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文檔簡介
2015考研數學概率論零基 講主講::名師,博士,著名考研數學輔導專家,教育部“國家精品課程建設骨育《入學統(tǒng)一考試數學考試參考書(大綱解析》編者之一,2007年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會受邀專家(15分鐘主旨。首創(chuàng)“題源教學法”,對 第一 第二講一維隨量及其概率分 第三講隨量的數字特 第一 隨機與概 ②隨機試驗每一最簡單、最基本的結果稱為基 或樣本點,記為 【注】①等可能:對于可能結果1,2,,n,我們找不到任何理由認為其中某一結果i更易發(fā)生,則只好(客觀)認為所有結果在試驗中發(fā)生的可能性一樣.②如果古典概型的基本總數為n,A包含k個基本,即有利于A的基kA 基 基 總n 類方法,第一類方法中有 種方法,第二類方法中有種方法,……,第n類方法中有mn種方法,則完成此事共有m1m2mn種辦法法,……,第n步中有mn種方法,則完成此事共有m1m2mn種辦法.
.當mnnPmPnn!,稱為全排列
(n④組合:從n個不同元素中取出m(mn個元素并成一組,叫組合. 叫做組合數,記作Cnn
引例如果(1)樣本空間(基本空間)Ω是一個可度量的幾何區(qū)域;(2)每個樣本點(基本)ΩAA的幾何在幾何概型隨機試驗中,如果SA是樣本空間Ω一個可度量的子區(qū)域,則A=“樣PA)SA的幾何測的幾何測2】在區(qū)間(0,1)求逆P(A)1P(減法P(A-B)=P(A)加法
5【注】①設A1,A2,…,An是兩兩互不相容的,則
i i②若A1,A2,…,An相互獨立,則
Ai)1[1P(Aii iP(B|A)P(
條件概率P(B|A)1P(B|P(BC|A)1P(B|A-P(BC|A)>0n如果AiAiAj(i
BAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aii in如果AiAiAj(i
P(
|B)P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,nP(Ai)(B|Ain“在A發(fā)生的條件下”或“已知A發(fā)生”等等,均要考慮條件概率.與某些前提條件(或原因、因素或前一階段結果)Ai相聯(lián)系,那么在計算P(B)時,我們總是將i果其中任何一個或幾個發(fā)生的概率都不受其余的某一個或某幾個發(fā)生與否的影響,則稱A1,A2,…,An相互獨立.數學定義設A、B為,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立,簡稱為A與B獨立.P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱n個A1,A2,…,An相互獨立. 〈1〉A1…An相互獨立任意k≥2P(Aij)PAijj jA、B獨立P(B|A)P(B|A)P(B).〈2〉n個相互獨立的充要條件是,它們中任意一部分換成各自的對立所得到的n個相互獨立.〈2〉n個相互獨立,則不含相同的組經某種運算后所得的是相互獨立的.例如,A、B、C、DABCD相互獨立,ABCD相互獨立,在現實生活中,難于想像兩兩獨立而不相互獨立的情況,可以這樣想:獨立第二講一維隨量及其概率分隨量就是“其值隨機會而定”EΩ={},如果對每一個∈Ω,都有唯一X)與之對應,并且對任x,{:X()≤x}是隨機,則稱定義Ω上的實單X()為隨量.簡記為隨量X.一般用大寫字母X,Y,Z…或希臘字母ξ,η,ξ…來表示隨量.定義設X是隨量,x是任意實數,稱函數F(x)=P{X≤x}(x∈R)為隨量X的分布函數,或稱X服從分布F(x),記為X~F(x).充分必要條件函數F(x)為某一隨量X的分布函數的充要條件 F(x)xx∈RlimF(xF(x0)F(x03°F()=limF(x)0,F()limF(x)
或X~
數列{pi:i=1,2,…}是離散型隨量概率分布的充要條件是pi≥0(i=1,2,…)piiF(x)P(Xx)P(Xxixipi=P(X=xi)=P(X≤xi)-P(X<xi)=F(xi)-P(XB)P(XxixF(x)f(t)dt(xx 量X概率密度的充要條件是,f(x)≥0且f(x)dx1(由此可知,可以改變f(x)有限個點的值,f(x)仍然是密度函數).有P(XB)fBbP(aXb)af(x)dxF(b)Fbb{x<X≤x+h}的概率(h>0為常數),應為F(x+h)-F(x).所以,比值[F(x+h)F(x)]/h可xh這么長的區(qū)間(x,x+h)h→0,則這個x點處的“密集程度”1,概率b密度相當于桿上各點的質量密度.(2P(aXbaf(x)dxX 0
1P如果X的概率分布為pP(Xk)Ckpk(1p)nk,k ,n,0p1,則稱X服 【評注】①如果X是n重試驗中A發(fā)生的次數,則X~B(n,p),其中p=kk 布近似,即Cnp(1 k!eXpkPXk
kke,k kkXpkPXk)
n N CC
k0,1,min(MnMNn xb bf(x) axb,F(x)b b
ax b【評注】區(qū)間(a,b),可以是閉區(qū)間[a,b];幾何概型是均勻分布的實際背景.用幾 f(x)ex x0或F(x)1ex x0( x x 1(xf(x) e2 (x1其中-∞<μ<∞,σ>0X服從參數為(μ,σ2)X為正態(tài)變量,記1最大值f() (x)
1
Φ(0)1,Φ(x)12σ2),則其分布函F(x)P(Xx)Φ(x);F(x)F(x)P(aXb)
b
)
a k123P(Xk2(1(1PX2)
3,求未知參數及X4f(xF(x)F(0)=1,求 U[0,],求YsinX的概率密度fY(y)2
1x【例】設隨量X的概率密度為f
(x 0x2,YX2
第三講隨量的數字特定義設X是隨量,Y是X的函數(1)如果X是離散型隨量,其分布律為pi=P{X=xi}(i=1,2,…).若級 量X的數學期望存在,并將級數xiP{Xxi}和 EXxiP{Xg(xi)P{Xxi}g(X)數學期望EX存在,且EX xf(x)dx,否則稱X的數學期望不存在.若積 g(xf(x)dxg(X)EgXg(xf(x)dx.否則g(X)的數學期望不存在.對任意常數ai和隨量Xi(i=1,…,n) E(aiXi)ai 特別地XY一般地,設X1,X2,…,Xn相互獨立, E(Xi)EXi,E(gi(Xi))Egi(Xi X 為X的標準差或均方差,稱隨 量X*? 此時EX*=0,DX*X EX)(Y nD(aiXi)aiajE(XiEXi)(Xj
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