對稱性解決積分問題方法

利用對稱性、奇偶性求積分有關(guān)對稱性的結(jié)論(1)對于對稱區(qū)間［一見勿上的積分，有(a)當(dāng)了(X)在區(qū)間卜。皿］上為奇函數(shù)［即了卜珂二一了⑴］時匚掩他二0(b)當(dāng)川力在區(qū)間【一氓皿］上為偶函數(shù)［即川—刃=了⑴)］時(2)對于平面區(qū)域D上的二重積分，有1)設(shè)D關(guān)于y軸對稱，則(a)當(dāng)了氐》)為x的奇函數(shù)［即了「工？)二-了〔&?)］時，得(b)當(dāng)了(兀了)為x的偶函數(shù)［即/(-^^)=/(^7)］時，得a=Z' ￡1其中是D的右半部分：二｛(")胡工刎2)設(shè)D關(guān)于x軸對稱，則(a)當(dāng)了(兀為戸的奇函數(shù)［即了區(qū)-尹)=-了gy)］時，得陽=0（b）當(dāng) 為的偶函數(shù)［即 ］時，得了氐刃P 了氏廠X）二幾?！坟痑=2［打（刊加其中?是門的上半部分：6二肛小。|八0｝3）設(shè)D關(guān)于原點對稱，則（a）當(dāng)八-心-川-八S）時，得JP（兀尹陽二0（b）當(dāng)了（-心-?）二了（利）時，得［［佩必口=打打（2如=耳打（2）沖其中仙二｛〔心尹）丘。|工丸｝,5二｛（工7）丘0卜三0｝。4）設(shè)D關(guān)于x軸和y軸均對稱，且八小關(guān)于變量x和卩均為偶函數(shù)，則H慫曲”4［打D畑Z- %其中2是D在第一象限的部分：。廠仏心。|沱OjEO｝5）設(shè)D關(guān)于直線『二”對稱，則n畑B口=jp?恥￡' Xi（3）積分區(qū)域門上的三重積分有類似于二重積分的性質(zhì)。例如,設(shè)。關(guān)于坐標(biāo)面A=0對稱，則（a）當(dāng)了匕必習(xí)是關(guān)于變量x為奇函數(shù)［即了卜工必￡）二-了（兀W）］時,得（b）當(dāng)了是關(guān)于變量齊為偶函數(shù)［即了（-兀”刃二了（xjz）］時，得n ni其中Gi是。的前半部分：G］二{S譏口?}如果積分區(qū)域G關(guān)于坐標(biāo)面》=〔（或^=0）對稱，而被積函數(shù)了（?！绷?xí)是卩（或￡）的奇函數(shù)或偶函數(shù)時，有類似的結(jié)論。4）第一型曲線積分和曲面積分也有類似的結(jié)論。例如1）設(shè)平面分段段線￡關(guān)于卩軸對稱，則（a） 當(dāng)了（兀為x的奇函數(shù)［即了（-0）=1了（5J）］時，得血二0（b） 當(dāng)了（砂）為x的偶函數(shù)［即了（-3）二幾訕時，得其中是占的右半段:2)設(shè)分片光滑曲面M關(guān)于坐標(biāo)面^=0對稱，則(a)當(dāng)了匕必習(xí)是關(guān)于變量x為奇函數(shù)［即了卜工必￡)二-了(兀W)］時,得|pU“o(b)當(dāng)了是關(guān)于變量齊為偶函數(shù)［即了(-?！比卸?xjz)］時，得［打(兀”訛=2\\f(x,yr2)dsZ