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文檔簡介

上海市市東中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù),若是的導函數(shù),則函數(shù)在原點附近的圖象大致是(

A

B

C

D參考答案:A2.已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為,這兩條曲線在第一象限的交點為,是以為底邊的等腰三角形。若,橢圓與雙曲線的離心率分別為,則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案:知識點:橢圓雙曲線H5H6B解析:設橢圓的長軸長為2a,雙曲線的實軸長為2m,則,所以,又由三角形性質知2c+2c>10,由已知2c<10,c<5,所以5>,1<,,所以,則選B.【思路點撥】遇到圓錐曲線上的點與其焦點關系時通常利用其定義進行轉化求解.3.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為()A. B. C. D.參考答案:A考點:球內接多面體;棱柱、棱錐、棱臺的體積.專題:壓軸題.分析:先確定點S到面ABC的距離,再求棱錐的體積即可.解答:解:∵△ABC是邊長為1的正三角形,∴△ABC的外接圓的半徑∵點O到面ABC的距離,SC為球O的直徑∴點S到面ABC的距離為∴棱錐的體積為故選A.點評:本題考查棱錐的體積,考查球內角多面體,解題的關鍵是確定點S到面ABC的距離.4.設集合,則M∩N的所有子集個數(shù)為(

)A.3

B.4

C.7

D.8參考答案:B5.已知為正實數(shù),則A.

B.

C.

D.參考答案:D略6.已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x).當x≠0時,f′(x)+>0.若a=f(),b=﹣2f(﹣2),c=(ln)f(ln),則a、b、c的大小關系是(

)A.a<b<C B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b參考答案:D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.【專題】導數(shù)的概念及應用;導數(shù)的綜合應用.【分析】根據(jù)式子得出F(x)=xf(x)為R上的偶函數(shù),利用f′(x)+>0.當x>0時,x?f′(x)+f(x)>0,當x<0時,x?f′(x)+f(x)<0,判斷單調性即可證明a,b,c的大?。窘獯稹拷猓骸叨x域為R的奇函數(shù)y=f(x),∴F(x)=xf(x)為R上的偶函數(shù),F(xiàn)′(x)=f(x)+xf′(x)∵當x≠0時,f′(x)+>0.∴當x>0時,x?f′(x)+f(x)>0,當x<0時,x?f′(x)+f(x)<0,即F(x)在(0,+∞)單調遞增,在(﹣∞,0)單調遞減.F()=a=f()=F(ln),F(xiàn)(﹣2)=b=﹣2f(﹣2)=F(2),F(xiàn)(ln)=c=(ln)f(ln)=F(ln2),∵ln<ln2<2,∴F(ln)<F(ln2)<F(2).即a<c<b故選:D【點評】本題考查了導數(shù)在函數(shù)單調性的運用,根據(jù)給出的式子,得出需要的函數(shù),運用導數(shù)判斷即可,屬于中檔題.7.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=60,則2a﹣a10的值為()A.6 B.8 C.12 D.13參考答案:C【考點】等差數(shù)列的通項公式.【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求解.【解答】解:在等差數(shù)列{an}中,∵a1+3a8+a15=60,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=5(a1+7d)=60,∴a1+7d=12,2a﹣a10=2(a1+8d)﹣(a1+9d)=a1+7d=12.故選:C.8.焦點在x軸上的橢圓方程為+=1(a>b>0),短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形,該三角形內切圓的半徑為,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.參考答案:C【考點】橢圓的簡單性質.【分析】根據(jù)橢圓的性質AB=2c,AC=AB=a,OC=b,根據(jù)三角形面積相等求得a和c的關系,由e=,即可求得橢圓的離心率.【解答】解:由橢圓的性質可知:AB=2c,AC=AB=a,OC=b,SABC=AB?OC=?2c?b=bc,SABC=(a+a+2c)?r=?(2a+2c)×=,∴=bc,a=2c,由e==,故答案選:C.9.已知集合,,則(

)A、{|0<<}B、{|<<1}C、{|0<<1}D、{|1<<2}參考答案:【知識點】集合A1【答案解析】B解析:解:由題意可求出,所以B正確.【思路點撥】分別求出集合的取值,再求交集.10.若全集U={x∈R|x2≤4}

A={x∈R||x+1|≤1}的補集CuA為A|x∈R|0<x<2|

B

|x∈R|0≤x<2|C|x∈R|0<x≤2|

D

|x∈R|0≤x≤2|

參考答案:C全集,,所以,選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中,角的頂點在原點,始邊與軸的非負半軸重合,終邊過點,則________.參考答案:【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義、三角恒等變等基礎知識;考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力等;考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想等;考查邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等.【試題簡析】解法一:由已知可得,所以.解法二:由已知可得,所以.【變式題源】(2015全國卷Ⅰ·理5)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=(A)

(B)

(C)

(D)12.如圖,在梯形ABCD,,,,,且,則的值為______.參考答案:【分析】將轉化為用來表示,解方程求得的值.【詳解】依題意,,解得.

13.函數(shù)f(x)=lg(x2﹣ax﹣1)在區(qū)間(1,+∞)上為單調增函數(shù),則a的取值范圍是

.參考答案:a≤0【考點】復合函數(shù)的單調性.【專題】計算題.【分析】利用復合函數(shù)的單調性遵循的規(guī)律:同增異減判斷出t的單調性;對數(shù)的真數(shù)大于0得到不等式恒成立;利用二次函數(shù)的單調性與對稱軸有關及不等式恒成立轉化為最值問題.【解答】解:令t=x2﹣ax﹣1則y=lgt∵y=lgt在(0,+∞)遞增又∵函數(shù)f(x)=lg(x2﹣ax﹣1)在區(qū)間(1,+∞)上為單調增函數(shù),∴t=x2﹣ax﹣1在區(qū)間(1,+∞)上為單調增函數(shù),且

x2﹣ax﹣1>0在(1,+∞)恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案為a≤0【點評】本題考查復合函數(shù)的單調性遵循的規(guī)律:同增異減、考查二次函數(shù)的單調性與對稱軸有關、考查不等式恒成立轉化為函數(shù)最值的范圍.14.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是________.參考答案:略15.設A=37+C7235+C7433+C763,B=C7136+C7334+C7532+1,則A﹣B=.參考答案:128【考點】二項式定理的應用.【專題】計算題;二項式定理.【分析】作差,利用二項式定理,即可得出結論.【解答】解:∵A=37+C7235+C7433+C763,B=C7136+C7334+C7532+1,∴A﹣B=37﹣C7136+C7235﹣C7334+C7433﹣C7532+C763﹣1=(3﹣1)7=128.故答案為:128.【點評】本題考查二項式定理的運用,考查學生的計算能力,屬于中檔題.16.函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x的減區(qū)間是.參考答案:

【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用.【分析】由三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=sin(2x+)+.結合正弦函數(shù)圖象的性質來求其單調減區(qū)間.【解答】解:f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+(1+cos2x)=sin(2x+)+.所以2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z.所以函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x的減區(qū)間是kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.故答案是:.【點評】本題考查二倍角公式,涉及三角函數(shù)的單調性,屬基礎題.17.從一堆蘋果中任取了20只,并得到它們的質量(單位:克)數(shù)據(jù)分布表如下:分組頻數(shù)12310

1則這堆蘋果中,質量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的

%.參考答案:答案:70解析:由表中可知這堆蘋果中,質量不小于120克的蘋果數(shù)為:故約占蘋果總數(shù)的.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線L的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)求曲線C的直角坐標方程和直線L的普通方程;(2)設點P(m,0),若直線L與曲線C交于A,B兩點,且|PA|?|PB|=1,求實數(shù)m的值.參考答案:【考點】參數(shù)方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標方程.【分析】(1)曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ,化為ρ2=2ρcosθ,利用可得直角坐標方程.直線L的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),把t=2y代入+m消去參數(shù)t即可得出.(2)把(t為參數(shù)),代入方程:x2+y2=2x化為:+m2﹣2m=0,由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|?|PB|=t1t2,即可得出.【解答】解:(1)曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ,化為ρ2=2ρcosθ,可得直角坐標方程:x2+y2=2x.直線L的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),消去參數(shù)t可得.(2)把(t為參數(shù)),代入方程:x2+y2=2x化為:+m2﹣2m=0,由△>0,解得﹣1<m<3.∴t1t2=m2﹣2m.∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|,∴m2﹣2m=±1,解得,1.又滿足△>0.∴實數(shù)m=1,1.19.(14分)

已知ΔABC三個頂點的直角坐標分別為A(3,4)、B(0,0)、(,0).

(1)若,求的值;(2)若,求sin∠A的值.參考答案:解析:(1),由

,即-3(c-3)+(-4)2=0。有c=(2)當c=5時,進而20.已知函數(shù),。

(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)若函數(shù)在[1,+∞)上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍;

(3)記函數(shù),若的最小值是-6,求函數(shù)的解析式。參考答案:(1)若,則函數(shù)(),所以()令,得,解得,令,得,解得,所以當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(,),單調遞減區(qū)間為(0,)。(2)若在[1,+∞)上單調遞增,則,,

即,,也即,。

令(),則,

所以在[1,+∞)上單調遞減,從而,因此。(3)因為,所以()。

當時,,在(0,+∞)上單調遞增,無最小值;

當時,令,得,

令,得,令,得。

所以在(0,)單調遞減,在(,+)單調遞增。

所以。

由已知,的最小值是-6,所以,,兩邊平方得,,即,解得。因此函數(shù)=。21.(本題滿分14分)(原創(chuàng)題)已知數(shù)列、滿足:,,

(Ⅰ)求(Ⅱ)求使成立的正整數(shù)的集合.參考答案:解:(1)---------,------------------------

0.70(2),由得即-----------------------------------------當為奇數(shù)時,,即得-------當為偶數(shù)時,,即得-------所以正整數(shù)的集合為-------------------------

0.6022.已知函數(shù)(I)求f(x)的單調區(qū)間;(II)對任意的,恒有,求正實數(shù)λ的取值范圍.參考答案:考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題:導數(shù)的綜合應用.分析:(I)先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ(x),再對字母a分類討論,在函數(shù)的定義域內解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出單調區(qū)間.(II)根據(jù)第一問的單調性,知f(x)在[1,2]上為減函數(shù).若x1=x2,則原不等式恒成立;若x1≠x2,不妨設1≤x1<x2≤2,則f(x1)>f(x2),,所以原不等式進行化簡整理得f(x1)﹣≤f(x2)﹣對任意的,恒成立,令g(x)=f(x)﹣,轉化成研究g(x)在[1,2]的單調性,再利用導數(shù)即可求出正實數(shù)λ的取值范圍.解答:解:(Ⅰ)f′(x)=x﹣(2a+2)+=(x>0)令f′(x)=0,得x1=2a+1,x2=1

…(1分)①a=0時,f′(x)=,所以f(x)增區(qū)間是(0,+∞);②a>0時,2a+1>1,所以f(x)增區(qū)間是(0,1)與(2a+1,+∞),減區(qū)間是(1,2a+1)③﹣<a<0時,0<2a+1<1,所以f(x)增區(qū)間是

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