2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）設(shè)a∈R，則“a＜1”是“0＜a＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）展開式中x的系數(shù)為（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．203．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣4x+4在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值為（）A． B．1 C．7 D．4．（5分）袋子里有8個紅球和4個黃球，從袋子里有放回地隨機抽取4個球，用X表示取到紅球的個數(shù)，則D（X）＝（）A． B． C． D．5．（5分）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），若P（X≤2）＝0.2，P（2＜X＜4）＝0.6，則μ＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）從4名高一學(xué)生和5名高二學(xué)生中，選3人參加社區(qū)垃圾分類宣傳活動，其中至少有1名高二學(xué)生參加宣傳活動的不同選法種數(shù)為（）A．50 B．70 C．80 D．1407．（5分）小王同學(xué)進行投籃練習(xí)，若他第1球投進，則第2球投進的概率為；若他第1球投不進，則第2球投進的概率為．若他第1球投進概率為，他第2球投進的概率為（）A． B． C． D．8．（5分）為了研究某校男生的腳長x（單位；cm）和身高y（單位：cm）的關(guān)系，從該校隨機抽取20名男生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為．已知，，，該校某男生的腳長為25.5cm，據(jù)此估計其身高為（）A．164cm B．168cm C．172cm D．176cm9．（5分）已知f（x）＝x2﹣2kx+3k2﹣3k+1（k∈R）．以下四個命題：①對任意實數(shù)x，存在k，使得f（x）＞0；②對任意k，存在實數(shù)x，使得f（x）＞0；③對任意實數(shù)k，x，均有f（x）＞0成立；④對任意實數(shù)k，x，均有f（x）＜0成立．其中所有正確的命題是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④10．（5分）一個圓周上有8個點，連接任意兩點畫出弦．如果有一對弦不相交且沒有共同的端點，我們稱它們?yōu)橐唤M“自由弦對”．則此圓上的“自由弦對”總組數(shù)為（）A．70 B．140 C．210 D．280二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在答題卡上，11．（5分）判斷對錯，并在相應(yīng)橫線處劃“√”或“×”．①樣本相關(guān)系數(shù)r＞0時，稱成對數(shù)據(jù)正相關(guān)，r＜0時，稱成對數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．②樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值|r|越接近于1，線性相關(guān)程度越弱，|r|越接近于0，線性相關(guān)程度越強．12．（5分）已知x＞1，則的最小值為．13．（5分）某單位工會組織75名會員觀看《光榮與夢想》《覺醒年代》《跨過鴨綠江》三部建黨百年優(yōu)秀電視，對這三部劇的觀看情況統(tǒng)計如下：觀看情況觀看人數(shù)只看過《光榮與夢想》12只看過《覺醒年代》11只看過《跨過鴨綠江》8只看過《光榮與夢想》和《覺醒年代》7只看過《光榮與夢想》和《跨過鴨綠江》4只看過《覺醒年代》和《跨過鴨綠江》5同時看過《光榮與夢想》《覺醒年代》和《跨過鴨綠江》21則會員中看過《跨過鴨綠江》的共有人，三部電視劇中，看過至少一部的有人．14．（5分）為了喚起全民對睡眠重要性的認(rèn)識，國際精神衛(wèi)生組織于2001年發(fā)起了一項全球性的活動——將每年的3月21日定為“世界睡眠日”．現(xiàn)從某中學(xué)初一至高三學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行睡眠質(zhì)量調(diào)查，采用睡眠質(zhì)量指數(shù)量表統(tǒng)計結(jié)果如下：性別人數(shù)睡眠質(zhì)量好睡眠質(zhì)量一般睡眠質(zhì)量差男220999031女2505012080合計470149210111假設(shè)所有學(xué)生睡眠質(zhì)量的程度是相互獨立的．以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，現(xiàn)從該中學(xué)男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質(zhì)量好的概率是．15．（5分）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》里，出現(xiàn)了圖1這張表．楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右．如圖2，楊輝三角的第n行的各數(shù)就是（a+b）n的展開式的二項式系數(shù)．則第10行共有個奇數(shù)；第100行共有個奇數(shù)．16．（5分）函數(shù)的定義域為，極大值點的集合為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（13分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m＝0，全集U＝A∪B，求?UB；（Ⅱ）從條件①和條件②選擇一個作為已知，求實數(shù)m的取值范圍．條件①：若A∪B＝A；條件②：若A∩B＝?．18．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex﹣kx﹣1，x≥0，k∈R．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)k＝1，時，求證：f（x）≥ax2．19．（14分）根據(jù)國家電影局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2020年中國電影總票房為204.17億，年度票房首度超越北美，成為2020年全球第一大電影市場．國產(chǎn)歷史戰(zhàn)爭題材影片《八佰》和《金剛川》合力貢獻了國內(nèi)全年票房的．我們用簡單隨機抽樣的方法，分別從這兩部電影的購票觀眾中各隨調(diào)查了100名觀眾，得到結(jié)果如下：圖1是購票觀眾年齡分布情況；圖2是購票觀眾性別分布情況．（Ⅰ）記C表示事件：“觀看電影《八佰》的觀眾年齡低于30歲”，根據(jù)圖1的數(shù)據(jù)，估計C的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從參與調(diào)查的電影《金剛川》的100名購票觀眾中隨機抽取兩名依次進行電話回訪，求在第1次抽到男性觀眾的條件下，第2次仍抽到男性觀眾的概率．（Ⅲ）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析男性觀眾與女性觀眾對這兩部歷史戰(zhàn)爭題材影片的選擇是否有差異？影片女性觀眾男性觀眾總計《八佰》100《金剛川》100總計200P（K2≥k0）0.10.050.010.001k02.7063.8416.63510.828附：．20．（15分）某工廠生產(chǎn)的10件產(chǎn)品有8件優(yōu)等產(chǎn)品，2件不合格產(chǎn)品．（Ⅰ）若從這10件產(chǎn)品中不放回地抽取兩次，每次隨機抽取一件，求第二次取出的是不合格產(chǎn)品的概率；（Ⅱ）若從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件，設(shè)抽到的不合格產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某工作人員在不知情的情況下，從這10件產(chǎn)中隨機抽取了3件產(chǎn)品銷售給了下級經(jīng)銷商．現(xiàn)該工廠針對3件已銷售產(chǎn)品中可能出現(xiàn)的不合格產(chǎn)品，提出以下兩種處理方案：方案一：將不合格產(chǎn)品返廠再加工，不合格產(chǎn)品的再加工費用為每件200元，所有返廠產(chǎn)品的運輸費用為一次性80元；方案二：將不合格產(chǎn)品就地銷毀，每件不合格產(chǎn)品損失成本300元．若以返廠再加工費用與運輸費用之和的期望值為決策依據(jù)，要使損失最小，應(yīng)選擇哪種方案處理不合格產(chǎn)品？21．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）已知t∈Z，且xlnx+x＞t（x﹣1）對任意的x＞1恒成立，求t的最大值；（Ⅲ）設(shè)g（x）＝f（x+1）﹣e+3的零點為m（m＞1），當(dāng)x1，x2∈（m，+∞），且x1＞x2時，證明：．

2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（5分）設(shè)a∈R，則“a＜1”是“0＜a＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】利用充要條件的定義進行判斷．【解答】解：由“a＜1”不可推出“0＜a＜1”，故“a＜1”是“0＜a＜1”的不充分條件，由“0＜a＜1”能夠推出“a＜1”，故“a＜1”是“0＜a＜1”的必要條件，綜上，“a＜1”是“0＜a＜1”的必要不充分條件，故選：B．【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）展開式中x的系數(shù)為（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得展開式中x的系數(shù)．【解答】解：由于展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?x5﹣2r，令5﹣2r＝1，求得r＝2，可得展開式中x的系數(shù)為＝10，故選：C．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣4x+4在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值為（）A． B．1 C．7 D．【分析】求出函數(shù)的極值和端點值，作比較最大的即為最大值．【解答】解：，令f′（x）＞0，解得﹣3＜x＜﹣2或2＜x＜3；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2，所以f（x）在（﹣3，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)f（x）在[﹣3，3]上的最大值為．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）袋子里有8個紅球和4個黃球，從袋子里有放回地隨機抽取4個球，用X表示取到紅球的個數(shù)，則D（X）＝（）A． B． C． D．【分析】由題意，先求出從袋中隨機取出一個球，該球為紅球的概率，然后利用二項分布的方差計算公式求解即可．【解答】解：由題意，袋子里有8個紅球和4個黃球，從袋中隨機取出一個球，該球為紅球的概率為＝，用X表示取到紅球的個數(shù)，則X～B（4，），故D（X）＝4××（1﹣）＝．故選：B．【點評】本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，二項分布的理解與應(yīng)用，二項分布的方差公式的運用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），若P（X≤2）＝0.2，P（2＜X＜4）＝0.6，則μ＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用正態(tài)分布的對稱性以及參數(shù)μ的含義進行分析求解即可．【解答】解：因為隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），所以這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸為X＝μ，因為P（X≤2）＝0.2，P（2＜X＜4）＝0.6，則P（2＜X＜4）＝1﹣2P（X≤2），所以對稱軸X＝μ＝．故選：C．【點評】本題考查了正態(tài)分布曲線的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線的對稱性，對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）從4名高一學(xué)生和5名高二學(xué)生中，選3人參加社區(qū)垃圾分類宣傳活動，其中至少有1名高二學(xué)生參加宣傳活動的不同選法種數(shù)為（）A．50 B．70 C．80 D．140【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計算全部的選法，再排除其中“沒有高二的學(xué)生”的選法，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，有4名高一學(xué)生和5名高二學(xué)生，共9人，從中選3人參加社區(qū)垃圾分類宣傳活動，有C93＝84種選法，其中沒有高二的學(xué)生，即全部為高一學(xué)生的選法有C43＝4種，則有84﹣4＝80種選法；故選：C．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意用間接法分析，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）小王同學(xué)進行投籃練習(xí)，若他第1球投進，則第2球投進的概率為；若他第1球投不進，則第2球投進的概率為．若他第1球投進概率為，他第2球投進的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式能求出他第2球投進的概率．【解答】解：由題意可得：投第一球、第二球的概率情況為：，，或，，則他第2球投進的概率為：p＝×+（1﹣）×＝．故選：A．【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）為了研究某校男生的腳長x（單位；cm）和身高y（單位：cm）的關(guān)系，從該校隨機抽取20名男生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為．已知，，，該校某男生的腳長為25.5cm，據(jù)此估計其身高為（）A．164cm B．168cm C．172cm D．176cm【分析】利用回歸直線過樣本中心點求出，再把x＝25.5代入回歸方程計算．【解答】解：，所以，解得．所以回歸方程為，當(dāng)x＝25.5時，y＝172．故選：C．【點評】本題考查線性回歸方程的求解和預(yù)測，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知f（x）＝x2﹣2kx+3k2﹣3k+1（k∈R）．以下四個命題：①對任意實數(shù)x，存在k，使得f（x）＞0；②對任意k，存在實數(shù)x，使得f（x）＞0；③對任意實數(shù)k，x，均有f（x）＞0成立；④對任意實數(shù)k，x，均有f（x）＜0成立．其中所有正確的命題是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及二次函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合兩者之間的聯(lián)系逐項判斷即可．【解答】解：令f（x）＝x2﹣2kx+3k2﹣3k+1＝0，所以Δ＝（2k）2﹣4（3k2﹣3k+1）＝﹣4（2k﹣1）（k﹣1），因為f（x）為開口向上的二次函數(shù)，所以對任意k，總存在x使得f（x）＞0，故②正確④錯誤；因為當(dāng)k∈（﹣∞，）∪（1，+∞）時，Δ＝﹣4（2k﹣1）（k﹣1）＜0，所以方程x2﹣2kx+3k2﹣3k+1＝0，無解，所以f（x）＝x2﹣2kx+3k2﹣3k+1＞0恒成立，故①正確；因為當(dāng)k∈[，1]時，Δ＝﹣4（2k﹣1）（k﹣1）≥0，所以方程x2﹣2kx+3k2﹣3k+1＝0，有一根或兩根，所以對任意x，f（x）＞0不恒成立，故③錯誤．故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．10．（5分）一個圓周上有8個點，連接任意兩點畫出弦．如果有一對弦不相交且沒有共同的端點，我們稱它們?yōu)橐唤M“自由弦對”．則此圓上的“自由弦對”總組數(shù)為（）A．70 B．140 C．210 D．280【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的每一組對邊都是一組“自由弦對”，利用組合知識求解即可．【解答】解：因順次連接一組“自由弦對”的兩條弦的4個端點構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，并且這個四邊形的每一組對邊都是一組“自由弦對”，從而得到每個圓內(nèi)接四邊形都有兩組“自由弦對”，從圓周上8個點中任取4點可以構(gòu)成個圓內(nèi)接四邊形，所以圓上的“自由弦對”總組數(shù)為2＝2×70＝140個．故選：B．【點評】本題考查了簡單合情推理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形幾何性質(zhì)的運用以及組合知識的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在答題卡上，11．（5分）判斷對錯，并在相應(yīng)橫線處劃“√”或“×”．①樣本相關(guān)系數(shù)r＞0時，稱成對數(shù)據(jù)正相關(guān)，r＜0時，稱成對數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．√②樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值|r|越接近于1，線性相關(guān)程度越弱，|r|越接近于0，線性相關(guān)程度越強．×【分析】利用相關(guān)系數(shù)的含義分別判斷即可．【解答】解：當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)；|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。盛佟?，②×．故答案為：①√，②×．【點評】本題考查了相關(guān)系數(shù)的理解與應(yīng)用，要掌握當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)；|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小．屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知x＞1，則的最小值為2．【分析】利用已知將函數(shù)y化簡為y＝x+＝x﹣1+，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因為x＞1，所以y＝x+＝x﹣1+，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1＝，即x＝時取等號，故y＝x+的最小值為2+1，故答案為：2+1．【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）某單位工會組織75名會員觀看《光榮與夢想》《覺醒年代》《跨過鴨綠江》三部建黨百年優(yōu)秀電視，對這三部劇的觀看情況統(tǒng)計如下：觀看情況觀看人數(shù)只看過《光榮與夢想》12只看過《覺醒年代》11只看過《跨過鴨綠江》8只看過《光榮與夢想》和《覺醒年代》7只看過《光榮與夢想》和《跨過鴨綠江》4只看過《覺醒年代》和《跨過鴨綠江》5同時看過《光榮與夢想》《覺醒年代》和《跨過鴨綠江》21則會員中看過《跨過鴨綠江》的共有38人，三部電視劇中，看過至少一部的有68人．【分析】根據(jù)條件畫出對應(yīng)的Venn圖，進而即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，將數(shù)據(jù)利用韋恩圖表示，如圖所示：由圖可知看過《跨過鴨綠江》的共有21+4+5+8＝38人；三部電視劇中，看過至少一部的有12+7+21+4+8+5+11＝68人．故答案為：38；68．【點評】本題考查Venn圖的實際應(yīng)用，考查直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）為了喚起全民對睡眠重要性的認(rèn)識，國際精神衛(wèi)生組織于2001年發(fā)起了一項全球性的活動——將每年的3月21日定為“世界睡眠日”．現(xiàn)從某中學(xué)初一至高三學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行睡眠質(zhì)量調(diào)查，采用睡眠質(zhì)量指數(shù)量表統(tǒng)計結(jié)果如下：性別人數(shù)睡眠質(zhì)量好睡眠質(zhì)量一般睡眠質(zhì)量差男220999031女2505012080合計470149210111假設(shè)所有學(xué)生睡眠質(zhì)量的程度是相互獨立的．以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，現(xiàn)從該中學(xué)男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質(zhì)量好的概率是0.47．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，以及相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解．【解答】解：從該中學(xué)男生中隨機取1人，這個人睡眠質(zhì)量好的概率為，從該種學(xué)女生中隨機抽取1人，這個人睡眠質(zhì)量好的概率為，故從該中學(xué)男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質(zhì)量好的概率是．故答案為：0.47．【點評】本題主要考查互斥事件的概率加法公式，以及相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》里，出現(xiàn)了圖1這張表．楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右．如圖2，楊輝三角的第n行的各數(shù)就是（a+b）n的展開式的二項式系數(shù)．則第10行共有4個奇數(shù)；第100行共有4個奇數(shù)．【分析】利用題中給出的楊輝三角，依次列舉每一行的個數(shù)，通過規(guī)律即可得到．【解答】解：由楊輝三角可得，第1行，2個；第2行，2個；第3行，4個；第4行，2個；第5行，4個；第6行，4個；第7行，8個；第8行，2個；第9行，4個；第10行，4個；第11行，8個；第12行，4個；第13行，8個；第14行，8個；第15行，16個；……第96行，2個；第97行，4個；第98行，4個；第99行，8個；第100行，4個；第101行，8個；第102行，8個．故答案為：4，4．【點評】本題考查了歸納推理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過給出的信息尋找規(guī)律，利用規(guī)律進行研究，屬于中檔題．16．（5分）函數(shù)的定義域為，極大值點的集合為{x|x＝（2k+1）π，k∈Z}．【分析】令分母為不為0，解方程得函數(shù)定義域；再求導(dǎo)，結(jié)合極大值點的定義求解即可．【解答】解：令，即，所以函數(shù)的定義域為．，令f′（x）＝0，解得x＝kπ（k∈Z），當(dāng)k為奇數(shù)時，f′（x）在x＝kπ（k∈Z）附近的函數(shù)值左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，此時x＝kπ（k∈Z）為極大值點；當(dāng)k為偶數(shù)時，f′（x）在x＝kπ（k∈Z）附近的函數(shù)值左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，此時x＝kπ（k∈Z）為極小值點；所以極大值點的集合為{x|x＝（2k+1）π，k∈Z}．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)的定義域，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極大值點，考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（13分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m＝0，全集U＝A∪B，求?UB；（Ⅱ）從條件①和條件②選擇一個作為已知，求實數(shù)m的取值范圍．條件①：若A∪B＝A；條件②：若A∩B＝?．【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，然后由并集的定義求出U，再利用補集的定義求解即可；（Ⅱ）若選條件①：利用A∪B＝A，可得B?A，然后由集合子集的定義求解即可；若選條件②：A∩B＝?，由集合交集以及空集的定義列式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)m＝0時，B＝{x|m﹣2＜x＜m}＝{﹣2＜x＜0}，又A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，所以U＝A∪B＝{x|﹣2＜x＜6}，故?UB＝{x|0≤x＜6}；（Ⅱ）若選條件①：由A∪B＝A，可得B?A，則，解得1≤m≤6，故m的取值范圍為[1，6]．若選條件②：由A∩B＝?，則m≤﹣1或m﹣2≥6，解得m≤﹣1或m≥8，故m的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）．【點評】本題考查了集合的運算，解題的關(guān)鍵是掌握集合交集、補集、并集、子集的定義，屬于基礎(chǔ)題．18．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex﹣kx﹣1，x≥0，k∈R．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)k＝1，時，求證：f（x）≥ax2．【分析】（Ⅰ）求出f'（x），分k≤1和k＞1兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)f'（x）的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）設(shè)h（x）＝f（x）﹣ax2，利用（Ⅰ）中的結(jié)論可得ex≥x+1，則h'（x）≥x﹣2ax＝（1﹣2a）x，由導(dǎo)數(shù)判斷h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的取值范圍，即可證明．【解答】（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）＝ex﹣kx﹣1，x≥0，k∈R，則f'（x）＝ex﹣k，x≥0，k∈R，當(dāng)k≤1時，因為ex≥e0＝1，則f'（x）≥0恒成立，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞）；當(dāng)k＞1時，令f'（x）＝0，解得x＝lnk，故當(dāng)x∈[0，lnk）時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（lnk，+∞）時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[lnk，+∞）．綜上所述，當(dāng)k≤1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞）；當(dāng)k＞1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[lnk，+∞）．（Ⅱ）證明：設(shè)h（x）＝f（x）﹣ax2，則h（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax2，故h'（x）＝ex﹣1﹣2ax，由（Ⅰ）可知，當(dāng)k＝1時，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號取等號，所以h'（x）≥x﹣2ax＝（1﹣2a）x，因為，故1﹣2a≥0，所以h'（x）≥0（x≥0），則h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）＝0，所以當(dāng)x≥0時，h（x）≥0，即f（x）≥ax2．【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時，一般會構(gòu)造一個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的取值情況進行研究，屬于中檔題．19．（14分）根據(jù)國家電影局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2020年中國電影總票房為204.17億，年度票房首度超越北美，成為2020年全球第一大電影市場．國產(chǎn)歷史戰(zhàn)爭題材影片《八佰》和《金剛川》合力貢獻了國內(nèi)全年票房的．我們用簡單隨機抽樣的方法，分別從這兩部電影的購票觀眾中各隨調(diào)查了100名觀眾，得到結(jié)果如下：圖1是購票觀眾年齡分布情況；圖2是購票觀眾性別分布情況．（Ⅰ）記C表示事件：“觀看電影《八佰》的觀眾年齡低于30歲”，根據(jù)圖1的數(shù)據(jù)，估計C的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從參與調(diào)查的電影《金剛川》的100名購票觀眾中隨機抽取兩名依次進行電話回訪，求在第1次抽到男性觀眾的條件下，第2次仍抽到男性觀眾的概率．（Ⅲ）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析男性觀眾與女性觀眾對這兩部歷史戰(zhàn)爭題材影片的選擇是否有差異？影片女性觀眾男性觀眾總計《八佰》100《金剛川》100總計200P（K2≥k0）0.10.050.010.001k02.7063.8416.63510.828附：．【分析】（Ⅰ）根據(jù)圖1計算出“觀看電影《八佰》的觀眾年齡低于30歲”的頻率，由頻率估計概率即可得到答案；（Ⅱ）根據(jù)圖2確定參與調(diào)查的電影《金剛川》的100名購票觀眾中男性人數(shù)，采用縮小樣本空間的辦法即可得到答案；（Ⅲ）根據(jù)圖2完成2×2列聯(lián)表，再計算K2的值，對照臨界表中的數(shù)據(jù)，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由圖1可知，“觀看電影《八佰》的觀眾年齡低于30歲”的頻率為0.07+0.26+0.24＝0.57，由此估計事件C的概率為P（C）＝0.57；（Ⅱ）由圖2可知，參與調(diào)查的電影《金剛川》的100名購票觀眾中男性人數(shù)為61人，從100名觀眾中依次抽兩名，在第一次抽到男性的條件下，第二次仍抽到男性為事件B，相當(dāng)于從含有60名男性觀眾的99名觀眾中任抽1人，抽到男性的事件，故其概率為P（B）＝＝；（Ⅲ）由題意可知，2×2列聯(lián)表如下：影片女性觀眾男性觀眾總計《八佰》4753100《金剛川》3961100總計86114200則K2＝1.306＜6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為男性觀眾與女性觀眾對這兩部歷史戰(zhàn)爭題材影片的選擇有差異．【點評】本題考查了用頻率估計概率的應(yīng)用，古典概型概率公式的應(yīng)用，獨立性檢驗的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是完成2×2列聯(lián)表，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（15分）某工廠生產(chǎn)的10件產(chǎn)品有8件優(yōu)等產(chǎn)品，2件不合格產(chǎn)品．（Ⅰ）若從這10件產(chǎn)品中不放回地抽取兩次，每次隨機抽取一件，求第二次取出的是不合格產(chǎn)品的概率；（Ⅱ）若從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件，設(shè)抽到的不合格產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某工作人員在不知情的情況下，從這10件產(chǎn)中隨機抽取了3件產(chǎn)品銷售給了下級經(jīng)銷商．現(xiàn)該工廠針對3件已銷售產(chǎn)品中可能出現(xiàn)的不合格產(chǎn)品，提出以下兩種處理方案：方案一：將不合格產(chǎn)品返廠再加工，不合格產(chǎn)品的再加工費用為每件200元，所有返廠產(chǎn)品的運輸費用為一次性80元；方案二：將不合格產(chǎn)品就地銷毀，每件不合格產(chǎn)品損失成本300元．若以返廠再加工費用與運輸費用之和的期望值為決策依據(jù)，要使損失最小，應(yīng)選擇哪種方案處理不合格產(chǎn)品？【分析】（Ⅰ）設(shè)Ai（i＝1，2）表示事件“第i次抽到的是優(yōu)等品”，然后利用對立事件的概率公式和條件概率的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出隨機變量X的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可；（Ⅲ）設(shè)方案一產(chǎn)生的費用為Y1，求出E（Y1），設(shè)方案二產(chǎn)生的費用為Y2，求出E（Y2），比較大小，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)Ai（i＝1，2）表示事件“第i次抽到的是優(yōu)等品”，因為是不放回抽樣，所以＝P（A1）+P（）＝P（|A1）?P（A1）+P（|）?P（），故P（）＝＝；（Ⅱ）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列為：X012P所以E（X）＝0×+1×+2×＝；（Ⅲ）設(shè)方案一產(chǎn)生的費用為Y1，則，X012Y10280480P所以E（Y1）＝0×+280×+480×＝162.7元；設(shè)方案二產(chǎn)生的費用為Y2，則Y2＝300X，所以元，由于E（Y2）＞E（Y1），故應(yīng)該將不合格產(chǎn)品返廠再加工，因此應(yīng)該選擇方案一．【點評】本題考查了相互獨立事件的乘法概率公式、對立事件的概率公式以及條件概率的概率公式的應(yīng)用，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望的求解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．21．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）已知t∈Z，且xlnx+x＞t（x﹣1）對任意的x＞1恒成立，求t的最大值；（Ⅲ）設(shè)g（x）＝f（x+1）﹣e+3的零點