第四章應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系演示文稿

第四章應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)第四章應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系目前二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)第四章應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系4.1廣義虎克定律4.2工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式4.3簡(jiǎn)單和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度4.4能量密度與能通量密度目前三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)在前幾章中，從靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)和幾何學(xué)的觀點(diǎn)分別研究了應(yīng)力和應(yīng)變。前面知道聯(lián)結(jié)應(yīng)力分量(6個(gè))與位移分量(3個(gè))有3個(gè)方程，聯(lián)結(jié)應(yīng)變分量(6個(gè))與位移分量(3個(gè))有6個(gè)方程，15個(gè)未知數(shù)9個(gè)方程，還需要6個(gè)方程才能求解彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系目前四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系平衡運(yùn)動(dòng)微分方程幾何方程目前五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)要解決彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，還要研究應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，這種關(guān)系通常被稱為物理方程或本構(gòu)方程。即還需要補(bǔ)充應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系(6個(gè)方程)。應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系反映物質(zhì)固有的物理特性，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在線性彈性范圍內(nèi)，便是廣義虎克定律。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系目前六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律--應(yīng)力應(yīng)變曲線

在常溫、靜載情況下，由材料拉伸試件可得到應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線。不同材料得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線不同。圖4?1給出低碳鋼應(yīng)力應(yīng)變曲線。從圖中可看出，該曲線大致可分為四個(gè)階段：圖4?1某材料應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線目前七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律--應(yīng)力應(yīng)變曲線(一)彈性階段——OB段在此段內(nèi)，撤去外力時(shí)，將沿OB線恢復(fù)回原點(diǎn)O，即變形完全消失。通常為稱為彈性極限。而OA段為直線，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，成線性關(guān)系即

(4-1)目前八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律--應(yīng)力應(yīng)變曲線其中E是與材料有關(guān)的彈性常數(shù)，通常稱為彈性模量，E的量綱與相同，一般用GN/m2。則稱為比例極限，上式即為虎克定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。A點(diǎn)與B點(diǎn)非常接近，工程上彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格區(qū)分。這種情況下，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變絕對(duì)值之比一般是常數(shù)，即稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。（4-2）目前九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律--應(yīng)力應(yīng)變曲線(二)屈服階段——BC段當(dāng)后，出現(xiàn)應(yīng)變?cè)黾雍芸?，而?yīng)力在很小范圍內(nèi)波動(dòng)的階段。這種應(yīng)力變化不大，而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱屈服或流動(dòng)，屈服階段的最低應(yīng)力稱屈服極限。(三)強(qiáng)化階段——CD段過(guò)了屈服階段以后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它增加變形必須增加拉力，這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化，強(qiáng)化階段中的最高點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的稱為強(qiáng)度極限。目前十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律--應(yīng)力應(yīng)變曲線(四)局部變形階段——DG段過(guò)了D點(diǎn)以后，在局部范圍內(nèi)，橫截面急劇縮小，繼續(xù)伸長(zhǎng)需要拉力相應(yīng)減小，到G點(diǎn)處，試件被拉斷。在純剪應(yīng)力作用時(shí)，與也成正比，，比例系數(shù)G稱剪切彈性模量目前十一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律在空間應(yīng)力狀態(tài)下，描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)需6個(gè)應(yīng)力分量，與之相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)也要用6個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。它們之間存在一定關(guān)系。假設(shè)應(yīng)力是應(yīng)變的函數(shù)，分量形式表示為：（4-3a）目前十二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律在小變形條件下，應(yīng)變分量都是微量，(a)式在應(yīng)變?yōu)榱愀浇鯰aylor展開(kāi)后，忽略2階以上的微量，例如對(duì)，可得：目前十三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律展開(kāi)系數(shù)表示函數(shù)在其對(duì)應(yīng)變分量一階導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量等于零時(shí)的值，而實(shí)際上代表初應(yīng)力，由于無(wú)初應(yīng)力假設(shè)等于零。其它分量類推，那么在小變形情況下應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式簡(jiǎn)化為：（4-3b）目前十四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律上式表明在彈性體內(nèi)，任一點(diǎn)的每一應(yīng)力分量都是6個(gè)應(yīng)變分量的線性函數(shù)，反之亦然。簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)已指出在彈性極限以內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，與上式一致。上式作為虎克定律在復(fù)雜受力情況下的一個(gè)推廣，因此稱為廣義虎克定律。式中系數(shù)是物質(zhì)彈性性質(zhì)的表征，由均勻性假設(shè)可知這些彈性性質(zhì)與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，稱為彈性常數(shù)。上式也可以寫成矩陣形式目前十五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)廣義虎克定律(4-4)可以證明對(duì)各向異性體，由于應(yīng)變能存在，也只有21個(gè)彈性常數(shù)獨(dú)立，對(duì)各向同性體，只有兩個(gè)彈性常數(shù)獨(dú)立。目前十六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律

如果物體是各向同性的，則在任何方向上彈性性質(zhì)相同，因此在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系相同。下面來(lái)證明對(duì)于各向同性體，只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應(yīng)力和主應(yīng)變方向重合。圖4?2應(yīng)變主軸目前十七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律如圖4?2所示，設(shè)1，2，3軸為物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)變主軸，對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變?，F(xiàn)取軸分別為1，2，3軸，則由廣義虎克定律第4式得：（a）式中,和為該點(diǎn)主應(yīng)變(對(duì)應(yīng)1，2，3軸)。將此坐標(biāo)系繞2軸轉(zhuǎn)180°，得新的坐標(biāo)軸1′，2′，3′，以,和分別表示1′，2′，3′軸對(duì)原坐標(biāo)系O123各軸的方向余弦，知:目前十八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律因此新坐標(biāo)軸也指向應(yīng)變主軸方向，剪應(yīng)變也應(yīng)該等于零，且因各向同性時(shí)，彈性系數(shù)C41，C42和C43應(yīng)該不隨方向面改變，故取分別為1′，2′和3′軸，同樣由式（4-3）第4式得：式中，和為該點(diǎn)主應(yīng)變(對(duì)應(yīng)1′，2′，3′軸)，而由轉(zhuǎn)軸應(yīng)力分量變換公式得：（b）目前十九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律又由轉(zhuǎn)軸應(yīng)變分量變換公式(3-12)得(d)(c)，(d)代入(b)則有(e)（a）與(e)比較，可知目前二十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律欲使上式成立，只有。同理可證。這說(shuō)明，若1，2，3是應(yīng)變主軸，也是應(yīng)力主軸。從而證明對(duì)各向同性彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合。(二)再來(lái)確定各向同性彈性體獨(dú)立彈性常數(shù)的個(gè)數(shù)

設(shè)所取的坐標(biāo)軸為應(yīng)力和應(yīng)變主軸，則(f)目前二十一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律式中表示表示在軸方向單位主應(yīng)變引起軸方向的主應(yīng)力大小。對(duì)于各向同性體，對(duì)的影響應(yīng)與對(duì)的影響，對(duì)的影響相同，故：(g)由于各向同性，ε2和ε3對(duì)的影響相同，ε2和ε3對(duì)的影響應(yīng)與和對(duì)的影響，和ε2對(duì)的影響相同，這樣(h)目前二十二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律由(g)和(h)可知，對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變主軸而言，只有兩個(gè)彈性常數(shù)是獨(dú)立的分別用a和b表示，則由(f)知(i)令，且則（i）變?yōu)?j)常數(shù)和稱為拉梅(Lame)彈性常數(shù)，簡(jiǎn)稱拉梅常數(shù)。目前二十三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律(三)最后通過(guò)坐標(biāo)變換，進(jìn)一步建立任意正交坐標(biāo)系應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系(k)在各向同性彈性體中，設(shè)為任意正交坐標(biāo)系，它的三個(gè)軸與坐標(biāo)系應(yīng)力主軸的方向余弦分別為、和，因?yàn)?，2，3軸是主軸，主軸方向的剪應(yīng)變和剪應(yīng)力等于零。根據(jù)轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量變換公式得目前二十四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律又由轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量變換公式得(l)將(j)代入(k)中有(m)目前二十五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律比較式(l)和(m)并注意到得式中是一不變量，。同理可得其它應(yīng)力分量與應(yīng)變分量關(guān)系，綜合為：(4-5n)目前二十六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律上式即為各向同性彈性體的虎克定律。寫成矩陣形式為：（4-6）目前二十七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律（4-7）將式中前三式相加得其中為第一應(yīng)變不變量，式稱為體積應(yīng)變的虎克定律利用式(4-6)，可以寫出用應(yīng)力表示應(yīng)變的廣義虎克定律目前二十八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向同性體的廣義虎克定律（4-8）目前二十九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律均勻各向同性完全彈性的假設(shè)是對(duì)實(shí)際介質(zhì)的近似。當(dāng)使用精細(xì)觀測(cè)手段研究較為復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，要考慮介質(zhì)的不均性，以及介質(zhì)的各向異性和介質(zhì)的非完全彈性。若介質(zhì)的彈性性質(zhì)依方向而變化，稱為各向異性。對(duì)于各向異性介質(zhì)的模型，在方程中，彈性常數(shù)

,而其它常數(shù)不同，這樣總共有21個(gè)彈性常數(shù)，對(duì)的影響和對(duì)影響一樣。這樣可以導(dǎo)出復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用簡(jiǎn)化模型，如橫向均勻且各向同性介質(zhì)(TI)(transverse

isotropy)。這種介質(zhì)彈性性質(zhì)在一個(gè)平面上是相同的的，它沿著平面的法線方向變化，如沉積巖(層理)，沿層理方向是均勻的，彈性性質(zhì)在垂直于層理方向變化。目前三十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前三十一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律這種簡(jiǎn)化的彈性介質(zhì)——層狀介質(zhì)模型有5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)，，和為平面上和垂直于該平面方向的拉梅系數(shù)，而表示垂直平面上切應(yīng)力和切應(yīng)變的關(guān)系，廣義虎克定律為：（4-9）目前三十二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律寫成矩陣形式（4-10）目前三十三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律即（4-11）目前三十四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律在地震勘探中一般用Thomsen參數(shù)描述各向異性（4-12）Thomsen參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是其大小恰恰反映了各向異性的強(qiáng)弱。目前三十五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式

在工程上，通過(guò)簡(jiǎn)單拉伸和純剪切試驗(yàn)可以測(cè)定楊氏彈性模量E，泊松比υ和剪切模量G等彈性常數(shù)，所以用工程彈性常數(shù)來(lái)表達(dá)廣義虎克定律更有實(shí)際意義。首先考慮簡(jiǎn)單拉伸。如沿軸方向，應(yīng)力分量除外，其它為零，在彈性極限內(nèi)，與沿軸方向正應(yīng)變成正比，其比例系數(shù)就是楊氏模量，橫向正應(yīng)變，與之比的絕對(duì)值就是泊松比，而且方向拉伸，和方向必然收縮，故目前三十六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式即（4-13a）將(4-13a)式代入均勻各向同性體廣義虎克定律式，前三個(gè)式子相加，得:廣義胡克定律目前三十七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式即(4-13b)再把(4-13b)式代回到第一式中，得(4-13c)(4-13a)和(4-13c)比較得：(4-13d)目前三十八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式再由式(4-5n)第二式，，得(4-13e)(4-13c)代入(4-13b)，再代入(4-13e)中，得(4-13f)(4-13a)和(4-13e)比較得：(4-14)由(4-13d)和(4-14)式，可用楊氏模量和泊松比表示拉梅常數(shù)和目前三十九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式根據(jù)試驗(yàn)（4-15）所以。目前四十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式再考慮純剪切情況。如設(shè)在面內(nèi)，應(yīng)力分量除外，其余應(yīng)力分量均為零，又，為剪切彈性模量，即：(f)(f)與(4-5n)后三式比較，得

（4-16）目前四十一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式將(4-15)、(4-16)式代入(4-8)式，整理可得:（4-17）目前四十二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式與(4-8)式對(duì)應(yīng)。前三個(gè)式相加得到用E和υ表示的體積應(yīng)變虎克定律：（4-18）式中，若物體受到均勻壓縮，則則，（4-19）目前四十三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式式（4-19）反映了體積應(yīng)變與壓強(qiáng)p的關(guān)系，令則其中K稱為膨脹系數(shù)。目前四十四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式在均勻各向同性介質(zhì)中，經(jīng)常使用拉梅彈性常數(shù)及其楊氏彈性模量，泊松比剪切模量和圍壓膨脹模量，它們對(duì)彈性力學(xué)研究十分重要，特別是對(duì)地震波傳播，直接反映介質(zhì)的彈性性質(zhì)或彈性波傳播速度。它們六個(gè)可分為三組，兩者間可以轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換關(guān)系總結(jié)如下：目前四十五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式λ，μ制E，υ制K，G制λ(Eυ)/[(1+υ)(1-2υ)]K-(2/3)GμE/[2(1+υ)]G[μ(3λ+2μ)]/(λ+μ)E(6GK)/[K+(4/3)G]λ/[2(λ+μ)]υ[K-(2/3)G]/{2[K+(4/3)G]}λ+(2/3)μ(1/3)E/[2(1+υ)]K目前四十六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度彈性體在外力作用下，發(fā)生變形，微元體要發(fā)生位移，這時(shí)外力對(duì)物體做了功，這個(gè)功以應(yīng)變能的形式貯存在物體內(nèi)。這種彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量稱為彈性變形位能，簡(jiǎn)稱變形能，又稱應(yīng)變位能或應(yīng)變能。在物體彈性范圍內(nèi)，當(dāng)卸去外力時(shí)，這個(gè)彈性應(yīng)變能又完全釋放出來(lái)，使物體恢復(fù)原來(lái)形狀。目前四十七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算設(shè)有一拉桿上端固定，下端掛一小盤，與盤同高的水平面上放有許多重塊，每塊重量為△F，如圖4?3(a)所示，在應(yīng)力小于比例極限范圍內(nèi)加入載荷的重量與拉桿伸長(zhǎng)成正比，是一條傾斜直線，如圖4?3(b)所示。目前四十八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算（a）(b)圖4?3載荷與桿件拉伸的關(guān)系目前四十九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算逐漸增加重塊時(shí)，每增加一重塊，拉桿就伸長(zhǎng)。這時(shí)。載荷下沉而做功，但損失位能，而桿件則獲得變形能。載荷損失的位能在數(shù)量上等于它所做的功A(載荷緩慢增加，動(dòng)能無(wú)明顯變化，故可忽略不計(jì))。根據(jù)能量守恒定律，載荷損失的位能等于拉桿所獲得的變形能。即應(yīng)變能，當(dāng)時(shí)，，由，在整個(gè)加力過(guò)程中，F(xiàn)從，從，載荷做功0→A。于是，目前五十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算再利用應(yīng)力、應(yīng)變定義及虎克定律：式中E為彈性模量，S為橫截面積，為拉桿原長(zhǎng)度，于是根據(jù)虎克定律，當(dāng)載荷為時(shí)，目前五十一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算故也就是應(yīng)變能為由于拉桿整個(gè)體積內(nèi)有各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)均相同，故當(dāng)載荷為時(shí)，原體積內(nèi)每單位體積的變形能都等于稱為應(yīng)變能密度。（4-20）目前五十二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算在純剪應(yīng)力情況下，通過(guò)薄壁面扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可知，當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，扭轉(zhuǎn)角與外力偶矩成正比，同理可得剪切應(yīng)變能，剪切應(yīng)變能密度其中目前五十三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度

在空間應(yīng)力狀態(tài)下，變形能數(shù)值上仍等于外力所作的功，它也決定于作用力的最終數(shù)值，而與加力先后順序無(wú)關(guān)。用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為(4-21a)將廣義虎克定律代入(4-21a)式，用應(yīng)力表示應(yīng)變能密度為(4-21b)目前五十四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度若正立方體形狀單元體上的三個(gè)主應(yīng)力不相等，相應(yīng)的主應(yīng)變也不相等，單元體三個(gè)棱邊的變形不同。單元體的變形表現(xiàn)為體積的增加或減小，形狀的改變(正方體變?yōu)殚L(zhǎng)方體)。因此可以認(rèn)為應(yīng)變能密度由兩部分組成：(1)因體積變化而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度稱體積改變應(yīng)變能密度；(2)因形狀改變而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度稱形狀改變應(yīng)變能密度，于是(4-22a)目前五十五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度若單元體上以主應(yīng)力的平均值代替主應(yīng)力，而單位體積的改變與，，作用時(shí)仍相等。但以代替主應(yīng)力后，由于三個(gè)棱邊的變形相同，所以只有體積變化而形狀不變，所以(4-22b)目前五十六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度由廣義虎克定律(4-17)式得：代入(4-22b)式中得(4-22c)根據(jù)（4-21b）和(4-22a)式得：(4-22d)目前五十七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度若不是用主應(yīng)力表示應(yīng)變能量，一般情況為(4-22e)證明：由目前五十八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度根據(jù)(2-11)式中第Ⅰ，第Ⅱ，第Ⅲ應(yīng)力不變量定義和關(guān)系：而：目前五十九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)于是：目前六十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度進(jìn)一步根據(jù)廣義虎克定律(4-17)式，可得:證畢。目前六十一頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度同理可得出以應(yīng)變表示的應(yīng)變能密度。(4-23)進(jìn)一步，應(yīng)力與應(yīng)變分量可用應(yīng)變能密度的偏導(dǎo)數(shù)表示目前六十二頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度(4-24)目前六十三頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度

最后給出彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題解的唯一性定理：假如彈性體受已知體力作用，在物體表面處面力已知，或位移已知，或一部分上面力已知，而另一部分上位移已知；此外，初始條件已知，則彈性體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量，應(yīng)變分量與位移分量均是唯一的。目前六十四頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度

前節(jié)僅討論應(yīng)變能（變形位能），即處于平衡狀態(tài)情形。當(dāng)物體既運(yùn)動(dòng)又變形時(shí)，其內(nèi)部通常既有動(dòng)能又有應(yīng)變能。單位體積內(nèi)所含的動(dòng)能稱為動(dòng)能密度，記作，單位體積所含的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，記作，單位體積內(nèi)所含總能量(指動(dòng)能和應(yīng)變能即機(jī)械能，內(nèi)能不考慮熱能。注：內(nèi)能包括勢(shì)能和熱能)，(4-25)式中為材料的密度。目前六十五頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度利用廣義虎克定律(4-5n)式，將考慮物體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，即波傳播時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變還應(yīng)是時(shí)間的函數(shù)。為討論彈性介質(zhì)機(jī)械能的變化規(guī)律，先研究對(duì)時(shí)間的變化率。中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示（即(4-23)式）：目前六十六頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度(4-26)目前六十七頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度再研究動(dòng)能密度對(duì)時(shí)間的變化率，并利用運(yùn)動(dòng)微分方程(2-19)式，得(4-27)目前六十八頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度顯然，將(4-26)和(4-27)代入，合并同類項(xiàng)，利用和互易性得到(4-28)目前六十九頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度定義一個(gè)矢量場(chǎng)(4-29)稱為能通量密度矢量場(chǎng)。則能量密度對(duì)時(shí)間的變化率目前七十頁(yè)\總數(shù)七十八頁(yè)\編于十八點(diǎn)能量密度與能通量密度即能量密度對(duì)時(shí)間的變化率等于能流密度矢量的散度，表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)與方向垂直的單位面積的