，對(duì)f（x）求導(dǎo)，令f′（x）=0，從而得x及f（x）的最小值．【解答】解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，依題意得（x≥12，x∈N）【方法一】因?yàn)?；?dāng)且僅當(dāng)上式取”=”；因此，當(dāng)x=20時(shí)，f（x）取得最小值5000（元）．所以，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)最小值為5000元【方法二】因?yàn)椋涣頵′（x）=0（其中x＞0），得x=20；當(dāng)0＜x＜20時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x＞20時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)，f（x）有最小值，為f（20）=5000；即為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)最小值為5000元．21.已知函數(shù)f（x）=k（x﹣1）ex+x2．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)k=﹣，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；（Ⅱ）若在y軸的左側(cè)，函數(shù)g（x）=x2+（k+2）x的圖象恒在f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）圖象的上方，求k的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)k≤﹣l時(shí)，求函數(shù)f（x）在[k，1]上的最小值m．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）k=﹣時(shí)，f（x）=﹣（x﹣1）ex+x2，得f′（x）=x（2﹣ex﹣1），從而求出函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=kex﹣x﹣k，討論當(dāng)k≤0時(shí)，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，當(dāng)k＞1時(shí)，從而綜合得出k的范圍；（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，則g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1時(shí)取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，討論當(dāng)﹣2＜k≤﹣1時(shí)，當(dāng)k=﹣2時(shí)，當(dāng)k＜﹣2時(shí)的情況，從而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）k=﹣時(shí)，f（x）=﹣（x﹣1）ex+x2，∴f′（x）=x（2﹣ex﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線方程為y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，∵x＜0，∴kex﹣x﹣k＞0，令h（x）=kex﹣x﹣k，∴h′（x）=kex﹣1，當(dāng)k≤0時(shí)，h（x）在x＜0時(shí)遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，h（x）在x＜0時(shí)遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，當(dāng)k＞1時(shí)，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）遞減，在（﹣lnk，0）遞增，∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合題意，綜上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，則g′（k）=﹣﹣1≤0，g（k）在k=﹣1時(shí)取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（﹣）＞k，當(dāng)﹣2＜k≤﹣1時(shí)，x2=ln（﹣）＞0，f（x）的最小值為m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，當(dāng)k=﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[k，1]上遞減，m=f（10=1，當(dāng)k＜