奧數(shù)題：不定方程

不定方程知識梳理:一、知識點(diǎn)說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程.中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究.宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.考點(diǎn)說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中.在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個工具解題。二、不定方程基本定義1、定義：不定方程（組）是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程（組）2、不定方程的解：使不定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解；②有解時確定解的個數(shù)；③求出所有的解三、不定方程的試值技巧1、奇偶性2、整除的特點(diǎn)（能被2、3、5等數(shù)字整除的特性）3、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）例題：模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程【例1】求方程2x-3y=8的整數(shù)解練習(xí)：求方程2x+6y=9的整數(shù)解【例2】求方程4x+10y=34的正整數(shù)解練習(xí)：求方程3x+5y=12的整數(shù)解模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程【例3】求不定方程7x+11y=1288的正整數(shù)解有多少組?【例4】求方程3x+5y=31的整數(shù)解練習(xí)：解方程7x+4y=89,（其中x、y均為正整數(shù)）模塊三、解不定方程組【例5】解方程1800【例5】解方程1800a+1200b+800c=a+b+c=1516000（其中a、b、c均為正整數(shù)）練習(xí)：解不定方程/5%+3y+3Z=100（其中x、y、z練習(xí)：解不定方程/%+y+z=100二元一次方程組的解法代入消元法代入法是通過等量代換，消去方程組中的一個未知數(shù)，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求得一個未知數(shù)的值，然后再求出被消去未知數(shù)的值，從而確定原方程組的解的方法.代人消元法是解二元一次方程組的基本方法之一.“消元”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中轉(zhuǎn)化的重要思想，代人法不僅在解二元一次方程組中適用，也是今后解其他方程（組）經(jīng)常用到的方法.用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)，例如y，用另一個未知數(shù)如％的代數(shù)式表示出來，即寫成y=a%+b的形式；②y=ax+b代入另一個方程中，消去y，得到一個關(guān)于％的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出％的值；④回代求解：把求得的％的值代入y=ax+b中求出y的值，從而得出方程組的解.⑤把這個方程組的解寫成r=a的形式.加減消元法加減法是消元法的一種，也是解二元一次方程組的基本方法之一.加減法不僅在解二元一次方程組中適用，也是今后解其他方程（組）經(jīng)常用到的方法.用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變換系數(shù)：把一個方程或者兩個方程的兩邊都乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個方程里的某一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；②加減消元：把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程;③解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；④回代：將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤把這個方程組的解寫成［x=a的形式.例6：解下列方程練習(xí)：解下列方程⑵[4x-5y=1[4x-y=13一、填空題.已知△和☆分別表示兩個自然數(shù),并且a入&r,△+☆二 .A+☆=37 .箱子里有乒乓球若干個，其中25%是一級品|五分之幾是二級品，其余91個是三級品.那么，箱子里有乒乓球個..某班同學(xué)分成若干小組去值樹,若每組植樹n棵，且n為質(zhì)數(shù),則剩下樹苗20棵;若每組植樹9棵,則還缺少2棵樹苗.這個班的同學(xué)共分成了組..不定方程2x+3y+7z=23的自然數(shù)解是.王老師家的電話號碼是七位數(shù),將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得9063;將前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2529.王老師家的電話號碼是.TOC\o"1-5"\h\z2 5 7.有三個分子相同的最簡假分?jǐn)?shù)，化成帶分?jǐn)?shù)后為a上,b-,c7.已知a,b,c3 68都小于10,a,b,c依次為,,..全家每個人各喝了一滿碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的1 1-和全部咖啡（若干碗）的1.那么，全家有 口人.4 6 1.某單位職工到郊外植樹，其中1的職工各帶一個孩子參加，男職工每人種313棵樹,女職工每人種10棵,每個孩子種6棵,他們共種了216棵樹,那么其中有女職工人..將一個棱長為整數(shù)（單位:分米）的長方體6個面都涂上紅色，然后把它們?nèi)壳谐衫忾L為1厘米的小正方體.在這些小正方體中，6個面都沒涂紅色的有12塊，僅有2面涂紅色的有28塊，僅有1面涂紅色的有塊.原來長方體的體積是 立方分米..李林在銀行兌換了一張面額為100元以內(nèi)的人民幣支票，兌換員不小心將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看錯的數(shù)字支付.李林將其款花去3.50元之后,發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍,于是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回.那么，李林應(yīng)退回的款額是元.二、解答題.一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等，起初每輛汽車乘22人,結(jié)果剩下一人未上車;如果有一輛汽車空車開走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上.已知每輛汽車最多只能容納32人,求起初有多少輛汽車?有多少旅客？.小王用50元錢買40個水果招待五位朋友.水果有蘋果、梨子和杏子三種,每個的價格分別為200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到蘋果,并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同,試問他能否實(shí)現(xiàn)自己的愿望？.一次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了22支鉛筆作為獎品發(fā)給一、二、三等獎的學(xué)生，原計(jì)劃發(fā)給一等獎每人6支,二等獎每人3支,三等獎每人2支,后來改為一等獎每人9支,二等獎每人4支,三等獎每人1支，問：獲一、二、三等獎的學(xué)生各幾人？.采購