高等數(shù)學(xué)(高教版)第六章線性空間第五節(jié)課件

高等數(shù)學(xué)(高教版)第六章線性空間第五節(jié)課件一、定義定義13

數(shù)域P

上線性空間V

的一個(gè)非空子集合W

稱為V

的一個(gè)線性子空間(或簡(jiǎn)稱子空間),如果W

對(duì)于V

中所定義的加法和數(shù)量乘法兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P

上的線性空間.二、非空子集構(gòu)成子空間的條件下面我們來(lái)分析一下，一個(gè)非空子集合要滿足什么條件才能成為子空間.設(shè)W

是V

的子集合.因?yàn)閂

是線性空間.所以對(duì)于原有的運(yùn)算，W

中的向量滿足線性空間定義中的中的規(guī)那么1),2),5),6),7),8)是顯然的.為了使W

自身構(gòu)成一線性空間，主要的條件是要求W

對(duì)于V

中原來(lái)運(yùn)算的封閉性，以及規(guī)那么3)與4)成立.即1.W對(duì)數(shù)量乘法運(yùn)算封閉，即假設(shè)W,kP,那么kW.2.W對(duì)加法運(yùn)算封閉，即假設(shè)W,W，那么+W.3.0W.4.假設(shè)W,那么-W.不難看出3,4兩個(gè)條件是多余的，它們已經(jīng)包含在條件1中，作為k=0與-1這兩個(gè)特殊情形.因此，我們得到定理3

如果線性空間V

的非空子集合W

對(duì)于V

的數(shù)量乘法和加法兩種運(yùn)算是封閉的，那么W就是一個(gè)子空間.既然線性子空間本身也是一個(gè)線性空間，上面我們引入的概念，如維數(shù)、基、坐標(biāo)等，當(dāng)然也可以應(yīng)用到線性子空間上.因?yàn)樵诰€性子空間中不可能比在整個(gè)空間中有更多數(shù)目的線性無(wú)關(guān)的向量.所以，任何一個(gè)線性子空間的維數(shù)不能超過(guò)整個(gè)空間的維數(shù).下面來(lái)看幾個(gè)例子.例1

在線性空間中，由單個(gè)的零向量所組成的子集合是一個(gè)線性子空間，它叫做零子空間.例2

線性空間V

本身也是V

的一個(gè)子空間.在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個(gè)子空間有時(shí)候叫做平凡子空間，而其它的線性子空間叫做非平凡子空間.例3

在全體實(shí)函數(shù)組成的空間中，所有的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成一個(gè)子空間.例4

P[x]n

是線性空間P[x]的子空間.例5

在線性空間Pn

中，齊次線性方程組的全部解向量組成一個(gè)子空間，這個(gè)子空間叫做齊次線性方程組的解空間.解空間的基就是方程組的根底解系，它的維數(shù)等于n-r,其中r為系數(shù)矩陣的秩.例6判斷以下子集是否為給定線性空間的子空間，并說(shuō)明其幾何意義.例7

證明集合W={(0,x2,x3,…,xn

)|x2,x3,…,xn

R}是Rn

的子空間，并求它的一組基，確定它的維.三、向量組生成的子空間1.定義定義14

設(shè)1,2,…,r是線性空間V

中一組向量，這組向量所有可能的線性組合k11+k22+…+krr所成的集合是非空的，而且對(duì)兩種運(yùn)算封閉，因而是V

的一個(gè)子空間，這個(gè)子空間叫做由1,2,…,r生成的子空間，記為L(zhǎng)(1,2,…,r

).2.性質(zhì)定理4

1)

兩個(gè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià).2)

L(1,2,…,r

)的維數(shù)等于向量組1,2,…,r的秩.證明1)

設(shè)1,2,…,r

與1,2,…,s是兩個(gè)向量組.如果L(1,2,…,r

)=L(1,2,…,s

),那么每個(gè)向量i

(i=1,2,…,r)作為L(zhǎng)(1,2,…,s

)中的向量都可以被1,2,…,s線性表出;同樣每個(gè)向量j

(j=1,2,…,s)作為L(zhǎng)(1,2,…,r

)中的向量也都可以被1,2,…,r線性表出，因而這兩個(gè)向量組等價(jià).如果這兩個(gè)向量組等價(jià)，那么但凡可以被1,2,…,r線性表出的向量都可以被1,2,…,s線性表出，反過(guò)來(lái)也一樣，因而L(1,2,…,r

)=L(1,2,…,s

).2)

設(shè)向量組1,2,…,r的秩是s,而1,2,…,s(s

r

)是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.因?yàn)?,2,…,r與1,2,…,s等價(jià)，所以L(1,2,…,r

)=L(1,2,…,s).由1,2,…,s就是L(1,2,…,r

)的一組基，因而L(1,2,…,r

)的維數(shù)就是s.證畢定理5

設(shè)W是數(shù)域P

上n

維線性空間V

的一個(gè)m

維子空間，1,2,…,m是W

的一組基,那么這組向量必定可擴(kuò)充為整個(gè)空間的基.

也就是說(shuō)在V中必定可以找到n-m

個(gè)向量m+1,m+

2,…,

n，使得

1,2,…,n是V

的基.證明對(duì)維數(shù)差n-m

作歸納法，當(dāng)n-m=0時(shí)，定理顯然成立，因?yàn)?,2,…,m

已經(jīng)是V的基.現(xiàn)在假設(shè)n-m=k

時(shí)定理成立，我們考慮n-m=k+1的情形.既然1,2,…,m還不是V的基，它又是線性無(wú)關(guān)的，1,2,…,m線性表出，…,m,m+1必定是線性無(wú)關(guān)的(參看第3節(jié)中的).由,子空間L(1,2,…,m,m+1)是m+1維的.因?yàn)閚-(m+1)=(n-m)-1=k,由歸納法假設(shè)，L(1,2,…,m,m+1)的基1,2,…,m,m+1那么在V

中必定有一個(gè)向量m+1不能被把m+1添加進(jìn)去1,2,可以擴(kuò)充為整個(gè)空間的基.根據(jù)歸納法原理，定理得證.證畢例8

在P4

中，求向量i(i=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數(shù).本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回