自動(dòng)控制原理二五

第四章根軌跡法5/17/20231本章主要內(nèi)容根軌跡的基本概念根軌跡的繪制準(zhǔn)則特殊根軌跡利用根軌跡分析閉環(huán)系統(tǒng)用MATLAB繪制根軌跡5/17/20232根軌跡意義概述我們知道，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，其它性能取決于其零極點(diǎn)分布。因此，可以用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來間接地研究控制系統(tǒng)的性能。W.R.伊文思提出了一種在復(fù)平面上由開環(huán)零極點(diǎn)確定閉環(huán)零極點(diǎn)的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個(gè)參數(shù)（比如開環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關(guān)系表示在一張圖上。利用根軌跡法，可以：分析系統(tǒng)的性能確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)校正裝置的綜合5/17/20233第一節(jié)根軌跡的基本概念5/17/20234根軌跡定義[根軌跡定義]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面上變化的軌跡。例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：5/17/20235根軌跡定義特征根為：[討論]：①當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2,是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)②當(dāng)K=0.32時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6③當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=-1,s2=-1④當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當(dāng)K=5時(shí)，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j5/17/20236根軌跡基本概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：-閉環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為：將寫成以下標(biāo)準(zhǔn)型，得：5/17/20237根軌跡定義閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程：的根。[根軌跡定義]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面上變化的軌跡。5/17/20238根軌跡的幅值和相角條件上述兩式分別稱為滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條件。[一些約定]：在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點(diǎn)，“”表示開環(huán)有限值零點(diǎn)。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向。“”表示根軌跡上的點(diǎn)。我們先以根軌跡增益（當(dāng)然也可以用其它變量）作為變化量來討論根軌跡。5/17/20239[例4-1]如圖二階系統(tǒng)，當(dāng)Kg從0→∞時(shí)繪制系統(tǒng)的根軌跡。-[解]閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程和特征根：[討論]：①②③④⑤根軌跡解析法繪制5/17/202310根軌跡解析法繪制[總結(jié)]當(dāng)從0變化到時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。的點(diǎn)稱為起點(diǎn)， 的點(diǎn)稱為終點(diǎn)。本例中有兩個(gè)分支，終點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處。這里是用解析法畫出的根軌跡，但對(duì)于高階系統(tǒng)，求根困難，需用圖解法畫圖。復(fù)平面上滿足相角條件的點(diǎn)應(yīng)在根軌跡上。上例中，A點(diǎn)在根軌跡上嗎？向量s和s+1的相角分別為根據(jù)相角條件(試探法)：顯然，只有三角形OAB是等腰三角形時(shí)，，A點(diǎn)在根軌跡上。點(diǎn)顯然不在根軌跡上。AB5/17/202311[定義]：滿足相角條件的點(diǎn)連成的曲線稱為180度等相角根軌跡。同樣，滿足幅值條件的點(diǎn)連成的曲線稱為等增益根軌跡（它是在某一增益的情況下繪制的）。P112,F4-5180度等相角根軌跡和等增益根軌跡是正交的，其交點(diǎn)滿足根軌跡方程，每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)。由于180度等相角根軌跡上的任意一點(diǎn)都可通過幅值條件計(jì)算出相應(yīng)的值，所以直接稱180度等相角根軌跡為根軌跡。在根軌跡上的已知點(diǎn)求該點(diǎn)的值的例子。上例中，若A點(diǎn)的坐標(biāo)是0.5+j2，則根據(jù)幅值條件：5/17/20