最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型

關(guān)于最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型第1頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)家對(duì)最優(yōu)化問題的研究已經(jīng)有很多年的歷史。以前解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法只限于古典求導(dǎo)方法和變分法，拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法解決等式約束下的條件極值問題。計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)家研究出了許多最優(yōu)化方法和算法用以解決以前難以解決的問題。一、最優(yōu)化模型的概述

解決最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、最優(yōu)設(shè)計(jì)、最優(yōu)策略….第2頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

運(yùn)用最優(yōu)化方法解決最優(yōu)化問題的一般方法步驟如下：①前期分析：分析問題，找出要解決的目標(biāo)，約束條件，并確立最優(yōu)化的目標(biāo)。②定義變量，建立最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件。③針對(duì)建立的模型，選擇合適的求解方法或數(shù)學(xué)軟件。④編寫程序，利用計(jì)算機(jī)求解。⑤對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，討論諸如：結(jié)果的合理性、正確性，算法的收斂性，模型的適用性和通用性，算法效率與誤差等。第3頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

最優(yōu)化模型分類方法有很多，可按變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)、目標(biāo)函數(shù)和約束條件的是否線性是否依賴時(shí)間等分類。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，約束條件的特點(diǎn)將最優(yōu)化模型包含的主要內(nèi)容大致如下劃分：線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃

非線性規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃對(duì)策論二、最優(yōu)化模型的分類第4頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化模型的求解方法分類第5頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型形式

其中，極大值問題可以轉(zhuǎn)化為極小值問題來進(jìn)行求解。如求：

可以轉(zhuǎn)化為：三、最優(yōu)化模型的建立目標(biāo)：求函數(shù)極值或最值，求取得極值時(shí)變量的取值。第6頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月1.線性規(guī)劃問題：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的消耗，如下表所示12kg40原材料B16kg04原材料A8臺(tái)時(shí)21設(shè)備III該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品I可獲利2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品II可獲利3元。問應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠獲利最多？第7頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月解：該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品Ix1件，生產(chǎn)產(chǎn)品IIx2件，我們可建立如下數(shù)學(xué)模型：s.t.第8頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

最優(yōu)化問題中的所有變量均為整數(shù)時(shí)，這類問題稱為整數(shù)規(guī)劃問題。整數(shù)規(guī)劃可分為線性整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)規(guī)劃，以及混合整數(shù)規(guī)劃等。如果決策變量的取值要么為0，要么為1，則這樣的規(guī)劃問題稱為0－1規(guī)劃。2.整數(shù)規(guī)劃第9頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：某班級(jí)準(zhǔn)備從5名游泳隊(duì)員中選擇4人組成接力隊(duì)，參加學(xué)校的4*100m混合泳接力比賽。5名隊(duì)員4種泳姿的百米平均成績?nèi)绫?-1，問應(yīng)如何選拔隊(duì)員組成接力隊(duì)？隊(duì)員甲已丙丁戊蝶泳仰泳蛙泳自由泳66.8秒57.2787067.475.6668758.666.45367.874.27184.659.469.657.283.862.4表2-1第10頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月問題分析：記甲、乙、丙、丁、戊分別為i=1,2,3,4,5;記泳姿j=1,2,3,4.記隊(duì)員i的第

j種泳姿的百米最好成績?yōu)閏_ij(s),則表2-1可以表示成表2-2.c_iji=1i=2i=3i=4i=5j=1j=2j=3j=466.857.2787067.475.6668758.666.45367.874.27184.659.469.657.283.862.4表2-2第11頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

決策變量：引入0-1變量，若選擇隊(duì)員i參加泳姿j的比賽,記，，否則記。

目標(biāo)函數(shù)：當(dāng)隊(duì)員i入選泳姿j時(shí)，表示該隊(duì)員的成績，否則。于是接力隊(duì)的成績可表示為

約束條件：根據(jù)接力隊(duì)要求，滿足約束條件a.每人最多只能入選4種泳姿之一，即b.每種泳姿必須有1人而且只能有一人入選，即第12頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

綜上所述，這個(gè)問題的優(yōu)化模型可寫作：第13頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月非線性規(guī)劃問題的一般數(shù)學(xué)模型：其中，，為目標(biāo)函數(shù)，為約束函數(shù)，這些函數(shù)中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)。3.非線性規(guī)劃第14頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用實(shí)例：供應(yīng)與選址

某公司有6個(gè)建筑工地要開工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：km）及水泥日用量d(t)由下表給出．目前有兩個(gè)臨時(shí)料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲(chǔ)量各有20t．假設(shè)從料場到工地之間均有直線道路相連．（1）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A，B兩料場分別向各工地運(yùn)送多少水泥，可使總的噸千米數(shù)最?。?）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場，改建兩個(gè)新的，日儲(chǔ)量各為20t，問應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？第15頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月建立模型

記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為di，i=1,…,6;料場位置為(xj，yj)，日儲(chǔ)量為ej，j=1,2；料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij．當(dāng)用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，當(dāng)不用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，xj，yj．第16頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

事實(shí)上，客觀世界中的大多問題都是非線性的，給予線性化處理是近似的，是在作了科學(xué)的假設(shè)和簡化后得到的.另一方面，有一些是不能進(jìn)行線性化處理的，否則將嚴(yán)重影響模型對(duì)實(shí)際問題近似的可依賴型.

由于非線性規(guī)劃問題在理論分析和計(jì)算上通常是很困難的，也不能像線性規(guī)劃那樣給出簡潔的結(jié)果形式和全面透徹的結(jié)論.所以，在數(shù)學(xué)建模時(shí)，要進(jìn)行認(rèn)真的分析，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行合理的假設(shè)、簡化，首先考慮用線性規(guī)劃模型，若線性近似誤差較大時(shí)，則考慮用非線性規(guī)劃.第17頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

在約1萬米的高空的某邊長為160km的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)發(fā)生碰撞。若會(huì)發(fā)生碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架飛機(jī)（包括新進(jìn)入的飛機(jī)）飛行的方向角，以避免碰撞，且使飛機(jī)的調(diào)整的幅度盡量小，例11995年全國數(shù)學(xué)建模A題：飛行管理問題例題講解第18頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月該題比較有意思的一句話是：“使調(diào)整弧度最小”開放性的一句話，沒有限制得很死，較靈活，給參賽者的創(chuàng)新空間比較大一些，使得構(gòu)建模型的目標(biāo)函數(shù)表現(xiàn)形式很多，再加上模型求解方法（算法）的多樣性，從而可以呈現(xiàn)出五花八門的論文。第19頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km;假設(shè)條件：飛機(jī)飛行的方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過；（因飛機(jī)飛行的速度變化不大）所有飛機(jī)的飛行速度v均為800km/h;有時(shí)需要通過查閱文獻(xiàn)、資料給出合理假設(shè)注：第20頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上；最多需考慮六架飛機(jī)；不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況。根據(jù)當(dāng)年競賽題目給出的數(shù)據(jù)，可以驗(yàn)證新進(jìn)入的飛機(jī)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離超過60公里。根據(jù)當(dāng)年競賽題目給出的數(shù)據(jù)，可以驗(yàn)證區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)不超過架(包括新進(jìn)入的)。第21頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月個(gè)人的想法不同，隊(duì)友之間爭執(zhí)不下的情況下，若時(shí)間允許，都可一一寫到論文中去，建立的模型一、模型二……；或者經(jīng)討論后，選擇一個(gè)認(rèn)為更合理的?，F(xiàn)在看來，無論是構(gòu)建模型，還是計(jì)算，都不太難。本例題未給出數(shù)據(jù)，將重點(diǎn)放在如何構(gòu)建模型上第22頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)不考慮飛機(jī)的尺寸，用點(diǎn)代表飛機(jī)；(2)已在區(qū)域內(nèi)的5架飛機(jī)按給定的方向角作直線飛行，則必不會(huì)碰撞，也不會(huì)發(fā)生意外；(應(yīng)該根據(jù)題目中所給出的數(shù)據(jù)簡單的驗(yàn)證一下)(3)飛機(jī)調(diào)整方向角的過程可在瞬間完成,(不計(jì)調(diào)整方向所花費(fèi)的時(shí)間)。為解決該問題，補(bǔ)充假設(shè)：第23頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月變量、參數(shù)的符號(hào)假設(shè)（為了建模）在區(qū)域內(nèi)飛行飛時(shí)間（可以根據(jù)數(shù)據(jù)算出來）第24頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月四種情況：四個(gè)象限，易用4個(gè)表達(dá)式表示說明：用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)即可完成，思考：在哪個(gè)時(shí)間段某兩架飛機(jī)可能相撞？Infact,我們只需考慮兩架飛機(jī)同時(shí)在區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)的情況，也就是說，才是同在區(qū)域內(nèi)的狀況。記為第25頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)題目條件，需計(jì)算第架飛機(jī)之間的最短距離第26頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月為此，我們可以給出原問題的模型如下：思考：是否還有其他的表達(dá)形式？非線性規(guī)劃模型分別從目標(biāo)函數(shù)和約束條件角度思考第27頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月首先思考一下目標(biāo)函數(shù)是否有其它的表達(dá)？同學(xué)們首先想到的可能是Oh,Sorry!有正有負(fù)抵消第28頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月最小一乘法最小二乘法

因最小一乘法帶絕對(duì)值，不好計(jì)算，以上兩式，比較而言，后者較好。為了避免抵消or第29頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月有的隊(duì)員這樣考慮：令為,轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃用到經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭写_定參數(shù)的近似準(zhǔn)則:就所有飛機(jī)而言，讓調(diào)整弧度最大的即盡可能小，Chebshavf準(zhǔn)則第30頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月其次討論一下約束條件是否有其它表達(dá)？

若考慮區(qū)域內(nèi)不發(fā)生碰撞（若時(shí)間允許，也可以考慮出了區(qū)域的情況，另外建模）、錯(cuò)層飛行（飛高或者飛低避免碰撞），進(jìn)行模型的進(jìn)一步改進(jìn)，重點(diǎn)應(yīng)放在解決問題的方法上。

如第31頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

無論選擇哪一種表達(dá)，怎樣考慮約束條件，目標(biāo)函數(shù)都不可能是線性的。

現(xiàn)在看來，那年的題目建模只是在條件的考慮上和建模中目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)方面較難一點(diǎn)。

是一個(gè)帶不等式約束的非線性規(guī)劃問題。

而且不可能轉(zhuǎn)化成線性的形式。第32頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月非線性規(guī)劃模型按約束條件可分為以下三類：⑴無約束非線性規(guī)劃模型：⑵

等式約束非線性規(guī)劃模型：⑶

不等式約束非線性規(guī)劃模型：第33頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月如數(shù)據(jù)擬合的最小二乘問題就是一個(gè)無約束極值問題。

其思想是：觀察點(diǎn)（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)）到曲線的距離的平方之和最?、艧o約束非線性規(guī)劃模型：第34頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月理論上無約束極值問題可化成求解

即解一個(gè)n元方程組，且往往是非線性方程組。

而一般說來，非線性方程組的求解并不比求無約束極值容易。第35頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月求解無約束極值問題的基本方法：迭代法

從一個(gè)給定的初始可行點(diǎn)出發(fā)，依次產(chǎn)生一個(gè)可行點(diǎn)列的一個(gè)極小值點(diǎn),恰好是使得某個(gè)基本思路：或收斂于,稱具有這種性質(zhì)的算法是收斂的.第36頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月由迭代到時(shí),記即其中向量為搜索方向,實(shí)數(shù)稱為步長,確定以后,由可唯一地確定從出發(fā)就可確定點(diǎn)列第37頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月迭代的方法很多,各種迭代法的區(qū)別在于選取的方式不同,而尤為關(guān)鍵.一般要求遞減,具有這種性質(zhì)的算法叫做下降算法.第38頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月若已得下降得最多,并確定了的可行下降方向上選取步長則在射線使且使即求求的過程稱為一維搜索.1.下降算法第39頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月于是一維搜索歸結(jié)為求解一維無約束極值問題:

其算法有Newton法、平分法、黃金分割法（0.618法）、分?jǐn)?shù)法（Fibonacci法）、拋物線法（二次插值法）等，前兩種算法需計(jì)算的導(dǎo)數(shù)，后三種算法只需計(jì)算的函數(shù)值。下面僅介紹Newton法，對(duì)其他方法的了解可參考有關(guān)書籍。第40頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月按

給定初始可行點(diǎn)和控制誤差，迭代格式迭代，當(dāng)時(shí)，即求得的最優(yōu)解的近似解停止計(jì)算。Newton法介紹第41頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

♂一個(gè)好的算法必須以較快的速度收斂到最優(yōu)解。設(shè)算法產(chǎn)生的點(diǎn)列收斂于最優(yōu)解若存在及使則稱為p

階收斂的。該算法也是p

階收斂的。第42頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

稱為線性收斂；當(dāng)且時(shí)，

稱為超線性收斂；當(dāng)時(shí)，

稱為平方收斂；當(dāng)時(shí)，第43頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)算法是否收斂，往往與的選取有關(guān)①若當(dāng)充分接近時(shí)，由算法產(chǎn)生的點(diǎn)列才收斂于則稱該算法為具有局部收斂性的算法；②若對(duì)則稱該算法為具有全局收斂性的算法。由算法產(chǎn)生的點(diǎn)列均收斂于第44頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月Newton法是平方收斂的，具有局部收斂性；拋物線法是超線性收斂的，具有全局收斂性；平分法、黃金分割法、分?jǐn)?shù)法是線性收斂的，具有全局收斂性。常見一維搜索算法的收斂性第45頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)具有多個(gè)極小值點(diǎn)時(shí)，則算法求得的往往是的一個(gè)局部極小值點(diǎn)。此時(shí)可改變的取值，重新迭代求解。

若求得多個(gè)極小值點(diǎn)，則從中選擇一個(gè)較滿意的結(jié)果。

♂說明：第46頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月1847年Cauchy提出了第一個(gè)無約束極值問題的算法——梯度法或最速下降法：2.梯度法第47頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：應(yīng)用梯度法求解解：第48頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

該算法具有全局收斂性，是線性收斂的，但有時(shí)是很慢的線性收斂，這似乎與“最速下降”矛盾。其實(shí)不然，最速下降方向函數(shù)在某點(diǎn)處的局部性質(zhì)，對(duì)局部來說是最速下降方向，對(duì)全局來說卻不一定是最速下降方向，故梯度法不是有效的實(shí)用算法。

通過對(duì)它改進(jìn)或利用它與其他收斂快的算法相結(jié)合可得Newton法、Fletcher-Reeves共軛梯度法、變尺度法和Powell法等有效算法。第49頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面僅介紹前兩者，對(duì)后兩者的了解可參閱有關(guān)書籍。當(dāng)時(shí)，則。其中稱為在處的Hesse矩陣。①Newton法第50頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

該算法是平方收斂的，具有局部收斂性。

對(duì)Newton法進(jìn)行改進(jìn)，可得具有超線性收斂的且具有全局收斂性的阻尼Newton法或修正Newton法：當(dāng)時(shí)，有。第51頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月②Fletcher-Reeves共軛梯度法當(dāng)時(shí)，有。該算法的收斂速度介于梯度法和Newton法其中之間，既克服了前者的慢收斂性，又避免了后者計(jì)算量大和僅具有局部收斂性的缺陷。第52頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）只有等式約束的非線性規(guī)劃問題通?？捎孟?、拉格朗日乘子法，將其化為無約束問題求解.（3）具有不等式約束的非線性規(guī)劃問題解起來很復(fù)雜，求解這一類問題，通常將不等式化為等式約束，再將約束問題化為無約束問題，用線性逼近的方法將非線性規(guī)劃問題化為線性規(guī)劃問題.

下面先介紹一個(gè)簡單的非線性規(guī)劃問題的例子，其中的一些約束條件是等式，這類非線性規(guī)劃問題可用拉格朗日方法求解.第53頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月Kuhn-Tucker定理：對(duì)于不等式約束非線性最優(yōu)化極值問題若，均可微，則其極值點(diǎn)存在的必要條件是：注：更詳細(xì)的結(jié)論參閱有關(guān)書籍.⑶

不等式約束非線性規(guī)劃模型第58頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月注：1、庫-圖條件是判別有約束極值點(diǎn)的必要條件，并非充分條件。但是對(duì)于凸函數(shù)、凸集問題也是判別其極值點(diǎn)的充分條件。固此時(shí)的局部最優(yōu)解也必為全局的最優(yōu)解。2、庫-圖乘子與拉格朗日乘子類似。但拉格朗日乘子的符號(hào)不是確定的，可正可負(fù)；而庫-恩乘子的符號(hào)是確定的，其規(guī)律為：

a、求，時(shí)，則

b、求，時(shí)，則

c、求，時(shí)，則

d、求，時(shí)，則第59頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月罰函數(shù)法:

約束最優(yōu)化問題化為無約束最優(yōu)化問題的一種求解方法第60頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月罰函數(shù)法的步驟：（等式約束最優(yōu)化問題罰函數(shù)法）第62頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月罰函數(shù)法步驟：（不等式約束最優(yōu)化問題罰函數(shù)法）第66頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月注：罰函數(shù)法更多的詳細(xì)改進(jìn)工作，需參閱相關(guān)書籍第69頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月

在許多實(shí)際問題中，衡量一個(gè)方案的好壞標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個(gè)，例如設(shè)計(jì)一個(gè)導(dǎo)彈，既要射程最遠(yuǎn)，又要燃料最省，還要精度最高.這一類問題統(tǒng)稱為多目標(biāo)最優(yōu)化問題或多目標(biāo)規(guī)劃問題.我們先來看一個(gè)投資計(jì)劃的例子.4.多目標(biāo)規(guī)劃第70頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月例：投資問題某公司在一段時(shí)間內(nèi)有a(億元)的資金可用于建廠投資。若可供選擇的項(xiàng)目記為1,2,…,m。而且一旦對(duì)第i個(gè)項(xiàng)目投資就用去ai億元；而這段時(shí)間內(nèi)可得收益ci億元。問如何確定最佳的投資方案？

最佳投資方案：投資最少，收益最大！第71頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月投資最少：約束條件為：收益最大：第72頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第78頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第79頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第82頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月5.動(dòng)態(tài)規(guī)劃

動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型問題一般要?dú)w結(jié)為求最優(yōu)控制函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到極值.求解泛函極值問題的方法主要有變分法和最優(yōu)控制理論方法.第83頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第84頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第85頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第86頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月第87頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月一元函數(shù)的泰勒公式：第88頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月二元函數(shù)的泰勒公式:第89頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月其中記號(hào)表示表示第90頁，課件共117頁，創(chuàng)作于2023年2月